§7.1 平面向量的概念、線性運算及基本定理專題檢測1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),則與a-b同向的單位向量為( )A. B.C. D.答案 A ∵向量a=(2,-9),b=(-3,3),∴a-b=(5,-12),設與a-b同向的單位向量為e=(x,y),則a-b=λe(λ>0),|e|=1,∴x=,y=,x2+y2=1,解得λ=13,x=,y=-,故選A.2.(2017河北石家莊二中月考,7)M是△ABC所在平面內(nèi)一點,++=0,D為AC的中點,則的值為( )A. B. C.1 D.2答案 B 連接MD.因為++=0,D為AC的中點,所以-=+=2,所以=-,故M在中線BD上,且為靠近D的一個四等分點,故=.3.(2018遼寧丹東五校協(xié)作體聯(lián)考,8)P是△ABC所在平面上的一點,滿足++=2,若S△ABC=6,則△PAB的面積為( )A.2 B.3 C.4 D.8答案 A ∵++=2=2(-),
∴3=-=,∴∥,且方向相同.∴===3,∴S△PAB==2.故選A.4.(2019廣西名校高三聯(lián)考,9)在△ABC中,點F為AB邊上靠近點A的三等分點,點E為AC邊上靠近點A的三等分點,BE與CF相交于點O,則=( )A.+ B.+C.+ D.+答案 D 連接EF,由AB=3AF,AC=3AE可得EF∥BC,且BC=3EF,由△EOF∽△BOC,得=,則BO=3OE,故有=3,則-=3(-),即=+=+.5.(2018四川成都三診,6)已知O為△ABC內(nèi)一點,且=(+),=t,若B,O,D三點共線,則t的值為( )A. B. C. D.答案 B 以OB,OC為鄰邊作平行四邊形OBFC,連接OF,與BC相交于點E,則E為BC的中點.
∵=(+),∴+=2=2,∴點O是線段AE的中點.∵=t,B,O,D三點共線,∴點D是BO與AC的交點.過點O作OM∥BC交AC于點M,則點M為AC的中點,∴OM=EC=BC,=,∴DM=MC,∴AD=AM=AC,∴t=.6.(2018安徽淮南一模,8)已知G是△ABC的重心,過點G作直線MN與AB,AC交于點M,N,且=x,=y(x,y>0),則3x+y的最小值是( )A. B.+ C. D.答案 B 設BC的中點為D,則==+=+,
∵M,G,N三點共線,∴+=1.又x>0,y>0,∴3x+y=(3x+y)=++≥+2=+.當且僅當=,即x=+時取等號,∴3x+y的最小值是+.故選B.7.(2018海南?？谀M,10)點O為△ABC內(nèi)一點,且存在正數(shù)λ1,λ2,λ3使λ1+λ2+λ3=0,設△AOB,△AOC的面積分別為S1,S2,則S1∶S2=( )A.λ1∶λ2 B.λ2∶λ3 C.λ3∶λ2 D.λ2∶λ1答案 C 取λ1=,λ2=,λ3=.∵λ1+λ2+λ3=0,∴++=0,∴+2+3=0,設2=,3=,如圖,則O是三角形AB1C1的重心,故三角形AOB1和三角形AOC1的面積相等,又S△AOB=,S△AOC=,∴△AOB與△AOC的面積之比是∶=,即λ3∶λ2.故選C.
思路分析 利用特值法和數(shù)形結合的方法求解.疑難突破 抓住三角形重心O的幾何意義,并靈活利用數(shù)形結合是突破難點的關鍵.8.(2018湖南湘東五校4月聯(lián)考,15)在正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點,若=λ+μ,則實數(shù)λ+μ= .?答案 解析 如圖,∵=+=+=+,①=+=+,②由①②得=-,=-,∴=+=+=-+-=+,又∵=λ+μ,∴λ=,μ=,∴λ+μ=.9.(2018中原名校9月聯(lián)考,15)如圖,在△ABC中,點M是BC的中點,N在邊AC上,且=2,AM與BN相交于點P,則= .?
答案 4解析 設=a,=b,=μ,∵A、P、M共線,∴存在唯一實數(shù)λ,使得=λ.又M為BC的中點,∴=(+)=(a+b).∴=λ(a+b).又=+=+μ=+μ(-)=+μ=(1-μ)a+μb.根據(jù)平面向量基本定理得解得λ=,μ=.∴=,=.∴||∶||=4∶1,即=4.思路分析 選{,}為一組基底,設=a,=b,=μ,由A,P,M共線得=λ(a+b),同理得=(1-μ)a+μb,利用平面向量基本定理構造λ,μ的方程組,求得λ與μ的值,從而得出的值.10.(2018福建福州二模,16)如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若=x+y(x,y∈R),則x-y的值為 .?答案 -1
解析 如圖,延長DC,AB,交于點E,因為∠DCA=2∠BAC,所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°,所以=-.因為=x+y,所以=-x+y.因為C,D,E三點共線,所以-x+y=1,即x-y=-1.思路分析 根據(jù)∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,可延長DC,AB,交于點E,把轉(zhuǎn)化為-,再利用C、D、E三點共線求解.解題關鍵 作出適當?shù)妮o助線,將問題轉(zhuǎn)化為三點共線的問題進行求解.規(guī)律總結 已知=x+y,若A,B,C三點共線,則x+y=1;反之亦成立.11.(2016甘肅天水校級期中)已知O是△ABC的外心,且AB=5,AC=8,存在非零實數(shù)x,y,使=x+y,且x+2y=1,則cos∠BAC= .?答案 解析 如圖所示,取AC的中點D,則=2,∴=x+2y,∵x+2y=1,∴O,D,B三點共線,連接BO.∵O是△ABC的外心,∴OD⊥AC,
∴BD⊥AC,且D為AC的中點,在Rt△ABD中,AB=5,AD=4,∴cos∠BAC=cos∠BAD=.解后反思 考查三角形外心的定義,三點共線的充要條件,向量數(shù)乘的幾何意義,以及三角函數(shù)的定義.可作出圖形,并取AC的中點D,由=x+2y,x+2y=1,得出O,D,B三點共線是解題關鍵.12.(2018浙江新高考調(diào)研卷三(杭州二中),12)已知平行四邊形ABCD,||=2||=2,且·=1,=,=2,則·= ;若DE和AF交于點M,且=x+y,則x+y= .?答案 ;解析 ·=(+)·(-)=·=--·=.=+,設=,則=+λ,m+(1-m)==λ+λ??λ=,故=+?x+y=.13.(2017河北百校聯(lián)盟4月聯(lián)考,14)已知在△ABC中,點D滿足2+=0,過點D的直線l與直線AB,AC分別交于點M,N,=λ,=μ.若λ>0,μ>0,則λ+μ的最小值為 .?答案 解析 連接AD.因為2+=0,所以=,=+=+=+(-)=+
.因為D、M、N三點共線,所以存在x∈R,使=x+(1-x),則=xλ+(1-x)μ,所以xλ+(1-x)μ=+,根據(jù)平面向量基本定理,得xλ=,(1-x)μ=,所以x=,1-x=,所以+=1,所以λ+μ=(λ+μ)·=≥,當且僅當λ=μ時等號成立,∴λ+μ的最小值為.思路分析 利用2+=0及向量的線性運算可得=+,然后利用D、M、N三點共線再次得到的表達式,從而利用平面向量基本定理得出λ與μ的關系,最后利用基本不等式求出λ+μ的最小值.方法歸納 如果a,b不共線,那么“λ1a+μ1b=λ2a+μ2b”的充要條件為“λ1=λ2且μ1=μ2”,我們常用這個結論得出不含向量的方程組.14.(2018河南許昌、平頂山兩市聯(lián)考,21)在平面直角坐標系中,O為坐標原點,M為平面上任意一點,A,B,C三點滿足=+.(1)求證:A,B,C三點共線,并求的值;(2)已知A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M,x∈(0,π),且函數(shù)f(x)=·+·||的最小值為,求實數(shù)m的值.解析 (1)∵=+,∴-=(-),∴=.又∵,有公共點B,
∴A,B,C三點共線.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M,O(0,0),∴=(1,sinx),=,∴·=1+sinx+sin2x,又=(sinx,0),x∈(0,π),∴||=sinx,∴f(x)=·+·||=sin2x+2msinx+1.設t=sinx.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①當-m≤0,即m≥0時,y=t2+2mt+1無最小值,不合題意;②當0<-m≤1,即-1≤m<0時,當t=-m時,ymin=1-m2=,∴m=-;③當-m>1,即m<-1時,當t=1時,ymin=2+2m=,∴m=-,此時m>-1,不合題意.綜上可知,m=-.
