§9.1　直線方程與圓的方程專題檢測1.(2018浙江金華模擬,4)過點(-10,10)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為(　　)A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=0答案　C　當(dāng)直線經(jīng)過原點,即橫截距與縱截距均為0時,它的方程為=,即x+y=0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點時,設(shè)它的方程為+=1,把(-10,10)代入可得+=1,求得a=.此時它的方程為+=1,即x+4y-30=0.綜上可得,該直線的方程為x+y=0或x+4y-30=0,故選C.2.(2019北京新學(xué)道臨川學(xué)校高二月考,1)圓(x+1)2+(y-2)2=4的圓心坐標(biāo)和半徑分別為(　　)A.(-1,2),2　　B.(1,-2),2　　C.(-1,2),4　　D.(1,-2),4答案　A　圓(x+1)2+(y-2)2=4的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑r=2.故選A.3.(2019北京延慶一模文,2)圓心為(0,1)且與直線y=2相切的圓的方程為(　　)A.(x-1)2+y2=1　　B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1　　D.x2+(y+1)2=1答案　C　圓心(0,1)到直線y=2的距離為圓的半徑r=1,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+(y-1)2=1.故選C.4.(2019北京新學(xué)道臨川學(xué)校高二月考,5)方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的圖形是(　　) A.一個點　　B.一個圓C.一條直線　　D.不存在答案　A　本題考查二元二次方程與圖形問題,考查學(xué)生直觀想象能力與運算求解能力,滲透數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).方程2x2+2y2-4x+8y+10=0可化為x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,解得x=1,y=-2,∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示點(1,-2),故選A.5.(2020中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力基礎(chǔ)性測試,2)已知圓C的方程為2x2+2y2-2x+4y-1=0,則圓C的圓心坐標(biāo)為(　　)A.(1,2)　　B.(1,-2)　　C.　　D.答案　D　本題考查圓的一般方程,考查了學(xué)生的運算求解能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由2x2+2y2-2x+4y-1=0得2(x2-x)+2(y2+2y)=1,從而有2+2(y+1)2=,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+(y+1)2=,圓心為,故選D.方法總結(jié)　求圓心坐標(biāo)有兩種方法:(1)化標(biāo)法:將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,從而知圓心坐標(biāo)為(a,b),(2)公式法:圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心為.6.(2018湖北荊州二模,8)圓(x-1)2+(y-1)2=2關(guān)于直線y=kx+3對稱,則k的值是(　　)A.2　　B.-2　　C.1　　D.-1答案　B　∵圓(x-1)2+(y-1)2=2關(guān)于直線y=kx+3對稱,∴直線y=kx+3過圓心(1,1),即1=k+3,解得k=-2.故選B.7.(2018安徽安慶模擬,8)設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0和x+y+b=0,已知a,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個實根,且0≤c≤,則這兩條直線間距離的最大值為(　　) A.　　B.　　C.　　D.答案　B　因為a,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個實根,所以a+b=-1,ab=c.因為直線x+y+a=0和x+y+b=0之間的距離d=,所以d2==,因為0≤c≤,所以≤1-4c≤1,所以≤≤,即d2∈,所以這兩條直線之間的距離的最大值為.故選B.關(guān)鍵點撥　利用a,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的實根得出a+b=-1,ab=c,寫出兩平行線之間距離的表達(dá)式,然后求解即可.8.(2019江西新余五校8月聯(lián)考,8)已知圓O:x2+y2=9,過點C(2,1)的直線l與圓O交于P,Q兩點,則當(dāng)△OPQ的面積最大時,直線l的方程為(　　)A.x-y-3=0或7x-y-15=0B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0答案　D　當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=2,則P,Q的坐標(biāo)為(2,),(2,-),所以S△OPQ=×2×2=2.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2), 則圓心到直線PQ的距離d=,由平面幾何知識得|PQ|=2,S△OPQ=×|PQ|×d=×2×d=≤=,當(dāng)且僅當(dāng)9-d2=d2,即d2=時,S△OPQ取得最大值,為.因為2<,所以S△OPQ的最大值為,此時=,解得k=-1或k=-7,此時直線l的方程為x+y-3=0或7x+y-15=0,故選D.9.(2019江蘇海安中學(xué)期初)過點A(-1,-3),斜率是直線y=3x的斜率的-的直線方程為　　　　　　.?答案　3x+4y+15=0解析　設(shè)所求直線的斜率為k,依題意有k=-×3=-.又直線經(jīng)過點A(-1,-3),因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.10.(2018江蘇宿遷期末)已知光線通過點M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線通過點N(2,6),則反射光線所在直線的方程是　　　　.?答案　y=6x-6解析　由題意得反射光線經(jīng)過點M(-3,4)關(guān)于直線l的對稱點Q(x,y)與點N(2,6).由解得所以Q(1,0),所以反射光線所在直線的方程為=,即y=6x-6.11.(2019北京新學(xué)道臨川學(xué)校高二月考,18)求圓心在直線3x+y-5=0上,并且經(jīng)過原點O和點A(4,0)的圓的方程. 解析　本題考查圓的方程的求法,考查學(xué)生的運算求解能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由直線和圓相交的性質(zhì)可得,圓心在連接點O(0,0)和點A(4,0)所成線段的中垂線x=2上,再根據(jù)圓心在直線3x+y-5=0上,可得圓心C的坐標(biāo)為(2,-1),故半徑r=|OC|=.所以所求的圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=5.12.(2019江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中)已知直線l:+=1.(1)若直線l的斜率等于2,求實數(shù)m的值;(2)若直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,求△AOB面積的最大值及此時直線的方程.解析　(1)根據(jù)直線l的方程:+=1可得直線l過點(m,0),(0,4-m),所以k==2,解得m=-4.(2)由題意可知直線l過點(m,0),(0,4-m),則由m>0,4-m>0得0|AC'|=|P1C'|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即為所求.易知直線AC'的方程為19x+17y-93=0,聯(lián)立解得P1,即為所求的點.14.(2020皖北期中聯(lián)考,18)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C:x2+y2+4x-2y+m=0與直線x-y+-2=0相切.(1)求圓C的方程;(2)若圓C上有兩點M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2,求直線MN的方程.解析　(1)將圓C:x2+y2+4x-2y+m=0化為(x+2)2+(y-1)2=5-m,∵圓C:x2+y2+4x-2y+m=0與直線x-y+-2=0相切,∴圓心(-2,1)到直線x-y+-2=0的距離d==2=r,∴圓C的方程為(x+2)2+(y-1)2=4.(2)∵圓C上有兩點M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,∴可設(shè)直線MN的方程為2x-y+c=0,∵|MN|=2,半徑r=2,∴圓心(-2,1)到直線MN的距離為=1, 即=1,解得c=5±,∴直線MN的方程為2x-y+5+=0或2x-y+5-=0.