§9.4 雙曲線專題檢測【3年模擬】1.(2019河南洛陽尖子生第二次聯(lián)考,4)經(jīng)過點(2,1),且漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )A.-=1 B.-y2=1C.-=1 D.-=1答案 A 設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0,由漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1,由點到直線的距離公式可得=1,解得k=±.又因為雙曲線經(jīng)過點(2,1),所以雙曲線的焦點在x軸上,可設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),將(2,1)代入可得-=1,由得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選A.一題多解 設(shè)雙曲線的方程為mx2-ny2=1(mn>0),將(2,1)代入方程可得,4m-n=1①.雙曲線的漸近線方程為y=±x,圓x2+(y-2)2=1的圓心為(0,2),半徑為1,由漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切,可得=1,即=3②,由①②可得m=,n=,所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,故選A.解后反思 用待定系數(shù)法求雙曲線的方程時,先確定焦點在x軸還是y軸上,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦點的位置不好確定,可將雙曲線的方程設(shè)為-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根據(jù)條件求解.
2.(多選題)已知雙曲線的方程為-y2=1,則雙曲線的( )A.離心率為B.漸近線方程為y=±xC.共軛雙曲線為-x2=1D.焦點在曲線x2-|x|+ty2=0(t∈R)上答案 AD 由雙曲線的方程為-y2=1,可得a=2,b=1,又c2=a2+b2,所以c==,所以雙曲線的離心率為=,故A正確;雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,故B錯誤;由雙曲線的方程為-y2=1,得其共軛雙曲線為y2-=1,故C錯誤;由雙曲線的方程為-y2=1,得焦點為(±,0),代入曲線的方程x2-|x|+ty2=0(t∈R),滿足方程,故D正確.故選AD.3.已知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P是該雙曲線上的一點,且|PF1|=10,則|PF2|=( )A.2或18 B.2 C.18 D.4答案 C 由已知得a=4,b=4,
又c2=a2+b2,所以c=8,因為|PF1|=10
b>0)的右焦點,A、B是雙曲線C的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點,AF⊥BF,且AF的中點在雙曲線C上,則C的離心率為( )A.-1 B. C. D.+1答案 A 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),通過雙曲線的幾何性質(zhì)考查學(xué)生分析問題、處理問題的能力,體現(xiàn)直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).因為a>b>0,所以10,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,過點F1作
圓x2+y2=a2的切線,交雙曲線右支于點M,若∠F1MF2=45°,則雙曲線的漸近線方程為( )A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x答案 C 如圖,設(shè)直線F1M與圓O的切點為A,連接OA,作F2B⊥F1M于點B.則|OA|=a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=2a,|F1B|=2b.又點M在雙曲線右支上,∴|F1M|-|F2M|=2a+2b-2a=2a,整理得b=a,即=,∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選C.6.(2020浙江湖州期末,6)已知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線l交雙曲線于P,Q兩點,若PQ長為5,則△PQF1的周長是( )A.13 B.18 C.21 D.26答案 D 本題主要考查雙曲線的定義運用.若直線l與雙曲線的兩支均相交,則|PQ|≥2a=8,這與已知矛盾,所以l與雙曲線的右支交于點P、Q.由雙曲線的定義知所以△PQF1的周長為|PQ|+|PF1|+|QF1|=2|PQ|+4a=2×5+4×4=26,故選D.7.(2018浙江教育綠色評價聯(lián)盟適應(yīng)性試卷(5月),8)已知F1,F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點,P是雙曲線上的一點,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為,則該雙曲線的離心率為
( )A.-1 B. C. D.+1答案 C 由題意知即由①2+②2得2(+)=5a2+4ac+4c2,即8c2=5a2+4ac+4c2,故4e2-4e-5=0,解得e=(負的已舍),故選C.8.(2020北京十四中期中,10)雙曲線-y2=1的漸近線方程為 .?答案 y=±x解析 由雙曲線-y2=1得a=2,b=1,焦點在x軸上,∴雙曲線-y2=1的漸近線方程為y=±x=±x.思路分析 由雙曲線的方程確定雙曲線的焦點所在坐標(biāo)軸,以及a,b,從而確定雙曲線的漸近線方程.9.(2020湖北武漢月考)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0),過F1且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點A、B,若(+)·=0,則C的離心率為 .?答案 解析 由(+)·=(+)·(-)=-=0得|BF2|=|BA|,根據(jù)雙曲線的定義可得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,
所以|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,因此|AF2|=2a+|AF1|=4a,因為直線AB的斜率為,所以∠AF1F2=60°,又|F1F2|=2c,所以cos60°===,即c2-ac-3a2=0,所以e2-e-3=0,解得e=或e=(舍,雙曲線的離心率大于1).思路分析 先由(+)·=0,得出|BF2|=|BA|,再由雙曲線的定義求出|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,|AF2|=2a+|AF1|=4a,根據(jù)直線AB的斜率得到∠AF1F2=60°,由余弦定理列出方程求解,即可得出結(jié)果.10.(2018江蘇高郵中學(xué)階段考試,9)如圖所示,F1和F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,A和B是以O(shè)為圓心、OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且△F2AB是等邊三角形,則該雙曲線的離心率為 .?答案 +1解析 由題意得|AF2|=|F1F2|·cos30°=c,|AF1|=|F1F2|·sin30°=c.由雙曲線的定義得
|AF2|-|AF1|=2a,即2a=(-1)c,∴e===+1.11.(2018江蘇揚州期末檢測,10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與圓x2+y2-6y+5=0沒有交點,則雙曲線離心率的取值范圍是 .?答案 解析 圓x2+y2-6y+5=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-3)2=4,雙曲線的漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,由條件知圓心到漸近線的距離大于半徑,從而有>2,∴3a>2c,∴e<,又e>1,∴10)的兩條漸近線與圓O:x2+y2=2的四個交點依次為A,B,C,D.若矩形ABCD的面積為b,則b的值為 .?答案 解析 雙曲線的漸近線方程為y=±bx,與圓的方程聯(lián)立,解得由對稱性知矩形ABCD的面積b=4|xy|=4,解得b=.解題關(guān)鍵 本題關(guān)鍵是抓住對稱性,得到矩形ABCD的面積b=4|xy|.13.(2018南通高三調(diào)研,7)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C與雙曲線x2-=1有公共的漸近線,且經(jīng)過點P(-2,),則雙曲線C的焦距為 .?
答案 4解析 ∵雙曲線C與雙曲線x2-=1有公共的漸近線,∴設(shè)雙曲線C的方程為x2-=λ(λ>0),∵雙曲線C經(jīng)過點P(-2,),∴λ=4-1=3.∴雙曲線C的方程為-=1.∴雙曲線C的焦距為2=4.方法歸納 與雙曲線-=1(a>0,b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為-=λ(λ>0),此種方法比用基本量求a,b要簡單.14.(2017安徽池州模擬,15)已知橢圓+=1的右焦點F到雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的漸近線的距離小于,則雙曲線E的離心率的取值范圍是 .?答案 (1,2)解析 橢圓+=1的右焦點F為(2,0),不妨取雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線為bx+ay=0,則F到漸近線bx+ay=0的距離d=<,即有2b1,∴10)的左、右焦點,A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延長AF2交雙曲線的右支于點B,則△F1AB的面積等于 .?答案 4解析 由題意知a=1,由雙曲線定義知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,∴|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由題意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,∴|BA|=|BF1|,∴△BAF1為等腰三角形,∵∠F1AF2=45°,∴∠ABF1=90°,∴△BAF1為等腰直角三角形.∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2.∴=|BA|·|BF1|=×2×2=4.16.(2017河南百校聯(lián)盟質(zhì)檢,16)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圓(x+c)2+y2=4c2與雙曲線C位于x軸上方的兩個交點,且F1A∥F2B,則雙曲線C的離心率為 .?
答案 解析 由雙曲線定義得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,因為F1A∥F2B,所以∠F2F1A+∠F1F2B=180°,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B,結(jié)合余弦定理得=-,所以2e2-3e-1=0,又e>1,所以e=.17.(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考,16)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F的直線l與雙曲線的漸近線交于A,B兩點,且與其中一條漸近線垂直,若=3,則此雙曲線的離心率為 .?答案 解析 設(shè)漸近線l1的傾斜角為θ,且AB⊥l1,則由題意知tanθ=,且滿足tan2θ=4tanθ,利用二倍角公式展開,知=4tanθ,故tan2θ=,所以=,即e2=,因此e=.18.(2018江蘇啟東中學(xué)月考)中心在原點,焦點在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點F1,F2,且|F1F2|=2,橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求橢圓和雙曲線的方程;(2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值.解析 (1)由題意知c=,設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),雙曲線方程為-=1(m>0,n>0),則解得a=7,m=3.則b=6,n=2.故橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1.(2)不妨設(shè)F1,F2分別為左、右焦點,P是第一象限的一個交點,則|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.
