§7.2 平面向量的數(shù)量積及向量的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一 平面向量的數(shù)量積1.已知向量=(1,2),=(-3,1),則·=( )A.6 B.-6 C.-1 D.1答案 B2.已知a=(-1,3),b=(m,m-4),c=(2m,3),若a∥b,則b·c=( )A.-7 B.-2 C.5 D.8答案 A3.已知|a|=1,|b|=2,且a⊥(a+b),則a在b方向上的投影為( )A.-1 B.1 C.- D.答案 C考點二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用4.已知向量a=(,0),b=(0,-1),c=(k,),若(a-2b)⊥c,則k=( )A.2 B.-2 C. D.-答案 B5.已知單位向量e1,e2的夾角為θ,且tanθ=2,若向量m=2e1-3e2,則|m|=( )A.9 B.10 C.3 D.答案 C6.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為( )A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 C7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,則等于( )A.- B.1 C.2 D.答案 B8.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D、E分別是邊AB、BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則·的值為( )A.- B. C. D.答案 B[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一 平面向量的數(shù)量積1.(2017北京東城一模,5)已知向量a,b滿足2a+b=0,a·b=-2,則(3a+b)·(a-b)=( )A.1 B.3 C.4 D.5答案 B ∵2a+b=0,∴a與b的夾角為π,且|b|=2|a|,又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,∴|a|=1,|b|=2,故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.2.(2018河南新鄉(xiāng)二模,5)若向量m=(2k-1,k)與向量n=(4,1)共線,則m·n=( )A.0 B.4 C.- D.-答案 D ∵向量m=(2k-1,k)與向量n=(4,1)共線,
∴2k-1-4k=0,解得k=-,∴m=,∴m·n=-2×4+×1=-.故選D.3.(2017曲一線命題專家高考模擬磨尖卷四·沈陽卷,15)若a,b是兩個互相垂直的單位向量,則向量a-b在向量b方向上的投影為 .?答案 -解析 向量a-b在向量b方向上的投影為===-.思路分析 利用投影的定義,求的值.考點二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2018北京石景山一模,5)已知平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,若(a+mb)⊥a,則實數(shù)m的值為( )A.1 B. C.2 D.3答案 D 因為|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,所以a·b=|a|·|b|cos120°=3×2×=-3,因為(a+mb)⊥a,所以(a+mb)·a=a2+ma·b=32-3m=0,解得m=3,故選D.2.(2017北京西城二模,6)設(shè)a,b是平面上的兩個單位向量,a·b=.若m∈R,則|a+mb|的最小值是( )
A. B. C. D.答案 C 由題意得|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=1+m+m2=+,故當(dāng)m=-時,|a+mb|2取得最小值,為,此時|a+mb|取得最小值,為,故選C.3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c滿足c與b的夾角為120°,c·(4a+b)=5,則|c|=( )A.1 B. C.2 D.2答案 D 由題意可知,|a|=,|b|=3,a∥b,且a與b方向相反.由c·(4a+b)=5,可得4a·c+b·c=5,由c與b的夾角為120°可得c與a的夾角為60°,所以b·c=|b||c|cos120°=-|c|,a·c=|a||c|cos60°=|c|.所以4×|c|+=5,解得|c|=2,故選D.4.(2018湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若=λ+,且⊥,則實數(shù)λ的值為( )A. B. C.6 D.答案 A 因為=λ+,且⊥,所以有·=(λ+)·(-)=λ·-λ+-·=(λ-1)·-λ+=0,整理可得(λ-1)×3×4×cos120°-9λ+16=0,
解得λ=,故選A.解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是由題意得出·=(λ+)·(-)=0,進而求得λ的值.5.(2017重慶育才中學(xué)模擬,6)過坐標(biāo)原點O作單位圓x2+y2=1的兩條互相垂直的半徑OA、OB,若在該圓上存在一點C,使得=a+b(a、b∈R),則以下說法正確的是( )A.點P(a,b)一定在單位圓內(nèi)B.點P(a,b)一定在單位圓上C.點P(a,b)一定在單位圓外D.當(dāng)且僅當(dāng)ab=0時,點P(a,b)在單位圓上答案 B 易知||==1.∵⊥,||=||=1,∴||==1,∴OP==1,又圓的半徑為1,∴點P一定在單位圓上.故選B.6.(2018江西九江二模,6)在Rt△ABC中,AB=AC,點M、N是線段AC的三等分點,點P在線段BC上運動且滿足=k,當(dāng)·取得最小值時,實數(shù)k的值為( )A. B. C. D.答案 C 建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)AB=AC=3,P(x,3-x)(0≤x≤3),則M(1,0),N(2,0),=(1-x,x-3),=(2-x,x-3),
則·=2x2-9x+11=2+,∴當(dāng)x=時,·取得最小值,此時P,∴k==.故選C.7.(2018河北唐山二模,7)在△ABC中,∠C=90°,AB=6,點P滿足CP=2,則·的最大值為( )A.9 B.16 C.18 D.25答案 B ∵∠C=90°,AB=6,∴·=0,∴|+|=|-|=||=6,∴·=(+)·(+)=+·(+)+·=·(+)+4,∴當(dāng)與+方向相同時,·(+)取得最大值2×6=12,∴·的最大值為16.故選B.8.(2017甘肅嘉峪關(guān)二模,7)若等邊△ABC的邊長為3,平面內(nèi)一點M滿足=+,則·的值為( )A.2 B.- C. D.-2答案 A 如圖所示,A,B,C,∴=,=(3,0),∴=+=+(3,0)=,∴=+=,
∴=-=,=-=,∴·=-1×+×=2,故選A.思路分析 建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運算求解.方法總結(jié) 向量的坐標(biāo)運算體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,因此,在解題時應(yīng)充分重視.9.(2017湖南郴州質(zhì)量監(jiān)測,9)已知A,B是單位圓O上的兩點(O為圓心),∠AOB=120°,點C是線段AB上不與A、B重合的動點.MN是圓O的一條直徑,則·的取值范圍是( )A. B.[-1,1) C. D.[-1,0)答案 A 如圖,連接OC.·=(-)·(-)=·-·-·+=·+=-1+,∵∠AOB=120°,點C是線段AB上不與A、B重合的動點,∴||∈,∴·∈,故選A.解題關(guān)鍵 題中的隱含條件·=-1,+=0是解題關(guān)鍵.10.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b滿足a·(a+b)=0,2|a|=|b|,則向量a,b的夾角
為 .?答案 解析 設(shè)a與b的夾角為θ,因為a·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0?|a|·|a|+|a|·|b|cosθ=0,又因為2|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,即1+2cosθ=0,所以cosθ=-,從而θ=.11.(2017寧夏銀川質(zhì)檢,13)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,點E為DC的中點,則·= .?答案 -3解析 解法一:由已知,可得=+=+,=+=-,∴·=·=-=1-4=-3.解法二:以點A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則A(0,0),B(4,0),E(2,1),∴=(2,1),=(-2,1),∴·=-4+1=-3.思路分析 解法一利用平面向量的幾何性質(zhì)解題,解法二通過建立平面直角坐標(biāo)系,求出各點坐標(biāo),利用向量的坐標(biāo)運算解題.解法一側(cè)重于邏輯推理,對思維能力要求較高,解法二的解題關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,側(cè)重于計算,思路簡單.兩種解法各有優(yōu)劣,可根據(jù)實際情況靈活選用.12.(2016北京朝陽期中,7)在△ABC中,已知·=4,||=3,M,N分別是BC邊上的三等分點,則·的值是( )
A.5 B. C.6 D.8答案 C 解法一:如圖,設(shè)BC的中點為O,連接AO.由·=4,||=3,可得(+)·(+)=(+)·(-)=-=-=4,∴=.∴·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-=6.故選C.解法二:∵||=3,∴|-|2=9.∴+-2·=9,又·=4,∴+=17.又∵=+=+(-)=+,=+=+(-)=+,∴·=·=(+)+·=+=6.13.(2018北京通州期中,13)在△ABC中,M是BC的中點,AM=3,點P在AM上,且滿足=2,
則·(+)的值為 .?答案 -4解析 ∵AM=3,點P在AM上,且滿足=2,∴||=2.∵M是BC的中點,∴+=2=,∴·(+)=·=-||2=-4.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一 求向量模的方法1.(2019甘肅靜寧一中三模)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,則|b|=( )A. B. C.2 D.5答案 D2.(多選題)(2020山東臨沂、棗莊臨考演練,9)設(shè)向量a=(2,0),b=(1,1),則( )A.|a|=|b| B.(a-b)∥b C.(a-b)⊥b D.a與b的夾角為答案 CD3.(2020浙江溫州二模(4月),12)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a·b=1,則|a+b|= ,b在a上的投影等于 .?答案 ;4.(2020浙江紹興嵊州期末,16)已知單位向量a,b滿足|a-2b|=|2b|,設(shè)向量c=a+x(2b-a),x∈[0,1],
則|c+a|的取值范圍是 .?答案 考法二 求平面向量夾角的方法5.(2020山東青島期末,3)向量a,b滿足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),則向量a與b的夾角為( )A.45° B.60° C.90° D.120°答案 C6.(2020皖江名校聯(lián)盟第五次聯(lián)考,6)已知單位向量a滿足2|a|=|b|,|a+2b|=,則a與b的夾角為( )A.30° B.60° C.90° D.120°答案 D7.(多選題)(2020山東泰安二模,10)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均為正數(shù),且(a-b)∥c,下列說法正確的是( )A.a與b的夾角為鈍角B.向量a在b方向上的投影為C.2m+n=4D.mn的最大值為2答案 CD8.(2017山東,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是 .?答案 [教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 求向量模的方法1.(2019吉林第一次調(diào)研,5)已知等邊△ABC的邊長為2,則|+2+3|=( )
A.2 B.2 C.4 D.12答案 A 由題意得·=-2,·=-2,·=-2,則|+2+3|2=+4+9+4·+6·+12·=4+16+36-8-12-24=12,∴|+2+3|=2.故選A.2.(2017湖南永州一模,11)已知向量a與向量b的夾角為,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),則的最大值為( )A. B. C. D.3答案 A ==,當(dāng)=-=時,4-4·+4取得最小值,且最小值為3,所以的最大值為,則所求最大值為.3.已知在△ABC中,D為BC的中點,若∠BAC=120°,·=-1,則||的最小值為( )A. B. C. D.答案 B 顯然有||=|+|.因為·=-1,∠BAC=120°,所以||·||==2,可得||2=(||2+||2-2)≥(2||·||-2)=,
所以||min=.4.已知a、b均為單位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,則|c+a|的取值范圍是( )A.[3,] B.[3,5]C.[3,4] D.[,5]答案 B ∵a、b均為單位向量,且a·b=0,∴設(shè)a=(1,0),b=(0,1).設(shè)c=(x,y),由|c-4a|+|c-3b|=5,得+=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距離之和為5,令c的起點為坐標(biāo)原點O,則c的終點的軌跡是點(4,0)和(0,3)之間的線段,又|c+a|=表示M(-1,0)到線段AB上的點的距離,且最小值是點M(-1,0)到直線3x+4y-12=0的距離,∴|c+a|min==3.又最大值為|MA|=5,∴|c+a|的取值范圍是[3,5].故選B.5.(2018河北衡水中學(xué)六調(diào),8)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],則||的取值范圍是( )A.[,2] B.[,2)C.(,) D.[,2]
答案 B ∵=(3,1),=(-1,3),∴=m-n=(3m+n,m-3n),則||==,令t=,則||=t,而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,又m>0,n>0,故在平面直角坐標(biāo)系中表示如圖(陰影區(qū)域不包括橫軸與縱軸的相應(yīng)部分),t=表示陰影區(qū)域中任意一點與原點(0,0)的距離,分析可得,≤t<2.結(jié)合||=t,得≤||<2.故選B.考法二 求向量夾角的方法1.已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,則向量a與b的夾角為( )A. B. C. D.答案 C 設(shè)a與b的夾角為θ.∵(a-b)·(a+b)=-15,∴a2-b2=-15,又|a|=,∴|b|=5.又a·b=-,∴cosθ===-,又θ∈[0,π],∴θ=.故選C.2.已知i、j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a、b的夾角為銳角,則實數(shù)λ的取值范圍是( )
A. B.C.∪ D.(-∞,-2)∪答案 D 由題意知a=(1,-2),b=(1,λ),因為a、b的夾角為銳角,所以cos
==>0,且a與b不共線,即λ<且λ≠-2.故選D.3.a,b是非零向量,若a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直.試求a與b的夾角.解析 解法一:設(shè)a與b的夾角為θ.由題意知∴由①-②得46a·b-23b2=0,所以b2=2a·b. ③將③代入②得a2=2a·b,∴|a|=|b|,∴由b2=2a·b可知|b|2=2|a||b|cosθ,∴cosθ=,∵0°≤θ≤180°,∴θ=60°,即向量a與b的夾角為60°.解法二:設(shè)a與b的夾角為θ.由題意知∴①×15+②×8得|a|=|b|,由①得7|a|2+16|a||b|cosθ-15|b|2=0,∴7+16cosθ-15=0,∴cosθ=,∵0°≤θ≤180°,∴θ=60°,即向量a與b的夾角為60°.
