§8.5　空間向量及其在立體幾何中的應(yīng)用應(yīng)用篇【應(yīng)用集訓(xùn)】1.(多選題)(2020山東濱州模擬,10)已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC與BD相交于點(diǎn)O,將△ABD沿BD折起,使頂點(diǎn)A至點(diǎn)M,在折起的過程中,下列結(jié)論正確的是(　　)A.BD⊥CMB.存在一個(gè)位置,使△CDM為等邊三角形C.DM與BC不可能垂直D.直線DM與平面BCD所成的角的最大值為60°答案　ABD2.(2020河北衡水中學(xué)七調(diào),11)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是對角線AC1上的點(diǎn)(點(diǎn)M與A、C1不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為(　　)①存在點(diǎn)M,使得平面A1DM⊥平面BC1D;②存在點(diǎn)M,使得DM∥平面B1CD1;③若△A1DM的面積為S,則S∈;④若S1、S2分別是△A1DM在平面A1B1C1D1與平面BB1C1C的正投影的面積,則存在點(diǎn)M,使得 S1=S2.A.1　　B.2　　C.3　　D.4答案　C3.(2020湖北襄陽優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考,18)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,∠ABC=60°,E為棱BC的中點(diǎn),F為棱PC的動(dòng)點(diǎn).(1)求證:AE⊥平面PAD;(2)若銳二面角E-AF-C的正弦值為,求點(diǎn)F的位置.4.(2019安徽六安一中4月月考,18)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.(1)若M是A1D的中點(diǎn),求直線CM與平面A1BE所成角的大小;(2)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由.5.(2019北京懷柔一模文,18)如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC,D,E分別為PA,AC的中點(diǎn).(1)求證:DE∥平面PBC;(2)求證:BC⊥平面PAB;(3)在線段AB上是否存在點(diǎn)F,使得過三點(diǎn)D,E,F的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行?若存在,指出點(diǎn)F的位置并證明;若不存在,請說明理由. [教師專用題組]【應(yīng)用集訓(xùn)】1.如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.(1)求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小;(2)已知點(diǎn)D滿足=+,在直線AA1上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C?若存在,請確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.解析　(1)∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于點(diǎn)O,連接BO,∴A1O⊥平面ABC.又∠A1AC=60°,且各棱長都相等,∴AO=1,OA1=OB=,BO⊥AC.故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,-1,0),B1(,1,),A1(0,0,),C(0,1,0),∴=(0,1,),=(,2,),=(0,2,0).設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,z), 則取z=1,得n=(-1,0,1).設(shè)側(cè)棱AA1與平面AB1C所成的角為θ,則sinθ=|cos<,n>|===,∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為.(2)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0,0),∴=(-,-1,0),=(-,1,0),∵=+,∴=(-2,0,0),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-,0,0).假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0,y1,z1),∴=(,y1,z1).∵DP∥平面AB1C,且n=(-1,0,1)為平面AB1C的一個(gè)法向量,∴-+z1=0,即z1=.易知與共線,故設(shè)=λ,∴∴y1=0.又DP?平面AB1C,故存在點(diǎn)P,使DP∥平面AB1C,其坐標(biāo)為(0,0,),即恰好為A1點(diǎn).2.(2018青海西寧湟中一中月考,18)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且BC=BB1=,∠A1AB=∠A1AD=60°.(1)求證:BD⊥CC1;(2)若動(dòng)點(diǎn)E在棱C1D1上,試確定點(diǎn)E的位置,使得直線DE與平面BDB1所成角的正弦值為. 解析　(1)證明:連接A1B,A1D,AC,因?yàn)锳B=AA1=AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,所以△A1AB和△A1AD均為正三角形,于是A1B=A1D.設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連接A1O,則A1O⊥BD,又四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1?平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由A1B=A1D=,及BD=AB=2,知A1B⊥A1D,于是AO=A1O=BD=AA1,從而A1O⊥AO,結(jié)合A1O⊥BD,AO∩BD=O,得A1O⊥底面ABCD,所以O(shè)A、OB、OA1兩兩垂直,如圖,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1),C(-1,0,0),=(0,2,0),==(-1,0,1),==(-1,1,0),由==(-1,0,1),得D1(-1,-1,1).設(shè)=λ(λ∈[0,1]),易知E(-λ-1,λ-1,1),所以=(-λ-1,λ,1).設(shè)平面B1BD的法向量n=(x,y,z),由得令x=1,得n=(1,0,1),設(shè)直線DE與平面BDB1所成角為θ,則sinθ=|cos<,n>|==,解得λ=或λ=-(舍去), 所以當(dāng)E為D1C1的中點(diǎn)時(shí),直線DE與平面BDB1所成角的正弦值為.3.(2019湖北七市(州)教科研協(xié)作體3月聯(lián)考,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=3,AC=2,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).(1)求證:PB∥平面AEC;(2)在線段PB上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-E的余弦值為?若存在,確定M的位置;若不存在,請說明理由.解析　(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)F,連接EF,如圖,在△PBD中,由已知得EF∥PB,(2分)又EF?平面AEC,PB?平面AEC,∴PB∥平面AEC.(4分)(2)由題意知,AC,AB,AP兩兩垂直,如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AC,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.則C(2,0,0),D(2,-3,0),P(0,0,3),B(0,3,0),E,設(shè)M(x0,y0,z0),=λ(0<λ<1),則(x0,y0,z0-3)=λ(0,3,-3),得M(0,3λ,3-3λ),(6分)設(shè)平面AEC的法向量為n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0,=,=(2,0,0),得取y1=1,得n1=(0,1,1).設(shè)平面MAC的法向量為n2=(x2,y2,z2),由n2·=0,n2·=0,=(0,3λ,3-3λ),=(2,0,0),得取z2=1,得n2=.(9分)設(shè)二面角M-AC-E的大小為θ,∵二面角M-AC-E的余弦值為,∴θ為銳角,則cosθ===,(10分)化簡得9λ2-9λ+2=0,解得λ=或λ=.易知λ=時(shí),θ為鈍角,∴λ=,∴=.故=時(shí),二面角M-AC-E的余弦值為.(12分)4.(2020天津北辰第一次診斷測試,17)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,四邊形ADPQ是梯形,PD∥QA,∠PDA=,平面ADPQ⊥平面ABCD,且AD=PD=2QA=2. (1)求證:QB∥平面PDC;(2)求二面角C-PB-Q的大小;(3)已知點(diǎn)H在棱PD上,且異面直線AH與PB所成角的余弦值為,求線段DH的長.解析　本題考查線面平行、二面角,考查立體幾何中的探索性問題.∵平面ADPQ⊥平面ABCD,平面ADPQ∩平面ABCD=AD,PD?平面ADPQ,∠PDA=,∴直線PD⊥平面ABCD.以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),Q(2,0,1),P(0,0,2).(1)證明:易知=(-2,0,0)是平面PDC的一個(gè)法向量,=(0,2,-1),∴·=0,又直線QB?平面PDC,∴QB∥平面PDC.(2)=(2,2,-2),=(0,2,-2),設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面PBC的法向量,則即 不妨設(shè)z1=1,可得n1=(0,1,1).設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面PBQ的法向量,=(2,2,-2),=(2,0,-1),則即不妨設(shè)z2=2,可得n2=(1,1,2),∴cos==,又知二面角C-PB-Q為鈍二面角,∴二面角C-PB-Q的大小為.(3)設(shè)H(0,0,h)(0≤h≤2),則=(-2,0,h),=(2,2,-2),|cos<,>|=,即=,∴6h2-25h+24=0,解得h=或h=(舍去).故線段DH的長為.創(chuàng)新篇【創(chuàng)新集訓(xùn)】1.(多選題)(2020山東青島三模)在如圖所示的棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng),則下列命題中正確的是(　　)A.若點(diǎn)P總滿足PA⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線B.若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長為2π的圓C.若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓D.若點(diǎn)P到直線AD與到直線CC1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線答案　ABD 2.(2020湖北荊州中學(xué)、宜昌一中、龍泉中學(xué)三校聯(lián)盟聯(lián)考,12)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P是空間中任意一點(diǎn),下列命題正確的個(gè)數(shù)是(　　)①若P為棱CC1中點(diǎn),則異面直線AP與CD所成角的正切值為;②若P在線段A1B上運(yùn)動(dòng),則AP+PD1的最小值為;③若P在半圓弧上運(yùn)動(dòng),當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大時(shí),三棱錐P-ABC外接球的表面積為2π;④若過點(diǎn)P的平面α與正方體每條棱所成角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為.A.1　　B.2　　C.3　　D.4答案　C3.(2020湖南湘東六校聯(lián)考,19)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)證明:直線BC∥平面OEF;(2)在線段DF上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-OE-D的余弦值是?若不存在,請說明理由;若存在,請求出M點(diǎn)所在的位置.