§8.2　空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系專題檢測(cè)1.(2019江西八校4月聯(lián)考,5)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,給出下面四個(gè)命題:①若α⊥β,β⊥γ,則α∥γ;②若α⊥β,m⊂α,n⊂β,則m⊥n;③若m∥α,n⊂α,則m∥n;④若α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,則m∥n.其中正確命題的序號(hào)是(　　)A.①④　　B.①②　　C.②③④　　D.④答案　D　對(duì)于①,垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交,也可能平行,所以命題①錯(cuò)誤;對(duì)于②,在兩個(gè)相互垂直的平面內(nèi)的兩條直線可能平行,可能相交,也可能異面,所以命題②錯(cuò)誤;對(duì)于③,若m∥α,n⊂α,則直線m與n可能平行,也可能異面,所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由面面平行的性質(zhì)定理可知命題④正確,故選D.方法總結(jié)　對(duì)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷,常采用窮舉法,即對(duì)各種位置關(guān)系都進(jìn)行考慮,要充分利用幾何模型的直觀性.2.(2019廣西桂林高三4月聯(lián)考,6)已知平面α,β,γ兩兩垂直,直線a,b,c滿足a⊂α,b⊂β,c⊂γ,則直線a,b,c的位置關(guān)系不可能是(　　)A.兩兩平行　　B.兩兩垂直C.兩兩相交　　D.兩兩異面答案　A　假設(shè)a,b,c三條直線兩兩平行,如圖所示,設(shè)α∩β=l,∵a∥b,a⊄β,b⊂β,∴a∥β.又知a⊂α,α∩β=l,∴a∥l,又知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,∴l⊥γ,又知a∥b,a∥l,∴a⊥γ,又知c⊂γ,∴a⊥c,所以假設(shè)不成立.故三條直線a,b,c不可能兩兩平行,因此選A.3.(2018湖南益陽(yáng)、湘潭兩市聯(lián)考,10)如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有(　　)A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.②③④答案　C　由題意可知題圖①中,GH∥MN,因此直線GH與MN共面;題圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M∉平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖③中,連接MG,則GM∥HN,因此直線GH與MN共面;題圖④中,G,M,N三點(diǎn)共面,但H∉平面GMN,所以直線GH與MN異面.故選C.4.(2020北京西城二模,10)佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一.香囊內(nèi)通常填充一些中草藥,有清香、驅(qū)蟲(chóng)、開(kāi)竅的功效,因地方習(xí)俗的差異,香囊常用絲布做成各種不同的形狀,形形色色,玲瓏奪目.圖1的?ABCD由六個(gè)正三角形構(gòu)成.將它沿虛線折起來(lái),可得如圖2所示的六面體形狀的香囊,那么在圖2這個(gè)六面體中,棱AB與CD所在直線的位置關(guān)系為(　　),圖1圖2A.平行　　B.相交C.異面且垂直　　D.異面且不垂直答案　B　將圖1標(biāo)上字母如圖所示,圖1沿虛線折起后如圖2.圖2由圖可知,點(diǎn)D、E重合,點(diǎn)A、C重合,點(diǎn)B、F重合,△ABD為等邊三角形,所以棱AB與CD所在直線相交且?jiàn)A角為60°.故選B.解后反思　本題考查折疊問(wèn)題,主要弄清折疊前后點(diǎn)、線、角度的變化.5.(2017內(nèi)蒙古包頭十校聯(lián)考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng),則異面直線CP與BA1所成角θ的取值范圍是(　　)A.0<θ<　　B.0<θ≤C.0≤θ≤　　D.0<θ≤答案　D　如圖,因?yàn)锳1B∥CD1,所以∠D1CP(或其補(bǔ)角)即為異面直線CP與BA1所成的角,由題意知點(diǎn)P不能與D1重合,當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限與D1靠近時(shí),∠D1CP無(wú)限接近于0,當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)D1向點(diǎn)A移動(dòng)時(shí),∠D1CP變大,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),∠D1CP最大,為,故∠D1CP的取值范圍是,所以異面直線CP與BA1所成角θ的取值范圍是,選D.6.(2019福建四地七校10月聯(lián)考,10)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P,Q分別是線段AD1和B1C上的動(dòng)點(diǎn),且滿足AP=B1Q,則下列命題錯(cuò)誤的是(　　),A.存在P,Q在某一位置時(shí),AB∥PQB.△BPQ的面積為定值C.當(dāng)PA>0時(shí),直線PB1與AQ是異面直線D.無(wú)論P(yáng),Q運(yùn)動(dòng)到任何位置,均有BC⊥PQ答案　B　對(duì)于A,當(dāng)P,Q分別為AD1和B1C的中點(diǎn)時(shí),AB∥PQ,故A正確.對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí),△BPQ的面積為;當(dāng)點(diǎn)P在AD1的中點(diǎn)處時(shí),△BPQ的面積為,所以△BPQ的面積不為定值,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,當(dāng)PA>0時(shí),假設(shè)直線PB1與AQ是共面直線,則AP與B1Q共面,與已知AP和B1Q異面相矛盾,所以直線PB1與AQ是異面直線,故C正確;對(duì)于D,BC垂直于PQ在平面ABCD內(nèi)的射影,由三垂線定理得BC⊥PQ,故D正確.綜上,本題選B.7.(2017遼寧五市八校第二次聯(lián)考)設(shè)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角面BDD1B1(含邊界)內(nèi)的點(diǎn),若點(diǎn)P到平面ABC,平面ABA1,平面ADA1的距離相等,則符合條件的點(diǎn)P(　　)A.僅有一個(gè)　　B.有有限多個(gè)C.有無(wú)限多個(gè)　　D.不存在答案　A　與平面ABC,平面ABA1距離相等的點(diǎn)位于平面ABC1D1上;與平面ABC,平面ADA1距離相等的點(diǎn)位于平面AB1C1D上;與平面ABA1,平面ADA1距離相等的點(diǎn)位于平面ACC1A1上.據(jù)此可知,滿足題意的點(diǎn)位于平面ABC1D1,平面AB1C1D,平面ACC1A1的公共點(diǎn)處,滿足題意的點(diǎn)僅有一個(gè),為正方體的中心.選A.8.(2020云南名校高三開(kāi)學(xué)考試,12)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是AD,AB,BB1的中點(diǎn),那么正方體內(nèi)過(guò)E,F,G的截面面積為(　　)A.3　　B.3　　C.2　　D.2答案　B　如圖所示,過(guò)點(diǎn)E,F,G的截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形,其面積為6××()2=3.故選B.9.(2020貴州遵義綏陽(yáng)一模,11)如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為(　　)A.　　B.　　C.　　D.,答案　D　本題以圓錐為載體進(jìn)行設(shè)題,考查異面直線所成角的定義及求法,正切函數(shù),平行線分線段成比例,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),考查學(xué)生的空間想象能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.如圖,過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或其補(bǔ)角)即為異面直線SC與OE所成的角.∵SE=SB,∴SE=BE,又OB=3,∴OF=OB=1.∵SO⊥OC,SO=OC=3,∴SC=3.∵SO⊥OF,∴SF==.∵OC⊥OF,∴CF=.∴在等腰△SCF中,tan∠CSF==.故選D.方法總結(jié)　解決異面直線成角問(wèn)題常用平移法,平移直線有三種方法:中位線、平行四邊形、補(bǔ)體平移.本題可過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,并連接CF,得出∠CSF(或其補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)數(shù)量關(guān)系可得出tan∠CSF的值.10.(2019河北衡水三模,12)已知在高為2,底面邊長(zhǎng)為3的正三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)E,F,G分別是A1C1,A1B1,AB上的點(diǎn),且有C1E=A1F=BG=1,則過(guò)點(diǎn)E,F,G的平面截正三棱柱所得的截面的面積為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　如圖所示,在平面ABB1A1內(nèi),連接GF并延長(zhǎng)與AA1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,∵A1F=BG=1,AB=3,∴AG=2,A1F∥AG且A1F=AG,∴A1為AP的中點(diǎn).連接PE并延長(zhǎng)與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,交線段CC1于點(diǎn)N,∵A1E∥AC,A1為AP的中點(diǎn),∴E為PH的中點(diǎn),∵C1E=1,A1C1=3,∴A1E=2,AH=4,CH=1,∴N為CC1的中點(diǎn),連接GH交BC于點(diǎn)M,連接MN,則EF∥GH.由連線知平面GMNEF為所求截面.∵∠EA1F=60°,A1E=2,A1F=1,∴EF⊥A1B1,∴GH⊥AB,又知EF⊥A1A,A1A∩A1B1=A1,∴EF⊥平面ABB1A1.又∵∠ABC=60°,∴BM=2,則CM=1,在Rt△PEF中,PF=,EF=,∴S△PEF=××=.在Rt△PGH中,PG=2,GH=2,∴S△PGH=×2×2=2.在△MNH中,NH=NM=,MH=,∴S△MNH=××=,∴截面的面積S=S△PGH-S△PEF-S△MNH=2--=.故選D.11.(2016廣西南寧二模,16)已知兩條不同的直線m,n和兩個(gè)不同的平面α,β,給出下列四個(gè)命題:①若m∥α,n∥β,且α∥β,則m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,則m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,則m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,則m⊥n.其中正確命題的個(gè)數(shù)為　　　　. 答案　2解析?、僦衜,n可能異面或相交,故不正確;②因?yàn)閙∥α,n⊥β,且α⊥β成立時(shí),m,n兩直線的位置關(guān)系可能是相交、平行、異面,故不正確;③因?yàn)閙⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正確;④分別垂直于兩個(gè)垂直平面的兩條直線一定垂直,正確.故③④正確.評(píng)析　本題考查了立體幾何的幾種基本關(guān)系,空間思維能力.,12.(2017廣西柳州模擬,15)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=2,BC=AA1=2,AB=2,D是線段AB上一點(diǎn),且AC1∥平面CDB1,則直線AC1與CD所成角的余弦值為　　　　. 答案　解析　連接BC1交B1C于點(diǎn)O,則O為BC1的中點(diǎn),連接OD.因?yàn)锳C1∥平面CDB1,AC1⊂平面AC1B,平面CDB1∩平面AC1B=OD,所以AC1∥OD,則D為AB的中點(diǎn),于是∠ODC或其補(bǔ)角即為直線AC1與CD所成的角.由AC=2,BC=2,AB=2,得AB2=AC2+BC2,則∠ACB=90°,所以DC=AB=.由BC=AA1=BB1=2,得CB1=4.則OC=CB1=2.由AC=2,CC1=AA1=2,得AC1=2,所以DO=AC1=,所以cos∠ODC===.13.(2018皖南八校聯(lián)考,15)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1,點(diǎn)M在線段BC上(點(diǎn)M異于點(diǎn)B,C),點(diǎn)N為線段CC1的中點(diǎn),若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形,則線段BM長(zhǎng)的取值范圍為　　　　. 答案　解析　當(dāng)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時(shí),由題意可知,截面為四邊形AMND1,從而當(dāng)0時(shí),平面AMN與平面A1B1C1D1也有交線,故截面為五邊形,所以若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形,則線段BM長(zhǎng)的取值范圍為.