§9.2 直線、圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 兩直線的位置關(guān)系1.若直線l1:(m-2)x-y-1=0與直線l2:3x-my=0互相平行,則m的值等于( )A.0或-1或3 B.0或3C.0或-1 D.-1或3答案 D2.(多選題)已知直線l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+3=0,則下列說法正確的是( )A.若l1∥l2,則m=-1或m=3 B.若l1∥l2,則m=3C.若l1⊥l2,則m=- D.若l1⊥l2,則m=答案 BD考點(diǎn)二 直線與圓的位置關(guān)系3.平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是( )A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=0答案 A4.直線l:x-y+m=0與圓C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是( )A.[-,] B.[-2,2]C.[--1,-1] D.[-2-1,2-1]答案 D
5.已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1),若圓x2+y2-4x-2y+t=0上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,使得△PAB的面積為,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .?答案 考點(diǎn)三 圓與圓的位置關(guān)系6.設(shè)圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-2)2+(y+2)2=1,則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是( )A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含答案 A7.圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9與圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,則m的值為( )A.2 B.-5 C.2或-5 D.不確定答案 C8.圓心為(2,0)的圓C與圓x2+y2+4x-6y+4=0相外切,則圓C的方程為( )A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y2-4x+2=0C.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0答案 D9.兩圓C1:x2+y2+4x+y+1=0,C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|= .?答案 [教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 兩直線的位置關(guān)系1.(2020廣東珠海9月摸底測試,11)已知點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),若直線l:x+y=m上存在點(diǎn)P使得PM⊥PN,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-,] D.(-,)答案 C ∵直線l上存在點(diǎn)P,使PM⊥PN,
∴以MN為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn),易知以MN為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑r=1,則圓心(0,0)到直線l的距離d=≤1,解得-≤m≤,故選C.2.若直線l1:x+a2y+6=0與直線l2:ax+3y+2a=0互相垂直,則實(shí)數(shù)a的值為 .?答案 0或-解析 ∵l1⊥l2,∴1×a+3a2=0,解得a=0或a=-.考點(diǎn)二 直線與圓的位置關(guān)系1.(2020遼寧大連第一中學(xué)月考)已知圓C:x2+y2=4,直線l:x-y+6=0,在直線l上任取一點(diǎn)P向圓C作切線,切點(diǎn)為A,B,連接AB,則直線AB一定過定點(diǎn)( )A. B.(1,2)C.(-2,3) D.答案 A 如圖所示,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x0-y0+6=0.以CP為直徑的圓的方程為x(x-x0)+y(y-y0)=0,又圓C:x2+y2=4,作差可得直線AB的方程為xx0+yy0=4,將y0=x0+6代入可得(x+y)x0+6y-4=0,令?故直線AB過定點(diǎn).
思路分析 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),根據(jù)圓系知識(shí)可求出直線AB的方程,再根據(jù)點(diǎn)P(x0,y0)在直線l上,可得x0,y0的關(guān)系,代入直線AB的方程,消去y0,根據(jù)關(guān)于x0的方程恒成立即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).方法總結(jié) 與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則過A、B兩點(diǎn)的直線方程為x0x+y0y=r2.2.(2018山西太原五中4月模擬,8)已知k∈R,點(diǎn)P(a,b)是直線x+y=2k與圓x2+y2=k2-2k+3的公共點(diǎn),則ab的最大值為( )A.15 B.9 C.1 D.-答案 B 由題意得,圓心到直線x+y=2k的距離d=≤,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因?yàn)?ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以當(dāng)k=-3時(shí),ab取得最大值9.故選B.3.(2017河北石家莊一模,9)若a,b是正數(shù),直線2ax+by-2=0被圓x2+y2=4截得的弦長為2,則t=a取得最大值時(shí)a的值為( )A. B. C. D.答案 D 由已知可得圓心到直線2ax+by-2=0的距離d=,則直線被圓截得的弦長為2=2,化簡得4a2+b2=4.∴t=a=·(2a)·≤[(2a)2+()2]=(8a2+2b2+1)=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即t取最大值,此時(shí)a=(舍負(fù)).故選D.
方法點(diǎn)撥 在解直線與圓相交的弦長問題時(shí),經(jīng)常采用幾何法.當(dāng)直線與圓相交時(shí),半徑長、半弦長、弦心距所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵作用,解題時(shí)要注意將它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用.考點(diǎn)三 圓與圓的位置關(guān)系1.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( )A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離答案 B 圓M:x2+(y-a)2=a2(a>0)的圓心為M(0,a),半徑r1=a,∴圓心M到直線x+y=0的距離d=,由題意知2=2=2,所以a=2,∴M(0,2),r1=2,又圓N的圓心為N(1,1),半徑r2=1,∴|MN|==,∵r1-r2<|MN|
0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),下列結(jié)論正確的有( )A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=a D.y1+y2=2b答案 ABC[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 兩直線的位置關(guān)系1.(2018浙江9+1高中聯(lián)盟期中,3)“m=2”是“直線2x+(m+1)y+4=0與直線mx+3y-2=0平行”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 A 當(dāng)m=-1時(shí),兩直線不平行.當(dāng)m≠-1時(shí),由兩直線平行可得-=-,且-≠,解得m=2或m=-3,
∴“m=2”是“直線2x+(m+1)y+4=0與直線mx+3y-2=0平行”的充分不必要條件,故選A.2.(2018浙江高考模擬卷,11)已知直線l1:ax+y+2=0,l2:(a2-3)x+2y+1=0,若a∈R,則直線l1過定點(diǎn) ;若l1∥l2,則實(shí)數(shù)a= .?答案 (0,-2);3或-1解析 在直線l1的方程中,令x=0,得y=-2,則直線l1過定點(diǎn)(0,-2).由兩直線平行得-a=-,解得a=3或-1,經(jīng)檢驗(yàn)知此時(shí)兩直線平行.3.(2017天津和平四模,12)經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心,且與直線x+y-2=0垂直的直線方程是 .?答案 x-y+1=0解析 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,即(x+1)2+y2=1,可得圓心坐標(biāo)為(-1,0).∵直線x+y-2=0的斜率為-1,∴與直線x+y-2=0垂直的直線的斜率為1.則所求直線方程為y-0=1×(x+1),即x-y+1=0.解題分析 本題考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系,是基礎(chǔ)題.考法二 直線和圓的位置關(guān)系1.(2018浙江新高考調(diào)研卷五(紹興一中),6)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以(0,1)為圓心,且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y-1)2=4C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16答案 C 直線mx-y-2m-1=0過定點(diǎn)(2,-1),故圓心到定點(diǎn)的距離為2,以此為半徑,圓的面積最大.故選C.2.(2017天津河西一模,6)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若其漸近線與圓
x2+y2-4y+3=0相切,則此雙曲線的離心率等于( )A. B.2 C. D.答案 B 取雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線y=x,即bx-ay=0.將圓x2+y2-4y+3=0化為x2+(y-2)2=1,則圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑r=1.∵漸近線與圓x2+y2-4y+3=0相切,∴=1,即3a2=b2.∴該雙曲線的離心率e=====2.故選B.解題分析 熟練掌握雙曲線的漸近線方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、離心率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.3.(2017天津耀華中學(xué)二模,10)已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為 .?答案 20解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-4)2=25,則AC=2r=10,又點(diǎn)(3,5)到圓心的距離為1,∴BD=2=4,又易知AC⊥BD,∴四邊形ABCD的面積為×10×4=20.考法三 圓和圓的位置關(guān)系1.(2018江蘇鎮(zhèn)江期末)已知圓C與圓x2+y2+10x+10y=0相切于原點(diǎn),且過點(diǎn)A(0,-6),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .?答案 (x+3)2+(y+3)2=18解析 將x2+y2+10x+10y=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+5)2+(y+5)2=50,則圓心坐標(biāo)為(-5,-5),半徑為5.由題意可知圓心C在AO的垂直平分線y=-3上,
因?yàn)閳A心C在點(diǎn)(-5,-5)與原點(diǎn)的連線y=x上,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,-3),則圓C的半徑r==3.所以圓C的方程為(x+3)2+(y+3)2=18.2.(2017天津十二區(qū)縣二模,12)已知兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),且直線AB與直線3x-y+1=0垂直,則實(shí)數(shù)a= .?答案 3解析 由題意,兩圓相減可得AB:2x+2ay-a2+9=0,∵直線AB與直線3x-y+1=0垂直,∴-×3=-1,∴a=3.解題分析 本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查兩條直線垂直位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題.3.(2019江蘇如東高級(jí)中學(xué)高三第二次學(xué)情檢測,13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=r2(r>0)與圓M:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B兩點(diǎn),若在直線AB上存在一點(diǎn)P,使·≤0成立,則r的取值范圍是 .?答案 (2,2]解析 ∵圓O與圓M相交于A,B兩點(diǎn),∴|r-2|<|OM|
