§9.3 橢圓基礎篇【基礎集訓】考點一 橢圓的定義及標準方程1.已知橢圓+=1的一個焦點為,則m=( )A.1 B.2 C.3 D.答案 D2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點.若△AF1B的周長為4,則C的方程為( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=1答案 A3.已知橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-2,0),過點F1作傾斜角為30°的直線與圓x2+y2=b2相交,且弦長為b,則橢圓的標準方程為( )A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1答案 B
4.(多選題)設橢圓C:+y2=1的左、右焦點分別為F1、F2,P是C上的動點,則下列結論正確的是( )A.|PF1|+|PF2|=2B.離心率e=C.△PF1F2面積的最大值為D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y-=0相切答案 AD5.過點P作圓x2+y2=1的切線l,已知A,B分別為切點,直線AB恰好經過橢圓的右焦點和下頂點,則直線AB的方程為 ;橢圓的標準方程是 .?答案 2x-y-2=0;+=1考點二 橢圓的幾何性質6.設橢圓E:+=1(a>b>0)的右頂點為A,右焦點為F,B為橢圓在第二象限上的點,直線BO交橢圓E于點C,若直線BF平分線段AC于M,則橢圓E的離心率是( )A. B. C. D.答案 C7.設橢圓的方程為+=1,右焦點為F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的兩實根分別為x1,x2,則+的取值范圍是( )A. B. C. D.
答案 D考點三 直線與橢圓的位置關系8.與橢圓+y2=1有相同的焦點且與直線l:x-y+3=0相切的橢圓的離心率為( )A. B. C. D.答案 B9.(多選題)已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F、E,直線x=m(-1
b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.[教師專用題組]
【基礎集訓】考點一 橢圓的定義及標準方程 (2018浙江“七彩陽光”聯盟期初聯考,14)已知橢圓的方程為+=1,過橢圓中心的直線交橢圓于A,B兩點,F2是橢圓右焦點,則△ABF2的周長的最小值為 ,△ABF2的面積的最大值為 .?答案 10;2解析 設F1為橢圓左焦點,連接AF1,BF1,則由橢圓的中心對稱性可得=AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10,=≤×2×2=2.考點二 橢圓的幾何性質 (2018甘肅酒泉中學月考,9)已知橢圓+=1(a>b>0)的左頂點為M,上頂點為N,右焦點為F,若·=0,則橢圓的離心率為( )A. B.C. D.答案 D 橢圓+=1(a>b>0)的左頂點為M(-a,0),上頂點為N(0,b),右焦點為F(c,0),∵·=0,∴NM⊥NF,∴a2+b2+b2+c2=(a+c)2,又a2=b2+c2,所以a2-c2=ac,
即e2+e-1=0,∵e∈(0,1),∴e=.故選D.方法總結 求橢圓離心率的方法有兩種:一是直接法,即e==;二是間接法,即利用方程求解.考點三 直線與橢圓的位置關系1.(2018廣東清遠模擬,11)已知m、n、s、t∈R+,m+n=3,+=1,其中m、n是常數且mb>0)的左、右頂點分別為A1,A2、點M為橢圓上不同于A1,A2的一點,若直線MA1與直線MA2的斜率之積等于-,則橢圓的離心率為( )A. B. C. D.答案 C 由已知得A1(-a,0),A2(a,0),設M(x0,y0),則=,=,∵·=-,∴=-,①又∵+=1,∴=(a2-).②由①②可得=,∴e====,故選C.綜合篇【綜合集訓】考法一 與橢圓定義相關的問題1.(2020北京師范大學附屬實驗中學月考,6)△ABC的兩個頂點坐標為A(-4,0),B(4,0),
它的周長是18,則頂點C的軌跡方程是( )A.+=1 B.+=1(y≠0)C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)答案 D2.(2019豫東豫北十校4月聯考,8)橢圓C:+y2=1(a>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓上異于端點的任意一點,PF1,PF2的中點分別為M,N,O為坐標原點,四邊形OMPN的周長為2,則△PF1F2的周長是( )A.2(+) B.4+2C.+ D.+2答案 A3.(2020湖南長沙長郡中學月考,7)設P,Q分別是圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是( )A.5 B.+C.6 D.7+答案 C4.(2020浙江杭州4月模擬,10)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若該方程表示橢圓的方程,則k的取值范圍是 .?答案 {k|1b>0)的左焦點為F,上頂點為A,右頂點為B,
若△AFB是直角三角形,則橢圓C的離心率為( )A. B. C. D.答案 D6.(2020湘贛皖十五校第二次聯考,15)已知直線x+2y-3=0與橢圓+=1(a>b>0)相交于A,B兩點,且線段AB的中點在直線3x-4y+1=0上,則此橢圓的離心率為 .?答案 7.(2020浙江溫州中學3月模擬,19)已知直線l:y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)恰有一個公共點P,l與圓x2+y2=a2相交于A,B兩點.(1)求k與m的關系式;(2)點Q與點P關于坐標原點O對稱.當k=-時,△QAB的面積取到最大值a2,求橢圓的離心率.考法三 直線與橢圓位置關系問題的解法8.(多選題)(2020山東濰坊6月模擬,11)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2且|F1F2|=2,點P(1,1)在橢圓內部,點Q在橢圓上,則以下說法正確的是( )A.|QF1|+|QP|的最小值為2a-1B.橢圓C的短軸長可能為2C.橢圓C的離心率的取值范圍為D.若=,則橢圓C的長軸長為+
答案 ACD9.(2017北京,19,14分)已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.[教師專用題組]【綜合集訓】考法一 與橢圓定義相關的問題1.(2018山東青島城陽期末,7)若橢圓+=1的焦距為4,則實數a的值為( )A.1 B.21 C.4 D.1或9答案 D 當焦點在x軸上時,2=,解得a=1;當焦點在y軸上時,2=,解得a=9.故選D.2.(2019湖北“荊、荊、襄、宜”四地七校考試聯盟聯考,4)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,過F2的直線與橢圓C交于A,B兩點.若△F1AB的周長為8,則橢圓方程為( )A.+=1 B.+=1C.+y2=1 D.+=1答案 A 由橢圓的定義可知,△F1AB的周長為4a,∴4a=8,a=2,又離心率為,即=,∴c=1,則b2=3,
故橢圓方程為+=1,故選A.3.(2019江西五校協作體4月聯考,11)已知點F1,F2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,P為橢圓上的動點,動點Q滿足·=||||且||=||,其中≠0,≠0,若||的最小值為1,最大值為9,則橢圓的方程為( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+y2=1答案 A 由·=||||知點F1,P,Q共線,且與同向.由橢圓的定義知||+||=2a,又||=||,所以||+||=||=2a,所以動點Q在以F1為圓心,2a為半徑的圓上.由平面幾何知識知當點P位于左頂點時,||取得最大值a+c,當點P位于右頂點時,||取得最小值a-c,所以解得所以b2=a2-c2=25-16=9,所以橢圓的方程為+=1,故選A.考法二 橢圓的離心率問題的求法1.(2018豫南九校3月聯考,9)已知兩定點A(-1,0)和B(1,0),動點P(x,y)在直線l:y=x+3上移動,橢圓C以A,B為焦點且經過點P,則橢圓C的離心率的最大值為( )A. B. C. D.答案 A 不妨設橢圓方程為+=1(a>1),與直線l的方程聯立得消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,由題意易知Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,
解得a≥,所以e==≤,所以e的最大值為.故選A.2.(2019四川第一次診斷,6)設橢圓+=1(m>0,n>0)的一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同,離心率為,則m-n=( )A.2-4 B.4-3 C.4-8 D.8-4答案 A 拋物線x2=8y的焦點為(0,2),∴橢圓的焦點在y軸上,由離心率e=,可得=,則n=4,∴m=2,故m-n=2-4.故選A.3.(2018湖南湘東五校聯考,11)已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P是橢圓上一點,△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,則該橢圓的離心率的取值范圍是( )A. B.C. D.答案 B 由題意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cos∠PF1F2,即|PF2|=2c·,所以a==c+c·,又60°<∠PF1F2<120°,∴-b>0)的一個焦點,P為C上一點,O為坐標原點,若△POF為等邊三角形,則C的離心率為 .?答案 -1解析 本題考查橢圓的概念其性質;考查學生數學運算的能力和數形結合的思想;考查了數學運算的核心素養(yǎng).不妨令F為橢圓C的右焦點,P為橢圓C在第一象限內的點,由題意可知P,代入橢圓方程中得+=1,即e2+=4?e2-4=-2?e=-1.
考法三 直線與橢圓位置關系問題的解法1.(2019浙江寧波期末,9)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率e的取值范圍為,直線y=-x+1交橢圓于點M、N,O為坐標原點且OM⊥ON,則橢圓長軸長的取值范圍是( )A.[,2] B.[,] C.[,] D.[2,3]答案 C 設M(x1,y1),N(x2,y2),由得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,則x1+x2=,x1x2=.①由OM⊥ON得·=0,即x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,②將①代入②,化簡得b2=.又因為e===∈,所以≤a≤?≤2a≤,故選C.小題巧解 根據橢圓的性質,原點O到直線y=-x+1的距離d滿足=+,又d=,所以=.又e2==1-=1-,e2∈,所以4a2∈[5,6],所以2a∈[,].故選C.知識拓展 已知橢圓+=1(a>b>0)上的兩點M,N滿足OM⊥ON,且原點O到直線MN的距離為d,則橢圓有如下性質:=+.證明:設M(r1cosθ,r1sinθ),Nr2cos,r2sin為橢圓上滿足題意的兩個點,
將兩點坐標分別代入橢圓方程得+=1,+=1,所以+=+++=+,根據幾何意義可知,+=,命題得證.2.如圖,把橢圓+=1的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P1,P2,…,P7,F是橢圓的一個焦點,則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .?答案 35解析 設橢圓的右焦點為F',由橢圓的對稱性知,|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,∴原式=(|P7F|+|P7F'|)+(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.疑難突破 橢圓中經常使用對稱性轉化線段,再搭配定義解決問題.3.(2018四川瀘州適應性考試,16)設橢圓的中心在坐標原點,A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點,直線y=kx(k>0)與AB相交于點D,與橢圓相交于E、F兩點.若=6,則k的值為 .?答案 或解析 依題意得橢圓的方程為+y2=1,直線AB,EF的方程分別為x+2y=2,y=kx(k>0).如圖,設D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1
