§6.4　數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一　數(shù)列求和1.在等差數(shù)列{an}中,a4=5,a7=11.設(shè)bn=(-1)n·an,則數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)之和S100=(　　)A.-200　　B.-100　　C.200　　D.100答案　D2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于(　　)A.1　　B.　　C.　　D.答案　B3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3=7,a5+a7=26.(1)求an及Sn;(2)令bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.4.已知等差數(shù)列{an}滿足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)二　數(shù)列的綜合應(yīng)用5.已知數(shù)列{an}滿足an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我們把使乘積a1·a2·a3·…·an為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”,則在區(qū)間(1,2004)內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為(　　)A.1024　　B.2003　　C.2026　　D.2048答案　C 6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+4n,若首項(xiàng)為的數(shù)列{bn}滿足-=an,則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A7.(2020山東仿真聯(lián)考3)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+1>2an,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是(　　)A.an+1>2na1　　B.S2k>(1+2k)SkC.Sn<2an-a1(n≥2)　　D.是遞增數(shù)列答案　D8.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,且a1+1,a2+1,a4+1成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,n∈N*,Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求使Sn<成立的最大的正整數(shù)n.[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一　數(shù)列求和1.(2019福建漳州一模,10)已知數(shù)列{an}和{bn}的首項(xiàng)均為1,且an-1≥an(n≥2),an+1≥an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2SnSn+1+anbn+1=0,則S2019=(　　)A.2019　　B.　　C.4037　　D.答案　D　∵an-1≥an(n≥2),an+1≥an,∴an≥an+1≥an,∴an=an+1(n≥2),另外,由a1≥a2≥a1,可得 a2=a1=1,∴an=1.∵2SnSn+1+anbn+1=0,∴2SnSn+1+bn+1=0,∴2SnSn+1+Sn+1-Sn=0,∴-=2.∴數(shù)列是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為2.∴=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=,∴S2019=,故選D.2.(2019廣東茂名一模,18)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=2an-2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=k∈N*,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.解析　(1)由Sn=2an-2①,得Sn-1=2an-1-2(n≥2)②,①-②得an=2an-2an-1,∴an=2an-1(n≥2),由a1=S1=2a1-2,得a1=2,∴{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n.(2)bn=k∈N*.T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(2+23+25+…+22n-1)+(2+4+6+…+2n)=+=-+×4n+n2+n.3.設(shè)f(x)=,求S=f+f+…+f的值.解析　∵f(x)=,∴f(1-x)===,∴f(x)+f(1-x)=1,∵S=f+f+…+f=f+f+…+f, ∴2S=f+f+…+f+f+f+…+f=1×2001=2001,∴S=.考點(diǎn)二　數(shù)列的綜合應(yīng)用1.(2019湖南岳陽(yáng)一模,16)已知從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表,第一行為1,第二行為3,5,第三行為7,9,11,第四行為13,15,17,19,……如圖所示,在寶塔形數(shù)表中位于第i行,第j列的數(shù)記為ai,j,例如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=23,若ai,j=2019,則i+j=(　　)　　　1　　　3　5　　11　9　7　13　15　17　1929　27　25　23　21　　　……A.64　　B.65　　C.71　　D.72答案　C　由題中數(shù)表可知:第1行有1個(gè)奇數(shù),第2行有2個(gè)奇數(shù),……,第n行有n個(gè)奇數(shù),則前n行共有個(gè)奇數(shù),設(shè)2019在第n行中,又2019是從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的第1010個(gè)奇數(shù),則有解得n=45,即2019在第45行,則前44行共990個(gè)數(shù),又第45行的奇數(shù)從右到左,從小到大排列,則2019為第45行從右到左的第1010-990=20個(gè)數(shù),即2019為第45行從左到右的第45-20+1=26個(gè)數(shù),故i=45,j=26,故i+j=45+26=71,故選C.2.已知函數(shù)f(x)=2x-3x-1,點(diǎn)(n,an)在f(x)的圖象上,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*.(1)求使an<0的n的最大值;(2)求Sn.解析　(1)由已知得an=f(n)=2n-3n-1,則f'(n)=2nln2-3,n∈N*,當(dāng)f'(n)>0,即n≥3時(shí),f(n)單調(diào)遞增,當(dāng)f'(n)<0,即1≤n≤2時(shí),f(n)單調(diào)遞減. 又∵an<0,即2n-3n-1<0,當(dāng)n=2時(shí),22-6-1<0,當(dāng)n=3時(shí),23-9-1=-2<0,當(dāng)n=4時(shí),24-12-1>0.∴使an<0的n的最大值為3.(2)Sn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n=-3·-n=2n+1--2.3.(2020遼寧葫蘆島興城高中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x2,過(guò)點(diǎn)C1(1,0)作x軸的垂線l1交函數(shù)f(x)圖象于點(diǎn)A1,以A1為切點(diǎn)作函數(shù)f(x)圖象的切線交x軸于點(diǎn)C2,再過(guò)C2作x軸的垂線l2交函數(shù)f(x)圖象于點(diǎn)A2,……,以此類推得點(diǎn)An,記An的橫坐標(biāo)為an,n∈N*.(1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式;(2)設(shè)直線ln與函數(shù)g(x)=lox的圖象相交于點(diǎn)Bn,記bn=·(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解析　(1)以點(diǎn)An-1(an-1,)(n≥2)為切點(diǎn)的切線方程為y-=2an-1(x-an-1).當(dāng)y=0時(shí),x=an-1,即an=an-1,又∵a1=1,∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,∴通項(xiàng)公式為an=.(2)由題意,得Bn,∴bn=·=+·(n-1)=n·,∴Sn=1×+2×+…+n×, Sn=1×+2×+…+n×.兩式相減,得Sn=1×++…+-n×=-n×,化簡(jiǎn),得Sn=-×=-.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　錯(cuò)位相減法求和1.(2020廣東揭陽(yáng)第三中學(xué)第一次月考,19)已知{an}是公差d≠0的等差數(shù)列,a2,a6,a22成等比數(shù)列,a4+a6=26,數(shù)列{bn}是公比q為正數(shù)的等比數(shù)列,且b3=a2,b5=a6.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.2.(2020普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試考前演練)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a2=2,S3=a6,數(shù)列{bn}滿足b2=2b1=4,當(dāng)n≥3,n∈N*時(shí),a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-2)bn+2.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)令cn=,n∈N*,證明:c1+c2+…+cn<2.考法二　裂項(xiàng)相消法求和3.(2020湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)3月月考)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a1=2,且a1a5=64,則數(shù)列的前n項(xiàng)和是(　　)A.1-　　B.1- C.1-　　D.1-答案　A4.(2019湖南岳陽(yáng)一模,13)曲線y=x+lnx(n∈N*)在x=處的切線斜率為an,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為　　　　.?答案　5.(2020天津靜海大邱莊中學(xué)第一次質(zhì)量檢測(cè),20)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公比為q,a4,a3,a5依次成等差數(shù)列.(1)求q的值;(2)當(dāng)q<0時(shí),求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn;(3)當(dāng)q>0時(shí),求證:<.[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一　錯(cuò)位相減法求和1.(2018福建閩侯第八中學(xué)期末,16)已知數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=2n,則使得Sn-nan+1+50<0的最小正整數(shù)n的值為　　　　.?答案　5解析　Sn=1×21+2×22+…+n×2n,則2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1,兩式相減得-Sn=2+22+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,故Sn=2+(n-1)2n+1,因?yàn)閍n+1=2n+1,故Sn-nan+1+50=2+(n-1)2n+1-n·2n+1+50=52-2n+1,令52-2n+1<0,故最小正整數(shù)n的值為5.2.(2018河南安陽(yáng)第二次模擬,17)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的圖象上,且a1=C. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)記bn=an(+1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+d=n2+n,又Sn=n2+Bn+C-1,兩式對(duì)照得解得所以a1=1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1(n∈N*).(2)由(1)知bn=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,則Tn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,兩式相減得Tn=(2n-1)·2n+1-2(22+…+2n)-2=(2n-1)·2n+1-2×-2=(2n-3)·2n+1+6.3.(2020江蘇南師附中期初檢測(cè),20)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,且anSn+1-an+1Sn=an+1-λan對(duì)一切n∈N*都成立.(1)當(dāng)λ=1時(shí),①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;②若bn=(n+1)an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使數(shù)列{an}是等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.解析　(1)①λ=1時(shí),anSn+1-an+1Sn=an+1-an,則(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1,又∵an>0,Sn>0,∴=, ∴··…·=··…·,化簡(jiǎn),得Sn+1+1=2an+1.∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn+1=2an.故可得an+1=2an,即=2(n≥2),∵當(dāng)n=1時(shí),a2=2,∴n=1時(shí)上式也成立,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,an=2n-1.②∵bn=(n+1)an,∴bn=(n+1)·2n-1,∴Tn=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2+(n+1)×2n-1,∴2Tn=2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n,∴-Tn=2+21+22+…+2n-1-(n+1)×2n=2+-(n+1)×2n=-n×2n,∴Tn=n·2n.(2)令n=1,得a2=λ+1,令n=2,得a3=(λ+1)2,要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列,必須有2a2=a1+a3,解得λ=0.當(dāng)λ=0時(shí),Sn+1an=(Sn+1)an+1,且a2=a1=1.當(dāng)n≥2時(shí),Sn+1(Sn-Sn-1)=(Sn+1)(Sn+1-Sn),整理,得+Sn=Sn+1Sn-1+Sn+1,則有=,從而··…·=··…·,化簡(jiǎn),得Sn+1=Sn+1,∴an+1=1,綜上所述,an=1(n∈N*).∴λ=0時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 考法二　裂項(xiàng)相消法求和1.(2018湖南株洲醴陵第二中學(xué)、第四中學(xué)聯(lián)考,3)數(shù)列的前2017項(xiàng)的和為(　　)A.+1　　B.-1　　C.+1　　D.-1答案　B　因?yàn)?-,所以S2017=-+-+…+-1=-1.故選B.2.(2020浙江省重點(diǎn)高中統(tǒng)練,15)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=2,an+1-an=,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為5,則n=　　　　.?答案　120解析　本題考查等差數(shù)列的概念以及數(shù)列的前n項(xiàng)和;考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由已知可得-=4,即數(shù)列{}是等差數(shù)列,首項(xiàng)是=4,公差是4,所以=4+4(n-1)=4n,又an>0,所以an=2,所以==,由題意得5=++…+=,解得n=120.3.(2018湖北十堰調(diào)研,17)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,其前n項(xiàng)和為Sn,且當(dāng)n≥2時(shí),an+1Sn-1-anSn=0.(1)求證:數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令bn=,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.解析　(1)當(dāng)n≥2時(shí),an+1Sn-1-anSn=(Sn+1-Sn)Sn-1-(Sn-Sn-1)Sn=Sn+1Sn-1-=0,∴=Sn-1Sn+1(n≥2).又由S1=a1=1≠0,S2=a1+a2=4≠0,可推知對(duì)一切正整數(shù)n均有Sn≠0,∴數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,Sn=4n-1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3×4n-2,又a1=1,∴an= (2)當(dāng)n≥2時(shí),bn===,又知b1=,∴bn=則T1=b1=.當(dāng)n≥2時(shí),bn==-,則Tn=++…+=-,又當(dāng)n=1時(shí),T1=符合上式,∴Tn=-(n∈N*).