§8.4　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一　直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(　　)A.α⊥β且m?α　　B.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥β　　D.m⊥n且n∥β答案　C2.若平面α,β滿足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,下列命題為假命題的是(　　)A.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D.過(guò)點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β答案　B3.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿AE,AF及EF將這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,則在這個(gè)空間圖形中必有(　　)A.AG⊥平面EFH　　B.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEF　　D.HG⊥平面AEF答案　B4.如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上異于A,B的一點(diǎn),E、F分別是A在PB、PC上的射影,給出下列結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　.?答案?、佗冖?.《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 如圖,在陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是不是鱉臑,若是,寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由.考點(diǎn)二　平面與平面垂直的判定與性質(zhì)6.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,給出下列結(jié)論:①AD∥平面PBC;②平面PAC⊥平面PBD;③平面PAB⊥平面PAC;④平面PAD⊥平面PDC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　.?答案?、佗冖?.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.[教師專用題組] 【基礎(chǔ)集訓(xùn)】1.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成四面體ABCD,則在四面體中,下列說(shuō)法正確的是　(　　)A.平面ABD⊥平面ABC　　B.平面ACD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BCD　　D.平面ACD⊥平面ABC答案　D　∵在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=45°,∴∠ADC=135°,∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ADB=45°,∴∠BDC=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面ABD,∴CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,又AB?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD.故選D.2.(2018安徽亳州模擬,8)如圖甲所示,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使B、C、D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,如圖乙所示,那么,在四面體A-EFH中必有(　　)A.AH⊥平面EFH　　B.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEF　　D.HG⊥平面AEF答案　A　∵AH⊥HE,AH⊥HF,且EH∩HF=H,∴AH⊥平面EFH,A正確;∵過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直,∴B不正確;∵AG⊥EF,EF⊥AH,AG∩AH=A,∴EF⊥平面HAG,∵EF?平面AEF,∴平面HAG⊥AEF,∴過(guò)H作平面AEF的垂線,一定在平面HAG內(nèi),∴C不正確;∵HG不垂直于AG,∴HG⊥平面AEF不正確,∴D不正確.故選A.3.(2019湖北武漢4月調(diào)研,6)已知兩個(gè)平面相互垂直,給出下列命題:①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線;②一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線;③一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面;④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)A.3　　B.2　　C.1　　D.0答案　C　構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖, ①在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D?平面ADD1A1,BD?平面ABCD,但A1D與BD不垂直,故①錯(cuò);②在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1內(nèi)任意一條直線,l與平面ABCD內(nèi)和AB平行的所有直線垂直,故②正確;③在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D?平面ADD1A1,但A1D與平面ABCD不垂直,故③錯(cuò);④在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,過(guò)交線AD上的任一點(diǎn)作交線的垂線l,則l可能與平面ABCD垂直,也可能與平面ABCD不垂直,故④錯(cuò).故選C.4.(2019河南安陽(yáng)3月檢測(cè),18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.　證明　(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD,所以AE⊥PD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又PD?平面PAD,所以AB⊥PD.又AE∩AB=A,所以PD⊥平面ABE.5.(2018湖南益陽(yáng)模擬,19)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC,∠DAB=∠ABP=90°.(1)求證:AD⊥平面PAB;(2)求證:AB⊥PC;(3)若點(diǎn)E在棱PD上,且CE∥平面PAB,求的值. 解析　(1)證明:因?yàn)椤螪AB=90°,所以AD⊥AB.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB.(2)證明:由(1)知AD⊥AB,因?yàn)锳D∥BC,所以BC⊥AB.又因?yàn)椤螦BP=90°,所以PB⊥AB.因?yàn)镻B∩BC=B,所以AB⊥平面PBC,因?yàn)镻C?平面PBC,所以AB⊥PC.(3)如圖,過(guò)E作EF∥AD交PA于F,連接BF.因?yàn)锳D∥BC,所以EF∥BC.所以E,F,B,C四點(diǎn)共面.又因?yàn)镃E∥平面PAB,且CE?平面BCEF,平面BCEF∩平面PAB=BF,所以CE∥BF,所以四邊形BCEF為平行四邊形,所以EF=BC=AD.在△PAD中,因?yàn)镋F∥AD,所以==,即=.6.(2020河南安陽(yáng)二模,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AD=BD=AB=2,平面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=,E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PAD;(2)求證:平面PAD⊥平面PBD;(3)求三棱錐B-PCD的體積.解析　(1)證明:如圖,連接AC. 因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形,且F是BD的中點(diǎn),所以F也是AC的中點(diǎn).又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以EF∥PA.因?yàn)镻A?平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)證明:在△ABD中,因?yàn)锳D=BD=AB=2,所以AD2+BD2=8=AB2,則BD⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD,交線為AD,而B(niǎo)D?平面ABCD,所以BD⊥平面PAD.因?yàn)锽D?平面PBD,所以平面PAD⊥平面PBD.(3)如圖,取AD中點(diǎn)O,連接PO.∵PA=PD,O為AD中點(diǎn),∴PO⊥AD.又∵平面PAD⊥底面ABCD,交線為AD,∴PO⊥平面ABCD.∵PA=PD=,AD=2,∴PA2+PD2=4=AD2,∴PA⊥PD.∴PO=1,∴VB-PCD=VP-BCD=×S△BCD×PO=××2×2×1=.7.(2019北京西城二模文,18)如圖1,在平行四邊形ABCD中,O為AD的中點(diǎn),BO^AD.將三角形ABO沿BO折起到三角形A1BO的位置,如圖2.(1)求證:BO^A1D;(2)若M為A1B的中點(diǎn),求證:MO∥平面A1CD;(3)判斷平面A1OD能否垂直于平面A1CD,證明你的結(jié)論.圖1圖2解析　(1)證明:因?yàn)樵陬}圖1中,BO⊥AD,所以在題圖2中,BO⊥A1O,BO⊥OD,又因?yàn)锳1O∩OD=O,A1O,OD?平面A1OD,所以BO⊥平面A1OD,又因?yàn)锳1D?平面A1OD,所以BO⊥A1D.(2)證明:如圖,取A1C的中點(diǎn)N,連接MN、DN.因?yàn)镸為A1B的中點(diǎn), 所以MN∥BC,MN=BC,又因?yàn)镺D∥BC,OD=BC,所以MN∥OD,MN=OD,所以四邊形OMND為平行四邊形,所以MO∥DN.又因?yàn)镸O?平面A1CD,DN?平面A1CD,所以MO∥平面A1CD.(3)結(jié)論:平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.證明如下:假設(shè)平面A1OD⊥平面A1CD,在平面A1OD內(nèi)過(guò)O作OE⊥A1D于E,因?yàn)槠矫鍭1OD∩平面A1CD=A1D,所以O(shè)E⊥平面A1CD.又因?yàn)镃D?平面A1CD,所以O(shè)E⊥CD.由(1)知BO⊥平面A1OD,所以BO⊥OE.又因?yàn)锽O與CD相交,BO,CD?平面OBCD,所以O(shè)E⊥平面OBCD,故OE同時(shí)垂直于兩個(gè)相交平面OBCD和A1CD,這顯然不成立,故假設(shè)不成立.所以平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.解后反思　(1)先由線面垂直的判定定理得線面垂直,再由線面垂直的性質(zhì)得線線垂直;(2)要證明線面平行,即在平面中找到一條直線與該直線平行,用線面平行的判定定理進(jìn)行證明;(3)運(yùn)用反證法進(jìn)行證明.8.(2018廣東江門一模,19)如圖,在直角梯形ABEF中,∠ABE=∠BAF=90°,C、D分別是BE、AF上的點(diǎn),且DA=AB=BC=a,DF=2CE=2a.沿CD將四邊形CDFE翻折至四邊形CDPQ的位置,連接AP、BP、BQ,得到多面體ABCDPQ,且AP=a.(1)求多面體ABCDPQ的體積;(2)求證:平面PBQ⊥平面PBD.解析　(1)∵DA=AB=BC=a,∠ABC=∠BAD=90°,∴四邊形ABCD是正方形,∴CD⊥AD,CD⊥DP,又AD∩DP=D,∴CD⊥平面ADP.∵AB∥CD,∴AB⊥平面ADP,∵AD2+DP2=AP2,∴AD⊥DP,又CD⊥AD,CD∩DP=D, ∴AD⊥平面CDPQ,又AD∥BC,∴BC⊥平面CDPQ.∴VB-CDPQ=S梯形CDPQ·BC=××a=a3,VB-ADP=S△ADP·AB=××a×2a×a=,∴多面體ABCDPQ的體積為VB-CDPQ+VB-ADP=.(2)證明:取BP的中點(diǎn)G,連接GQ、DG、DQ,在△ABP中,BP==2a,∴BG=BP=a,在△BCQ中,BQ==a.PQ==a,∴PQ=BQ,∴GQ⊥BP.∴QG==a,又BD=AB=2a=DP,∴DG⊥BP,∴DG==a,又DQ==a,∴DQ2=QG2+DG2,∴QG⊥DG.又BP∩DG=G,∴QG⊥平面PBD,又QG?平面PBQ,∴平面PBQ⊥平面PBD.思路分析　(1)將多面體分解成三棱錐B-ADP和四棱錐B-CDPQ,分別計(jì)算兩個(gè)棱錐的體積然后相加即可;(2)取BP的中點(diǎn)G,連接GQ、DG、DQ,根據(jù)勾股定理計(jì)算各邊長(zhǎng)得出QG⊥BP,QG⊥DG,從而QG⊥平面PBD,于是證得平面PBQ⊥平面PBD.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　證明直線與平面垂直的方法1.(2017課標(biāo)Ⅲ,10,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則(　　)A.A1E⊥DC1　　B.A1E⊥BD　　C.A1E⊥BC1　　D.A1E⊥AC答案　C2.(多選題)(2020山東泰安期末,6)已知α,β是兩個(gè)不重合的平面,m,n是兩條不重合的直線,則下列命題正確的是(　　)A.若m∥n,m⊥α,則n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,則m∥nC.若m⊥α,m⊥β,則α∥βD.若m⊥α,m∥n,n⊥β,則α∥β答案　ACD 3.(多選題)(2020山東濟(jì)寧一中二輪檢測(cè),6)如圖,在以下四個(gè)正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是(　　)答案　BD4.(2018課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.5.(2020山東臨沂期末,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB⊥BC,AP=AB=BC=AD,E為AD的中點(diǎn),AC與BE相交于點(diǎn)O.(1)證明:PO⊥平面ABCD;(2)求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.6.(2020山東普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬,18)已知在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD=AD,G是PB的中點(diǎn),△PAD是等邊三角形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求證:CD⊥平面GAC;(2)求二面角P-AG-C的余弦值.考法二　證明平面與平面垂直的方法 7.(多選題)(2020山東濟(jì)寧兗州模擬,10)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,則下列說(shuō)法正確的是(　　)A.在棱AD上存在點(diǎn)M,使AD⊥平面PMBB.異面直線AD與PB所成的角為90°C.二面角P-BC-A的大小為45°D.BD⊥平面PAC答案　ABC8.(多選題)(2020山東淄博二模,11)如圖所示,在四棱錐E-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,△CDE是正三角形,M為線段DE的中點(diǎn),點(diǎn)N為底面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(　　)A.當(dāng)BC⊥DE時(shí),平面CDE⊥平面ABCDB.當(dāng)BC⊥DE時(shí),直線EA與平面ABCD所成的角的正弦值為C.當(dāng)直線BM和EN異面時(shí),點(diǎn)N不可能為底面ABCD的中心D.當(dāng)平面CDE⊥平面ABCD,且點(diǎn)N為底面ABCD的中心時(shí),BM=EN答案　AC9.(2020山東仿真聯(lián)考3)如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=2,BC=4,AD=6,E是AD上的點(diǎn),AE=AD,P為BE的中點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,使得A1C=4,如圖2.(1)求證:平面A1CP⊥平面A1BE;(2)點(diǎn)M在線段CD上,當(dāng)直線A1M與平面A1PD所成角的正弦值為時(shí),求二面角M-A1P-D的余弦值.10.(2019北京,18,14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE?說(shuō)明理由. [教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一　證明直線與平面垂直的方法1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知側(cè)棱CC1⊥底面ABC,M為BC的中點(diǎn),AC=AB=3,BC=2,CC1=.(1)證明:B1C⊥平面AMC1;(2)求點(diǎn)A1到平面AMC1的距離.解析　(1)證明:在△ABC中,AC=AB,M為BC的中點(diǎn),故AM⊥BC,又側(cè)棱CC1⊥底面ABC,AM?平面ABC,所以CC1⊥AM,又BC∩CC1=C,BC,CC1?平面BCC1B1,所以AM⊥平面BCC1B1,又B1C?平面BCC1B1,所以AM⊥B1C.在Rt△BCB1中,tan∠B1CB==,在Rt△MCC1中,tan∠MC1C===,所以∠B1CB=∠MC1C,又∠B1CB+∠C1CB1=90°,所以∠MC1C+∠C1CB1=90°,即MC1⊥B1C,又AM⊥B1C,AM∩MC1=M,AM,MC1?平面AMC1,所以B1C⊥平面AMC1.(2)由(1)知AM⊥MC1,設(shè)點(diǎn)A1到平面AMC1的距離為h,由于===,所以·h=S△AMC·CC1,于是h=====,所以點(diǎn)A1到平面AMC1的距離為.2.(2017重慶巴蜀中學(xué)三模)如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,四邊形ABCD為菱形,四邊形ADEF為矩形,M,N分別是EF,BC的中點(diǎn),AB=2AF,∠CBA=60°.(1)求證:DM⊥平面MNA;(2)若三棱錐A-DMN的體積為,求MN的長(zhǎng). 解析　(1)證明:連接AC,在菱形ABCD中,∠CBA=60°,AB=BC,∴△ABC為等邊三角形,又∵N為BC的中點(diǎn),∴AN⊥BC,∵BC∥AD,∴AN⊥AD,又∵平面ABCD⊥平面ADEF,AN?平面ABCD,平面ABCD∩平面ADEF=AD,∴AN⊥平面ADEF,又DM?平面ADEF,∴DM⊥AN.∵在矩形ADEF中,AD=2AF,M為EF的中點(diǎn),∴△AMF為等腰直角三角形,∴∠AMF=45°,同理,∠DME=45°,∴∠DMA=90°,∴DM⊥AM,又∵AM∩AN=A,且AM,AN?平面MNA,∴DM⊥平面MNA.(2)設(shè)AF=x,則AB=2AF=2x,在Rt△ABN中,AB=2x,∠ABN=60°,∴AN=x,∴S△ADN=×2x×x=x2.∵平面ABCD⊥平面ADEF,AD為平面ABCD與平面ADEF的交線,FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD,設(shè)h為點(diǎn)M到平面ADN的距離,則h=AF=x,∴VM-ADN=×S△ADN×h=×x2×x=x3,∵VM-ADN=VA-DMN=,∴x=1,∵AN⊥平面ADEF,AM?平面ADEF,∴AN⊥AM.∴MN==.3.(2018四川成都二診,19)如圖,D是AC的中點(diǎn),四邊形BDEF是菱形,平面BDEF⊥平面ABC,∠FBD=60°,AB⊥BC,AB=BC=.(1)若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn),證明:BF⊥平面AMC;(2)求六面體ABCEF的體積.解析　(1)證明:連接MD,FD.∵四邊形BDEF為菱形,且∠FBD=60°,∴△DBF為等邊三角形.∵M(jìn)是BF的中點(diǎn),∴DM⊥BF.∵AB⊥BC,AB=BC=,又D是AC的中點(diǎn),∴BD⊥AC.∵平面BDEF∩平面ABC=BD,平面BDEF⊥平面ABC,AC?平面ABC, ∴AC⊥平面BDEF.又BF?平面BDEF,∴AC⊥BF.由DM⊥BF,AC⊥BF,DM∩AC=D,得BF⊥平面AMC.(2)S菱形BDEF=2··BD·BF·sin60°=.由(1)知AC⊥平面BDEF,則V四棱錐C-BDEF=S菱形BDEF·CD=××1=,∴V六面體ABCEF=2V四棱錐C-BDEF=.考法二　證明平面與平面垂直的方法1.(2018四川瀘州模擬,19)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=AB,側(cè)面SAD⊥底面ABCD.(1)求證:平面SBD⊥平面SAD;(2)若∠SDA=120°,且三棱錐S-BCD的體積為,求側(cè)面△SAB的面積.解析　(1)證明:設(shè)BC=a,則CD=a,AB=2a,由題意知△BCD是等腰直角三角形,且∠BCD=90°,則BD=a,∠CBD=45°,所以∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°,在△ABD中,AD==a,因?yàn)锳D2+BD2=4a2=AB2,所以BD⊥AD,由于平面SAD⊥底面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面SAD,又BD?平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=a,在△SAD中,∠SDA=120°,SA=2SDsin60°=a,作SH⊥AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,則SH=SDsin60°=a,由(1)知BD⊥平面SAD,因?yàn)镾H?平面SAD,所以BD⊥SH,又AD∩BD=D,所以SH⊥平面ABCD,所以SH為三棱錐S-BCD的高,所以VS-BCD=×a××a2=,解得a=1,由BD⊥平面SAD,SD?平面SAD,可得BD⊥SD,則SB===2,又AB=2,SA=,在等腰三角形SBA中,邊SA上的高為=,則△SAB的面積為××=. 2.(2020四川內(nèi)江、廣安、遂寧、樂(lè)山等九市二診,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,△PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PC=,E為線段AD的中點(diǎn).(1)求證:平面PBC⊥平面PBE;(2)是否存在滿足=λ(λ>0)的點(diǎn)F,使得VB-PAE=VD-PFB?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析　(1)證明:連接CE,∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△ABD為等邊三角形,又E為AD的中點(diǎn),∴BE⊥AD,而B(niǎo)C∥AD,則BC⊥BE.由△PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,得BE=,BC=2,則EC2=22+()2=7.又PE=,PC=,∴PE2+EC2=PC2,即PE⊥EC.∵PE⊥AD,AD∩EC=E,∴PE⊥平面ABCD,則PE⊥BC,又BC⊥BE,且BE∩PE=E,∴BC⊥平面PBE,而B(niǎo)C?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBE.(2)假設(shè)存在滿足=λ(λ>0)的點(diǎn)F,使得VB-PAE=VD-PFB,∵VB-PAE=VP-ABE=S△ABE·PE=××1××=.VD-PFB=VB-PDF=VB-PDC=VP-BDC=×××2×2×sin60°×=.由=×,解得λ=2.∴存在滿足=λ(λ>0)的點(diǎn)F,使得VB-PAE=VD-PFB.思路分析　(1)根據(jù)邊的關(guān)系得到PE⊥EC,由面面垂直的判定可得平面PBC⊥平面PBE;(2)先假設(shè)存在滿足=λ(λ>0)的點(diǎn)F,使得VB-PAE=VD-PFB,分別求出三棱錐B-PAE的體積與三棱錐D-PFB的體積,由已知等量關(guān)系求得λ=2,符合條件說(shuō)明存在.3.(2018陜西西安八校第一次聯(lián)考)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)為M,又PA=AB=4,AD=CD,∠CDA=120°,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn).(1)求證:平面PMN⊥平面PAB;(2)求點(diǎn)M到平面PBC的距離.解析　(1)證明:在正△ABC中,有AB=BC, 在△ACD中,有AD=CD,又BD=BD,∴△ADB≌△CDB,所以M為AC的中點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)N是CD的中點(diǎn),所以MN∥AD,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,因?yàn)椤螩DA=120°,所以∠DAC=30°,因?yàn)椤螧AC=60°,所以∠BAD=90°,即BA⊥AD,因?yàn)镻A∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,所以MN⊥平面PAB,又MN?平面PMN,所以平面PMN⊥平面PAB.(2)設(shè)M到PBC的距離為h,在Rt△PAB中,PA=AB=4,所以PB=4,在Rt△PAC中,PA=AC=4,所以PC=4,在Rt△PBC中,PB=4,PC=4,BC=4,所以S△PBC=4,由VM-PBC=VP-BMC得×4×h=×2×4,解得h=.