§8.1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積專題檢測1.(2019湖北恩施二模,9)某圓錐的母線長為2,高為,其三視圖如圖所示,圓錐表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓錐表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓錐側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為(　　)A.2　　B.2　　C.　　D.2答案　D　因?yàn)閳A錐的母線長為2,高為,所以底面半徑r==,所以底面周長為2πr=π,所以側(cè)面展開圖中扇形中心角為==π,所以從M到N的路徑中,最短路徑的長度為=2.2.(2019河南鄭州一模,9)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(　　)A.16+(32+16+16)πB.16+(16+16+16)πC.16+(32+32+32)πD.16+(16+32+32)π答案　A　由三視圖知該幾何體是由兩個(gè)圓錐與一個(gè)長方體組合而成的,兩個(gè)圓錐的底面半徑均為4,高分別為4和8,長方體的長、寬、高分別為2、2、2,則該幾何體的表面積S=×2π×4×4+×2π×4×4+π×42×2+2×2×4=16+(32+16+16)π,故選A.3.(2019貴州遵義四中3月月考,9)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A　取AB的中點(diǎn)D,連接SD,CD,則AB⊥CD.因?yàn)镾C為球O的直徑,點(diǎn)A、B都在球面上,所以∠SBC=∠SAC=90°,又因?yàn)椤鰽BC是邊長為1的正三角形,且SC=2,所以SA=SB=,所以SD⊥AB, 又因?yàn)镾D∩CD=D,所以AB⊥面SDC,所以SD==,CD==,在三角形SDC中,cos∠SDC==-,所以sin∠SDC=,所以S△SDC=·SD·DC·sin∠SDC=,所以棱錐的體積V=·S△SDC·AB=.4.(2019北京朝陽期末,8)以棱長為1的正方體各面的中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正八面體,再以這個(gè)正八面體各面的中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)小正方體,那么該小正方體的棱長為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　設(shè)原正方體、正八面體、小正方體分別為C1、C2、C3,已知C1的棱長為1,以正方體C1各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體C2為正八面體,它的中截面(垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線的界面)是正方形,該正方形對(duì)角線長等于正方體C1的棱長,所以該正八面體C2的棱長為=,以C2各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體為C3,正方體C3面對(duì)角線長等于C2棱長的,為×=,所以小正方體C3的棱長為=,故選C.5.(2019安徽A10聯(lián)盟3月聯(lián)考,9)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)面積為(　　)A.++5　　B.++9C.++10　　D.2+2+10答案　A　由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)四棱錐(側(cè)棱PA垂直于底面ABCD),其直觀圖如圖所示,CD===2,PB===2,PD===,PC===3,在△PCD中,cos∠PCD===,∴sin∠PCD==.∴S△PCD=PC·CD·sin∠PCD=×3×2×=,又S△PAB=PA·AB=×2×2=2,S△PAD=PA·AD=×2×3=3,S△PBC=PB·BC=×2×1=,∴該四棱錐的側(cè)面積S=S△PCD+S△PAB+S△PAD+S△PBC=+2+3+=++5.故選A.方法技巧　對(duì)于三視圖問題,一般根據(jù)該幾何體的三視圖判斷幾何體的形狀,再作出其直觀圖,從而根據(jù)直觀圖來計(jì)算棱長、表面積和體積,在解決組合體表面積問題時(shí),一定要注意重疊面,尤其要注意重疊面是否完全重疊.6.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若該三棱錐的體積為,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則球的表面積等于(　　)A.5π　　B.20π　　C.8π　　D.16π答案　B　根據(jù)AB=2,AC=1,∠BAC=60°,由余弦定理的推論可得cos∠BAC===,解得BC=, ∴S△ABC=·AB·AC·sin60°=×2×1×=.∴VP-ABC=S△ABC·PA=××PA=.解得PA=4.設(shè)△ABC外接圓的半徑為r,則2r===2,∴r=1,∴球的半徑R===.∴球的表面積S=4πR2=20π,故選B.7.(2020江西南昌調(diào)研,15)已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中2a+b=2(a>0,b>0),則此三棱錐體積的最大值為　　　　.?答案　解析　如圖,由題意,知三棱錐的直觀圖為三棱錐A-CB1D1,且長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為2,a,b,∴此三棱錐的體積V=2ab-×ab×2×4=ab=×2a×b≤·=,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=1時(shí),等號(hào)成立,∴三棱錐體積的最大值為.8.(2018陜西部分重點(diǎn)中學(xué)摸底檢測,14)把邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成的三棱錐C-ABD的正視圖與俯視圖如圖所示,則側(cè)視圖的面積為　　　　.?答案　解析　由三棱錐C-ABD的正視圖、俯視圖得三棱錐C-ABD的側(cè)視圖為直角邊長為的等腰直角三角形,所以三棱錐C-ABD的側(cè)視圖的面積為××=.9.(2017寧夏銀川一模,14)已知矩形ABCD的周長為18,把它沿圖中的虛線折成正六棱柱,當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí),它的外接球的表面積為　　　　.?答案　13π解析　設(shè)正六棱柱的底面邊長為x,高為y,則6x+y=9,00),則2+=+,可得x=,∴CC1=1,又易知三棱錐C1-ABC外接球的球心為AC1的中點(diǎn),∴半徑R=,則三棱錐C1-ABC外接球的表面積S=4πR2=3π.12.(2020廣西柳州重點(diǎn)中學(xué)摸底考試,15)菱形ABCD的邊長為6,∠BAD=60°,將△BCD沿對(duì)角線BD翻折,使得二面角C-BD-A的大小為120°,已知A、B、C、D四點(diǎn)在同一球面上,則球的表面積等于　　　　.?答案　84π解析　設(shè)球的半徑為R.如圖,點(diǎn)O1,O2分別為△BAD,△CBD外接圓的圓心,點(diǎn)O為球心,連接AO1,CO2并延長,由菱形性質(zhì)知直線AO1,CO2交于一點(diǎn)G,且G在BD上,連接OA,OG,易知OO1⊥AG,OO2⊥CG.因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長為6,∠BAD=60°,所以AO1=6××=2,O1G=6××=,由菱形的對(duì)稱性及二面角C-BD-A的大小為120°,A,B,C,D四點(diǎn)在同一球面上得∠OGO1=60°,所以O(shè)O1=×tan60°=3,∴R2=OA2=A+O=21,∴S=4πR2=84π,故答案為84π. 方法總結(jié)　找?guī)缀误w外接球球心的方法:(1)構(gòu)造長方體(或正方體),將原幾何體外接球轉(zhuǎn)化成長方體(或正方體)的外接球,進(jìn)而得球心的位置;(2)找?guī)缀误w底面的外心O1,過O1作底面的垂線l1,再找?guī)缀误w一側(cè)面的外心O2,過O2作該側(cè)面的垂線l2,則l1與l2的交點(diǎn)即為外接球的球心.