§9.4 雙曲線基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.若m為實(shí)數(shù),則“10,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為( )A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1答案 D3.若實(shí)數(shù)k滿足00,b>0)的離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則C的焦距等于( )A.2 B.2 C.4 D.4答案 C7.已知點(diǎn)P為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn),F1,F2分別為C的左,右焦點(diǎn),直線PF1與C的一條漸近線垂直,垂足為H,若|PF1|=4|HF1|,則該雙曲線的離心率為( )A. B. C. D.答案 C8.(多選題)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-5,0),F2(5,0),則能使雙曲線C的方程為-=1的是( )A.離心率為 B.雙曲線過(guò)點(diǎn)C.漸近線方程為3x±4y=0 D.實(shí)軸長(zhǎng)為4答案 ABC9.已知F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),A為C的右頂點(diǎn),B為C上的點(diǎn),且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為 .?答案 2
[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2018廣東肇慶二模,4)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),且雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則該雙曲線的方程為( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1或-=1答案 A 由雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),可得c=4,即有a2+b2=c2=16,由雙曲線的兩條漸近線互相垂直,即直線y=x和直線y=-x垂直,可得a=b,則a=b=2,則該雙曲線的方程為-=1.故選A.2.(2019北京延慶一模,2)“00?k<-2或k>1,所以“00)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為右支上一點(diǎn)且直線PF2與x軸垂直,若|PF1|=2|PF2|,則△PF1F2的面積為 .?答案 8解析 由雙曲線-=1知a2=4,即a=2,由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a=4①,又|PF1|=2|PF2|②,由①②得|PF1|=8,|PF2|=4,又PF2⊥F1F2,∴|F1F2|2=|PF1|2-|PF2|2=64-16=48,∴|F1F2|=4,∴=×|F1F2|×|PF2|=×4×4=8.考點(diǎn)二 雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2019福建莆田一中9月月考,11)已知橢圓C1:+=1(a1>b1>0)與雙曲線C2:-=1(a2>0,b2>0)有相同的焦點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且PF1⊥PF2,e1,e2分別是兩曲線C1,C2的離心率,則9+的最小值是( )A.4 B.6 C.8 D.16答案 C 由題意設(shè)焦距為2c.橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1,雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2a2,取橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,由橢圓和雙曲線定義分別有|PF1|+|PF2|=2a1,①|(zhì)PF1|-|PF2|=2a2,②
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=4c2,③①2+②2,得|PF1|2+|PF2|2=2+2,④將④代入③得+=2c2,則9+=+=5++≥8(當(dāng)且僅當(dāng)=3時(shí)取“=”),故9+的最小值為8.思路分析 由題意設(shè)焦距為2c.橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1,雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2a2,設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,由已知條件結(jié)合橢圓與雙曲線的定義推出+=2c2,從而得出9+的最小值.2.(2018天津九校聯(lián)考,5)設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與雙曲線在第一、二象限內(nèi)分別交于A、B兩點(diǎn),若|F1B|=3|F2A|,則該雙曲線的離心率為( )A. B. C. D.2答案 C 根據(jù)已知可得,|F1B|=|F1A|=3|F2A|,又∵|F1A|-|F2A|=2a,∴2|F2A|=2a,即|F2A|=a,|F1A|=3a,又∵|F1A|=|F1F2|=2c,∴2c=3a,∴e==.3.(2020北京清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力11月測(cè)試,10)已知F1、F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)F2到直線PF1的距離為a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )A. B. C.(1,) D.(,+∞)答案 B 本題考查雙曲線的離心率、點(diǎn)到直線的距離,通過(guò)雙曲線的幾何性質(zhì)考查學(xué)生運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題的能力,滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象的核心素養(yǎng).不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,過(guò)點(diǎn)F2作F2A⊥PF1,則|AF1|==,∴直線PF1的斜率=tan∠AF1F2=,雙曲線的一條漸近線的斜率為,則有<,即4c2-5a2>0,從而e2=>,因此離心率e>,因而離心率e的取值范圍是.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一 求雙曲線方程的方法1.(2020山東濟(jì)南6月模擬,6)已知雙曲線C的方程為-=1,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8B.雙曲線C的漸近線方程為y=±xC.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為答案 D2.(2020山東青島二模,7)已知曲線C的方程為-=1(k∈R),則下列結(jié)論正確的是( )A.當(dāng)k=8時(shí),曲線C為橢圓,其焦距為4+B.當(dāng)k=2時(shí),曲線C為雙曲線,其離心率為C.存在實(shí)數(shù)k,使得曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D.當(dāng)k=3時(shí),曲線C為雙曲線,其漸近線與圓(x-4)2+y2=9相切答案 B3.(2020河北正定中學(xué)第三次階段質(zhì)量檢測(cè),9)已知雙曲線-=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn),若△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,則△ABF1的周長(zhǎng)為( )A.+8 B.4(-1)C.+8 D.2(-2)
答案 A4.(2020山東德州6月二模,13)已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)(2,-1),且與雙曲線-=1有相同的漸近線,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .?答案 -=1考法二 求雙曲線的離心率(或取值范圍)的方法5.(2020湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)月考,10)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),若∠AF2B=60°,△ABF2的面積為a2,則雙曲線的離心率為( )A. B. C.2 D.答案 C6.(2020湖北襄陽(yáng)四中3月月考,12)已知離心率為2的雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),直線y=(x+c)與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P,∠PF1F2的平分線與PF2交于點(diǎn)Q,若|PF2|=λ|PQ|,則λ的值是( )A. B. C. D.答案 B7.(多選題)(2020山東濱州二模,10)設(shè)F1,F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則下列關(guān)于該雙曲線的結(jié)論正確的是( )A.漸近線方程為4x±3y=0 B.漸近線方程為3x±4y=0C.離心率為 D.離心率為答案 AC8.(2019福建福州3月聯(lián)考,10)如圖,雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2作直線與C的漸近線交于P點(diǎn),若等腰△PF1F2的底邊PF2的長(zhǎng)等于C的半焦距,則C的離心率為( )A. B. C. D.答案 C9.(2020山東濟(jì)南二模,16)已知F1,F2分別是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1向一條漸近線作垂線,交雙曲線右支于點(diǎn)P,直線F2P與y軸交于點(diǎn)Q(P,Q在x軸同側(cè)),連接QF1,若△PQF1的內(nèi)切圓圓心恰好落在以F1F2為直徑的圓上,則∠F1PF2的大小為 ,雙曲線的離心率為 .?答案 90°;[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 求雙曲線方程的方法1.(2019貴州黔東南州一模,9)雙曲線M與雙曲線N:-=1有共同的漸近線,且M經(jīng)過(guò)拋物線y=-x2-4x的頂點(diǎn),則M的方程為( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1
答案 B 依題意可設(shè)M的方程為-=λ(λ≠0),拋物線y=-x2-4x=-(x+2)2+4的頂點(diǎn)為(-2,4),將(-2,4)代入M的方程,得λ=2,則M的方程為-=1.2.(2018黑龍江仿真模擬(三),8)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),則雙曲線C的方程為( )A.-=1 B.-=1C.x2-=1 D.-y2=1答案 C 雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,可得=,它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,∴a=1,b=,所求雙曲線方程為x2-=1.故選C.3.(2019寧夏石嘴山三中一模,10)已知F1,F2分別為雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l:x+y=c在第一象限內(nèi)與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)P,與y軸正半軸交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)P為QF2的中點(diǎn),△QF1F2的面積為4,則雙曲線E的方程為( )A.-y2=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案 B 雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,代入直線x+y=c,可得P,且Q(0,c),F2(c,0),由點(diǎn)P為QF2的中點(diǎn),可得c==,可得a=b,△QF1F2的面積為4,即·2c·c=4,解得c=2,故a=b=,則雙曲線的方程為-=1.故選B.考法二 求雙曲線離心率(或取值范圍)的方法1.(2018天津一模,7)設(shè)P為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線C的左,右焦點(diǎn),PF2⊥F1F2,若△PF1F2的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍,則雙曲線C的離心率為( )A.2 B.4 C.2或3 D.4或答案 D 設(shè)F1,F2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,0),由PF2⊥F1F2,可得P的橫坐標(biāo)為c,將x=c代入雙曲線的方程,可得y=±,則有|PF2|=,在直角三角形PF2F1中,由勾股定理得|PF1|====,設(shè)△PF1F2的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,可得2R=,r=·2c·,解得r=c-a,則(c-a)=·,化為3c2-17ac+20a2=0,即為(3c-5a)(c-4a)=0,即有3c=5a或c=4a,
則e==或4.故選D.2.(2020浙江溫州二模(4月),7)已知雙曲線-=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=,線段AF交雙曲線于點(diǎn)M,若M為AF的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為( )A. B.2 C. D.答案 C 本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.雙曲線的一條漸近線方程為y=x,因?yàn)锳是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),且|OA|=,所以A,而F(c,0),M為AF的中點(diǎn),所以M,將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)可知=1,所以e=,故選C.一題多解 同上可求得A,直接利用通徑處理,=,所以c=2b,所以a==b,從而離心率e==,故選C.3.(2018浙江新高考調(diào)研卷三(杭州二中),8)已知雙曲線右支上存在點(diǎn)P使得∠PAF=,PA=AF,其中A是雙曲線的右頂點(diǎn),F是左焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為( )A. B. C.2-2 D.+1答案 C 設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0).則根據(jù)題意得點(diǎn)P,則有-=1,化簡(jiǎn)得e3+5e2-4e-8=0?e=2-2.
