§9.3　橢圓專題檢測(cè)1.在矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,則以A,B為焦點(diǎn),且過C,D兩點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為(　　)A.2　　B.2　　C.4　　D.4答案　D　依題意得|AC|=5,橢圓的焦距2c=|AB|=4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|AC|+|BC|=8,所以短軸長(zhǎng)2b=2=2=4.2.(2018廣西桂林、柳州聯(lián)考,10)已知點(diǎn)P是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,則橢圓的離心率e=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A　依題意,設(shè)|PF2|=m,則有|PF1|=2m,|F1F2|=m,則橢圓的離心率e===.故選A.3.(2018湖北重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考,7)已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(　　)A.　　B.1　　C.　　D.答案　D　不妨設(shè)A點(diǎn)在B點(diǎn)上方,由題意知:F2(1,0),將F2的橫坐標(biāo)代入橢圓方程+=1中,可得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為,故|AB|=3,所以內(nèi)切圓半徑r===(其中S為△ABF1的面積,C為△ABF1的周長(zhǎng)).故選D.一題多解　由橢圓的通徑公式得|AB|==3,則=×2×3=3,又易得△ABF1的周長(zhǎng)C=4a=8, 則由=C·r可得r=.故選D.4.(2020陜西百校聯(lián)盟9月聯(lián)考,10)已知橢圓C:+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過點(diǎn)F2且與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且=,若|OA|=|AF2|,則直線l的斜率為(　　)A.±1　　B.±　　C.±　　D.±答案　B　設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則兩式相減可得+=0,又由題意知A為線段MN的中點(diǎn),故A,故kOA·kMN=-,因?yàn)閨OA|=|AF2|,所以kOA=-kMN,所以kMN=±,故直線l的斜率為±.5.(2018廣東惠州三調(diào),16)設(shè)A、B為橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn),若在橢圓上存在異于A,B的點(diǎn)P,使得·=0,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率e的取值范圍是　　　　.?答案　解析　由題意知A(-a,0),B(a,0),設(shè)P(x,y),則=(-x,-y),=(a-x,-y),又·=0,∴(a-x)(-x)+y2=0,得y2=ax-x2>0,∴02b2,又b2=a2-c2,∴>, 又0b>0)上的一點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),已知∠F1PF2=120°,且|PF1|=3|PF2|,則橢圓的離心率為　　　　.?答案　解析　設(shè)|PF2|=m,∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=3m,由可得4c2=13×,∴離心率e==.12.(2019江蘇淮陰中學(xué)期初)若橢圓上存在三點(diǎn),使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率為　　　　.?答案　解析　不妨設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),根據(jù)橢圓與正方形的對(duì)稱性,可畫出滿足題意的圖形,如圖所示,因?yàn)閨OB|=a,所以|OA|=a,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為,又點(diǎn)A在橢圓上,所以+=1,所以a2=3b2,所以a2=3(a2-c2),所以3c2=2a2,所以橢圓的離心率e==. 13.(2019江蘇海安中學(xué)月考)設(shè)F1,F2分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為　　　　.?答案　15解析　如圖,|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知點(diǎn)M在橢圓外,連接MF2并延長(zhǎng)交橢圓于P點(diǎn),此時(shí)|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值為10+|MF2|=10+=15.14.(2019北京豐臺(tái)一模文,20)已知橢圓W:x2+2y2=2,直線l1:y=kx+m(km≠0)與橢圓W交于A,B兩點(diǎn),直線l2:y=kx-m與橢圓W交于C,D兩點(diǎn).(1)求橢圓W的離心率;(2)證明:四邊形ABCD不可能為矩形.解析　(1)由題知解得則e==,所以橢圓W的離心率為.(2)證明:由于兩直線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱且橢圓是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形,所以不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(-x1,-y1),D(-x2,-y2)(x1≠±x2), 則②-①得2(-)=-(-),所以kAB·kAD=·==-≠-1.所以AB不垂直于AD.所以四邊形ABCD不可能為矩形.15.(2018江蘇南通高三調(diào)研測(cè)試,17)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,B1,B2是橢圓+=1(a>b>0)的短軸端點(diǎn),P是橢圓上異于點(diǎn)B1,B2的一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線PB1的方程為y=x+3時(shí),線段PB1的長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q滿足:QB1⊥PB1,QB2⊥PB2,求證:△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值.解析　設(shè)P(x0,y0),Q(x1,y1).(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,從而b=3.由得+=1.所以x0=-.因?yàn)閨PB1|==|x0|,所以4=·,解得a2=18.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)解法一:直線PB1的斜率為=,由QB1⊥PB1,得直線QB1的斜率為=-.于是直線QB1的方程為y=-x+3.同理直線QB2的方程為y=-x-3.聯(lián)立兩直線方程,消去y,得x1=.因?yàn)镻(x0,y0)在橢圓+=1上,所以+=1,從而-9=-.所以x1=-.所以==2.解法二:設(shè)直線PB1,PB2的斜率分別為k,k',則直線PB1的方程為y=kx+3.由QB1⊥PB1,得直線QB1的方程為y=-x+3.將y=kx+3代入+=1,得(2k2+1)x2+12kx=0,因?yàn)镻是橢圓上異于點(diǎn)B1,B2的點(diǎn),所以x0≠0,從而x0=-.因?yàn)镻(x0,y0)在橢圓+=1上,所以+=1, 從而-9=-.所以k·k'=·==-,得k'=-.由QB2⊥PB2,得直線QB2的方程為y=-x-3=2kx-3.聯(lián)立得x=,即x1=.所以===2.評(píng)析　第(2)問有兩種解法,是選用不同的參數(shù)求解的,解法一是用點(diǎn)參數(shù),解法二是用斜率作為參數(shù)表示其他量,這是兩種常用方法.16.(2018江蘇南京、鹽城高三二模,18)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,上頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為.過點(diǎn)D(0,m)(m≠0)作不垂直于x軸,y軸的直線l交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),C為線段PQ的中點(diǎn),且AC⊥OC.(1)求橢圓E的方程;(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)延長(zhǎng)AC交橢圓E于點(diǎn)B,記△AOB與△AOC的面積分別為S1,S2,若=,求直線l的方程.解析　(1)由題意得所以c=1,b2=a2-c2=1,所以橢圓E的方程為+y2=1. (2)解法一:由(1)得A(0,1).設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),C(x0,y0),其中x0,y0均不為0,且x1≠x2.因?yàn)镻,Q兩點(diǎn)都在橢圓E上,所以+2=2,+2=2,兩式相減得×=-.又=,所以×=-,即=2y0(m-y0).①又AC⊥OC,所以×=-1,即=y0(1-y0).②由①②得y0=2m-1,=(1-2m)(2m-2)∈(0,2),所以0,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.(3)解法一:設(shè)B(x3,y3),點(diǎn)B在橢圓E上,所以+2=2.又AC⊥OC,所以×=-1,即y3=-x3+1,代入上式消去y3,得x3=,所以===.由(2)知y0=2m-1,=(1-2m)(2m-2),b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e=,點(diǎn)P是橢圓的上頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△PF1F2面積的最大值是4.(1)求橢圓的方程;(2)若A,B,C,D是橢圓上不重合的四點(diǎn),AC與BD相交于點(diǎn)F1,·=0,且||+||=,求此時(shí)直線AC的方程.解析　(1)由題意知,當(dāng)點(diǎn)P是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),△PF1F2面積取得最大值,此時(shí),=·2c·b=4,又e==,結(jié)合a2=b2+c2,所以a=4,b=2,c=2.所以所求橢圓的方程為+=1.(2)由(1)知F1(-2,0),由·=0得AC⊥BD.①當(dāng)直線AC與BD有一條直線的斜率不存在時(shí),||+||=14,不符合題意; ②設(shè)直線AC的斜率為k(k存在且不為0),則直線BD的斜率為-.直線AC的方程為y=k(x+2),聯(lián)立消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,所以||=|x1-x2|=.同理可得||=,由||+||==,解得k2=1,故直線AC的方程為y=±(x+2).思路分析　(1)根據(jù)離心率e=,△PF1F2面積的最大值是4,結(jié)合a2=b2+c2,即可求出a、b,從而得結(jié)果;(2)直線與曲線方程聯(lián)立,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,弦長(zhǎng)公式將||+||用k表示,解方程即可得k的值.方法點(diǎn)撥　求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)一般利用待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的方程組,解出a,b,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡(jiǎn),然后利用根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決.18.(2018廣東茂名模擬,20)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,設(shè)右焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AF的中點(diǎn)為M,線段BF的中點(diǎn)為N,且·=.(1)求弦AB的長(zhǎng);(2)當(dāng)直線l的斜率k=,且直線l'∥l時(shí),l'交橢圓于P,Q,若點(diǎn)A在第一象限,求證:直線AP,AQ與 x軸圍成一個(gè)等腰三角形.解析　(1)由題意可知2c=2,c=,F(,0),設(shè)A(x0,y0),B(-x0,-y0),則M,N,由·==,則+=5,則|AB|=2=2.(2)證明:直線l的斜率k=,則l:y=x,y0=x0,由+=5,得A(2,1),將c=代入橢圓方程解得a=2,b=,∴橢圓的方程為+=1.由題意設(shè)l':y=x+m(m≠0),聯(lián)立整理得x2+2mx+2m2-4=0,Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,P(x1,y1),Q(x2,y2),則k1=,k2=.由x2+2mx+2m2-4=0,可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,所以k1+k2=+=== ==0,即k1+k2=0.∴直線AP,AQ與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.