§7.1　平面向量的概念、線性運(yùn)算及基本定理專(zhuān)題檢測(cè)1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),則與a-b同向的單位向量為(　　)A.　　B.C.　　D.答案　A　∵向量a=(2,-9),b=(-3,3),∴a-b=(5,-12),設(shè)與a-b同向的單位向量為e=(x,y),則a-b=λe(λ>0),|e|=1,∴x=,y=,x2+y2=1,解得λ=13,x=,y=-,故選A.2.(2017河北石家莊二中月考,7)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),++=0,D為AC的中點(diǎn),則的值為(　　)A.　　B.　　C.1　　D.2答案　B　連接MD.因?yàn)?+=0,D為AC的中點(diǎn),所以-=+=2,所以=-,故M在中線BD上,且為靠近D的一個(gè)四等分點(diǎn),故=.3.(2018遼寧丹東五校協(xié)作體聯(lián)考,8)P是△ABC所在平面上的一點(diǎn),滿(mǎn)足++=2,若S△ABC=6,則△PAB的面積為(　　)A.2　　B.3　　C.4　　D.8答案　A　∵++=2=2(-), ∴3=-=,∴∥,且方向相同.∴===3,∴S△PAB==2.故選A.4.(2019廣西名校高三聯(lián)考,9)在△ABC中,點(diǎn)F為AB邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),點(diǎn)E為AC邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),BE與CF相交于點(diǎn)O,則=(　　)A.+　　B.+C.+　　D.+答案　D　連接EF,由AB=3AF,AC=3AE可得EF∥BC,且BC=3EF,由△EOF∽△BOC,得=,則BO=3OE,故有=3,則-=3(-),即=+=+.5.(2018四川成都三診,6)已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且=(+),=t,若B,O,D三點(diǎn)共線,則t的值為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　B　以O(shè)B,OC為鄰邊作平行四邊形OBFC,連接OF,與BC相交于點(diǎn)E,則E為BC的中點(diǎn). ∵=(+),∴+=2=2,∴點(diǎn)O是線段AE的中點(diǎn).∵=t,B,O,D三點(diǎn)共線,∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M,則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn),∴OM=EC=BC,=,∴DM=MC,∴AD=AM=AC,∴t=.6.(2018安徽淮南一模,8)已知G是△ABC的重心,過(guò)點(diǎn)G作直線MN與AB,AC交于點(diǎn)M,N,且=x,=y(x,y>0),則3x+y的最小值是(　　)A.　　B.+　　C.　　D.答案　B　設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則==+=+, ∵M(jìn),G,N三點(diǎn)共線,∴+=1.又x>0,y>0,∴3x+y=(3x+y)=++≥+2=+.當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=+時(shí)取等號(hào),∴3x+y的最小值是+.故選B.7.(2018海南?？谀M,10)點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且存在正數(shù)λ1,λ2,λ3使λ1+λ2+λ3=0,設(shè)△AOB,△AOC的面積分別為S1,S2,則S1∶S2=(　　)A.λ1∶λ2　　B.λ2∶λ3　　C.λ3∶λ2　　D.λ2∶λ1答案　C　取λ1=,λ2=,λ3=.∵λ1+λ2+λ3=0,∴++=0,∴+2+3=0,設(shè)2=,3=,如圖,則O是三角形AB1C1的重心,故三角形AOB1和三角形AOC1的面積相等,又S△AOB=,S△AOC=,∴△AOB與△AOC的面積之比是∶=,即λ3∶λ2.故選C. 思路分析　利用特值法和數(shù)形結(jié)合的方法求解.疑難突破　抓住三角形重心O的幾何意義,并靈活利用數(shù)形結(jié)合是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵.8.(2018湖南湘東五校4月聯(lián)考,15)在正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),若=λ+μ,則實(shí)數(shù)λ+μ=　　　　.?答案　解析　如圖,∵=+=+=+,①=+=+,②由①②得=-,=-,∴=+=+=-+-=+,又∵=λ+μ,∴λ=,μ=,∴λ+μ=.9.(2018中原名校9月聯(lián)考,15)如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),N在邊AC上,且=2,AM與BN相交于點(diǎn)P,則=　　　　.? 答案　4解析　設(shè)=a,=b,=μ,∵A、P、M共線,∴存在唯一實(shí)數(shù)λ,使得=λ.又M為BC的中點(diǎn),∴=(+)=(a+b).∴=λ(a+b).又=+=+μ=+μ(-)=+μ=(1-μ)a+μb.根據(jù)平面向量基本定理得解得λ=,μ=.∴=,=.∴||∶||=4∶1,即=4.思路分析　選{,}為一組基底,設(shè)=a,=b,=μ,由A,P,M共線得=λ(a+b),同理得=(1-μ)a+μb,利用平面向量基本定理構(gòu)造λ,μ的方程組,求得λ與μ的值,從而得出的值.10.(2018福建福州二模,16)如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若=x+y(x,y∈R),則x-y的值為　　　　.?答案　-1 解析　如圖,延長(zhǎng)DC,AB,交于點(diǎn)E,因?yàn)椤螪CA=2∠BAC,所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°,所以=-.因?yàn)?x+y,所以=-x+y.因?yàn)镃,D,E三點(diǎn)共線,所以-x+y=1,即x-y=-1.思路分析　根據(jù)∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,可延長(zhǎng)DC,AB,交于點(diǎn)E,把轉(zhuǎn)化為-,再利用C、D、E三點(diǎn)共線求解.解題關(guān)鍵　作出適當(dāng)?shù)妮o助線,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的問(wèn)題進(jìn)行求解.規(guī)律總結(jié)　已知=x+y,若A,B,C三點(diǎn)共線,則x+y=1;反之亦成立.11.(2016甘肅天水校級(jí)期中)已知O是△ABC的外心,且AB=5,AC=8,存在非零實(shí)數(shù)x,y,使=x+y,且x+2y=1,則cos∠BAC=　　　.?答案　解析　如圖所示,取AC的中點(diǎn)D,則=2,∴=x+2y,∵x+2y=1,∴O,D,B三點(diǎn)共線,連接BO.∵O是△ABC的外心,∴OD⊥AC, ∴BD⊥AC,且D為AC的中點(diǎn),在Rt△ABD中,AB=5,AD=4,∴cos∠BAC=cos∠BAD=.解后反思　考查三角形外心的定義,三點(diǎn)共線的充要條件,向量數(shù)乘的幾何意義,以及三角函數(shù)的定義.可作出圖形,并取AC的中點(diǎn)D,由=x+2y,x+2y=1,得出O,D,B三點(diǎn)共線是解題關(guān)鍵.12.(2018浙江新高考調(diào)研卷三(杭州二中),12)已知平行四邊形ABCD,||=2||=2,且·=1,=,=2,則·=　　　　;若DE和AF交于點(diǎn)M,且=x+y,則x+y=　　　　.?答案　;解析　·=(+)·(-)=·=--·=.=+,設(shè)=,則=+λ,m+(1-m)==λ+λ??λ=,故=+?x+y=.13.(2017河北百校聯(lián)盟4月聯(lián)考,14)已知在△ABC中,點(diǎn)D滿(mǎn)足2+=0,過(guò)點(diǎn)D的直線l與直線AB,AC分別交于點(diǎn)M,N,=λ,=μ.若λ>0,μ>0,則λ+μ的最小值為　　　　.?答案　解析　連接AD.因?yàn)?+=0,所以=,=+=+=+(-)=+ .因?yàn)镈、M、N三點(diǎn)共線,所以存在x∈R,使=x+(1-x),則=xλ+(1-x)μ,所以xλ+(1-x)μ=+,根據(jù)平面向量基本定理,得xλ=,(1-x)μ=,所以x=,1-x=,所以+=1,所以λ+μ=(λ+μ)·=≥,當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ時(shí)等號(hào)成立,∴λ+μ的最小值為.思路分析　利用2+=0及向量的線性運(yùn)算可得=+,然后利用D、M、N三點(diǎn)共線再次得到的表達(dá)式,從而利用平面向量基本定理得出λ與μ的關(guān)系,最后利用基本不等式求出λ+μ的最小值.方法歸納　如果a,b不共線,那么“λ1a+μ1b=λ2a+μ2b”的充要條件為“λ1=λ2且μ1=μ2”,我們常用這個(gè)結(jié)論得出不含向量的方程組.14.(2018河南許昌、平頂山兩市聯(lián)考,21)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為平面上任意一點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)滿(mǎn)足=+.(1)求證:A,B,C三點(diǎn)共線,并求的值;(2)已知A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M,x∈(0,π),且函數(shù)f(x)=·+·||的最小值為,求實(shí)數(shù)m的值.解析　(1)∵=+,∴-=(-),∴=.又∵,有公共點(diǎn)B, ∴A,B,C三點(diǎn)共線.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M,O(0,0),∴=(1,sinx),=,∴·=1+sinx+sin2x,又=(sinx,0),x∈(0,π),∴||=sinx,∴f(x)=·+·||=sin2x+2msinx+1.設(shè)t=sinx.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①當(dāng)-m≤0,即m≥0時(shí),y=t2+2mt+1無(wú)最小值,不合題意;②當(dāng)0<-m≤1,即-1≤m<0時(shí),當(dāng)t=-m時(shí),ymin=1-m2=,∴m=-;③當(dāng)-m>1,即m<-1時(shí),當(dāng)t=1時(shí),ymin=2+2m=,∴m=-,此時(shí)m>-1,不合題意.綜上可知,m=-.