§7.2　平面向量的數(shù)量積及向量的綜合應(yīng)用專題檢測(cè)1.(2018北京朝陽(yáng)二模,5)如圖,角α,β均以O(shè)x為始邊,終邊與單位圓O分別交于點(diǎn)A,B,則·=(　　)A.sin(α-β)　　B.sin(α+β)C.cos(α-β)　　D.cos(α+β)答案　C　解法一:·=||·||cos<,>=1×1×cos(β-α)=cos(β-α)=cos(α-β).故選C.解法二:由三角函數(shù)的定義得A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),∴·=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinα·sinβ=cos(α-β).2.(2018豫南九校第六次質(zhì)量考評(píng),4)若向量a=,向量b=(1,sin22.5°),則a·b=(　　)A.2　　B.-2　　C.　　D.-答案　A　由題意知a·b=tan67.5°+=tan67.5°+=tan67.5°-tan22.5°=tan67.5°-==2×=2×=2,故選A.3.(2018廣西聯(lián)考,7)已知△ABC外接圓的半徑為1,圓心為O,且+=2,||=||,則·的值是(　　)A.3　　B.　　C.　　D.1答案　D　∵+=2,∴O為BC的中點(diǎn),又∵O為△ABC外接圓的圓心,∴BC為圓O的直徑,∴△ABC為直角三角形,∠BAC=,∴·=·(-)=·+||2=||2=||2-||2,又易知||=2,||=,∴·=4-3=1.4.(2018安徽安慶一模,9)已知點(diǎn)G是△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足++=0,若∠BAC=,·=1,則||的最小值是(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　∵點(diǎn)G是△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足++=0,∴G是△ABC的重心,∴=(+),∴=(++2·)=(||2+||2)+,∵·=||·||=1,∴||·||=2,∴||2+||2≥2||·||=4,∴≥+=.∴||≥,∴||的最小值是.故選C.5.(2018河南鄭州二模,7)已知平面向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,則(a+b)·(2b-c)的最小值為(　　)A.-2　　B.3-　　C.-1　　D.0答案　B　由|a|=|b|=1,a·b=,可得=,令=a,=b,以的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則a==(1,0),b==,設(shè)c==(cosθ,sinθ)(0≤θ<2π),則 (a+b)·(2b-c)=2a·b-a·c+2b2-b·c=3-=3-sin,則(a+b)·(2b-c)的最小值為3-,故選B.思路分析　根據(jù)已知條件建立合適的平面直角坐標(biāo)系,利用單位向量設(shè)出c=(cosθ,sinθ)(0≤θ<2π),將(a+b)·(2b-c)用θ表示,即轉(zhuǎn)化成關(guān)于θ的三角函數(shù)式,從而求其最小值.方法總結(jié)　對(duì)于平面向量問(wèn)題,常用的求解方法為基底法和坐標(biāo)法.前者需要選擇合適的基底,利用線性運(yùn)算進(jìn)行表示和求解;后者需要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.6.(2017甘肅天水一中第三次診斷考試)已知函數(shù)f(x)=Asin(πx+φ)的部分圖象如圖所示,點(diǎn)B,C是該圖象與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C的直線與該圖象交于D,E兩點(diǎn),則(+)·(-)的值為(　　)A.-1　　B.-C.　　D.2答案　D　由題圖知最小正周期T==2,∴BC==1,易知C點(diǎn)是線段DE的中點(diǎn),∴結(jié)合向量的平行四邊形法則,可得+=2,又∵-=,∴(+)·(-)=2=2×12=2.選D.7.(2018湖北武漢調(diào)研,6)設(shè)A、B、C是半徑為1的圓O上的三點(diǎn),且⊥,則(-)·(-)的最大值是(　　)A.1+　　B.1-　　C.-1　　D.1答案　A　解法一:∵⊥,||=||=1,∴|+|==.設(shè)(+)與的夾角為θ,則(-)·(-)=-(+)·+·=1-cosθ,又∵θ∈[0,π],∴cosθ∈[-1,1],∴(-)·(-)=1-cosθ∈[1-,1+],∴(-)·(-)的最大值為+1,故選A.解法二:以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸,OB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(取的方向?yàn)閤軸正方向,的方向?yàn)閥軸正方向),則A(1,0),B(0,1).設(shè)C(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)),∴-=(cosθ-1,sinθ),-=(cosθ,sinθ-1),∴(-)·(-)=cosθ(cosθ-1)+sinθ(sinθ-1)=cos2θ+sin2θ-(sinθ+cosθ)=1-sin,∵θ∈[0,2π),∴sin∈[-1,1],∴(-)·(-)的最大值為+1,故選A.8.(2018河南六市聯(lián)考,8)在△ABC中,∠C=90°,AB=2BC=4,M,N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|MN|=1,則·的取值范圍為(　　)A.　　B.[5,9]C.　　D.答案　A　以C為原點(diǎn),CA,CB所在直線分別為x軸,y軸建立坐標(biāo)系如圖所示: ∵AB=2BC=4,∴∠BAC=30°,AC=2,設(shè)AN=a,則N,M,∴·=·+·=a2-5a+9.∵M(jìn),N在AB上,∴0≤a≤3.∴當(dāng)a=0時(shí),·取得最大值9,當(dāng)a=時(shí),·取得最小值.∴·的取值范圍為.故選A.思路分析　建立直角坐標(biāo)系,設(shè)AN=a,用a表示出,,得出·關(guān)于a的表達(dá)式,從而得出范圍.9.(2017湖北黃岡二模,10)已知平面向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,則|c|的最大值與最小值的和為(　　)A.0　　B.　　C.　　D.答案　D　∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,即a2=2a·b,又|a|=|b|=1,∴a·b=,∴a與b的夾角為60°.設(shè)=a,=b,=c,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則a=,b=(1,0).設(shè)c=(x,y),則c-2a=(x-1,y-),c-b=(x-1,y).又∵(c-2a)·(c-b)=0,∴(x-1)2+y(y-)=0,即(x-1)2+=,∴點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)M為圓心,為半徑的圓.又|c|=表示圓M上的點(diǎn)與原點(diǎn)O(0,0)之間的距離,所以|c|max=|OM|+,|c|min=|OM|-,∴|c|max+|c|min=2|OM|=2×=,故選D.名師點(diǎn)撥　解決一些向量問(wèn)題時(shí),可通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系將問(wèn)題坐標(biāo)化,然后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解有關(guān)問(wèn)題,這樣可以避免繁雜的邏輯推理,同時(shí)加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.10.(2018湖南湘潭、益陽(yáng)兩市聯(lián)考,14)已知非零向量a,b滿足a·b=0,|a+b|=t|a|,若a+b與a-b的夾角為,則t的值為　　　　.?答案　解析　因?yàn)閍·b=0,所以(a+b)2=(a-b)2,即|a+b|=|a-b|.又|a+b|=t|a|,所以|a-b|=|a+b|=t|a|.因?yàn)閍+b與a-b的夾角為,所以=cos,整理得=,即(2-t2)|a|2=2|b|2.又|a+b|=t|a|,平方可得|a|2+|b|2=t2|a|2,所以|a|2+=t2|a|2,解得t2=.因?yàn)閠>0,所以t=.11.(2018河南安陽(yáng)二模,15)已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=2,動(dòng)點(diǎn)P位于線段AB上,則當(dāng)·取最小值時(shí),向量與的夾角的余弦值為　　　　.?答案　- 解析　易知∠AOB=120°,記=a,=b,則a·b=-2,設(shè)=λ=λa-λb(0≤λ≤1),則=+=(λ-1)a-λb,則·=(λa-λb)·[(λ-1)a-λb]=12λ2-6λ,當(dāng)λ=時(shí),·取最小值-,此時(shí),||=||=,=-a-b=-(3a+b),||=|3a+b|=,所以向量與的夾角的余弦值為==-.思路分析　根據(jù)題意選擇合適的基底({,}),令=a,=b,引進(jìn)參數(shù)將與均用a和b表示,然后求出·的最小值,最后利用向量的夾角公式求得與夾角的余弦值.一題多解　取線段AB的中點(diǎn)C,連接OC,以線段AB的中點(diǎn)C為原點(diǎn),以的方向?yàn)閤軸正方向,的方向?yàn)閥軸正方向建立直角坐標(biāo)系,則O(0,1),A(-,0),B(,0),設(shè)P(x,0)(-≤x≤).則·=(--x,0)·(-x,1)=x2+x,當(dāng)x=-時(shí),·取最小值-.此時(shí)=,=,所以向量與的夾角的余弦值為==-.12.(2018福建泉州4月聯(lián)考,16)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,邊DC上的動(dòng)點(diǎn)P(包含點(diǎn)D,C)與CB延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)Q(包含點(diǎn)B)滿足||=||,則·的最小值為　　　　.?答案　解析　以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD所在直線為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,1),Q(2,y),由題意知0≤x≤2,y≤0.∵||=||,∴|x|=|y|,∴x=-y.∵=(-x,-1),=(2-x,y-1),∴·=-x(2-x)-(y-1)=x2-2x-y+1=x2-x+1=+,∴當(dāng)x=時(shí),·取得最小值.思路分析　建立平面直角坐標(biāo)系,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題,進(jìn)而利用函數(shù)的知識(shí)求最值.方法點(diǎn)撥　向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái),從而可以利用代數(shù)的有關(guān)知識(shí)(函數(shù)思想、基本不等式等)解決向量的有關(guān)最值問(wèn)題.