§9.5　拋物線基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,若F到直線y=x的距離為,則p為(　　)A.2　　B.4　　C.2　　D.4答案　B2.已知拋物線y2=4x上一點P到準(zhǔn)線的距離為d1,到直線l:4x-3y+11=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為(　　)A.3　　B.4　　C.　　D.答案　A3.已知拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,△ABC三個頂點都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點,若BC邊所在直線的方程為x+4y-20=0,則拋物線的方程為(　　)A.y2=16x　　B.y2=8xC.x2=16y　　D.x2=8y答案　C4.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標(biāo)原點,M為拋物線上一點,且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為4,則拋物線方程為(　　)A.y2=6x　　B.y2=8x　　C.y2=16x　　D.y2=x答案　B5.已知拋物線C:y=mx2(m∈R,m≠0)過點P(-1,4),則拋物線C的準(zhǔn)線方程為　　　　.?答案　y=- 6.拋物線y2=8x的焦點為F,點A(6,3),P為拋物線上一點,且P不在直線AF上,則△PAF周長的最小值為　　　　.?答案　137.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準(zhǔn)線上的動點,若△FPM是邊長為6的等邊三角形,則此拋物線的方程為　　　　.?答案　y2=6x考點二　拋物線的幾何性質(zhì)8.已知點F是拋物線y2=2x的焦點,M,N是該拋物線上的兩點,若|MF|+|NF|=4,則線段MN中點的橫坐標(biāo)為(　　)A.　　B.2　　C.　　D.3答案　A9.O為坐標(biāo)原點,F為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則△POF的面積為(　　)A.2　　B.2　　C.2　　D.4答案　C10.拋物線x2=y的焦點F的坐標(biāo)為　　　　,若該拋物線上有一點P滿足|PF|=,且P在第一象限,則點P的坐標(biāo)為　　　　.?答案　;(1,1)考點三　直線與拋物線的位置關(guān)系11.已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為(　　) A.　　B.　　C.　　D.答案　D12.已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),·=2(其中O為坐標(biāo)原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　)A.2　　B.3　　C.　　D.答案　B13.平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是　.?答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2017遼寧鞍山鐵東四模,7)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點作直線交拋物線于P,Q兩點,若線段PQ中點的橫坐標(biāo)為3,|PQ|=10,則拋物線的方程是(　　)A.y2=4x　　B.y2=2x　　C.y2=8x　　D.y2=6x答案　C　設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,P(x1,y1),Q(x2,y2),∴|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+=x1+x2+p,∵線段PQ中點的橫坐標(biāo)為3,|PQ|=10,∴10=6+p,得p=4,∴拋物線方程為y2=8x,故選C.2.(2018云南昆明質(zhì)檢,7)已知點M是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,F為C的焦點,MF的中點坐 標(biāo)是(2,2),則p的值為(　　)A.1　　B.2　　C.3　　D.4答案　D　拋物線C:y2=2px的焦點為F,設(shè)M,由中點坐標(biāo)公式可知+=2×2,y1=2×2,解得p=4,故選D.3.(2018江蘇南京、鹽城高三一模,6)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點與雙曲線-=1的右焦點重合,則實數(shù)p的值為　　　　.?答案　6解析　c2=4+5=9,故雙曲線的右焦點為(3,0),所以=3,解得p=6.考點二　拋物線的幾何性質(zhì)1.(2019云南曲靖一中1月月考,10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,則△OAB的面積為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　解法一:由公式得S△AOB=,其中θ=30°,p=,所以S△AOB=,選D.解法二:易知直線AB的方程為y=,與y2=3x聯(lián)立并消去x得4y2-12y-9=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=3,y1y2=-.S△OAB=|OF|·|y1-y2|=×=.故選D.2.(2019廣東佛山一中高三期中,5)已知正六邊形ABCDEF的邊長是2,一條拋物線恰好經(jīng)過該正六邊形相鄰的四個頂點,則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是(　　)A.　　B.　　C.　　D.2答案　B　如圖所示, x軸過正六邊形的中心O',且平分其一組對邊,設(shè)B(x0,1),則A(x0+,2),設(shè)拋物線方程為y2=2px,p>0,則解得p=,因此焦點到準(zhǔn)線距離為,故選B.3.(2020北師大附中期中,13)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線與x軸的交點為M,N為拋物線上一點,且滿足|MN|=2|NF|,則∠NMF=　　　　.?答案　解析　本題考查拋物線的定義,考查學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想方法分析問題與解決問題的能力,體現(xiàn)直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).過點N作NH⊥準(zhǔn)線l,垂足為H,由拋物線的定義可得|NF|=|NH|,在直角三角形NMH中,由|MN|=2|NH|,可得cos∠MNH==,故∠NMF=∠MNH=.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　求與拋物線定義有關(guān)問題的方法1.(2019湖南岳陽二模,4)過拋物線x2=4y的焦點F作直線,交拋物線于P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點,若y1+y2=6,則|P1P2|=(　　)A.5　　B.6　　C.8　　D.10答案　C2.(2020山東濱州三模,7)已知拋物線C:y2=4x與圓E:(x-1)2+y2=9相交于A,B兩點,點M為劣弧 上不同A,B的一個動點,平行于x軸的直線MN交拋物線于點N,則△MNE的周長的取值范圍為(　　)A.(3,5)　　B.(5,7)　　C.(6,8)　　D.(6,8]答案　C3.(2019吉林第三次調(diào)研測試,12)已知拋物線y2=4x的焦點為F,點A(4,3),P為拋物線上一點,且P不在直線AF上,則△PAF周長取最小值時,線段PF的長為(　　)A.1　　B.　　C.5　　D.答案　B4.(多選題)(2020山東聊城二模,10)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點P(1,1),則下列結(jié)論正確的是(　　)A.點P到拋物線焦點的距離為B.過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q,則△OPQ的面積為C.過點P與拋物線相切的直線方程為x-2y+1=0D.過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M,N點,則直線MN的斜率為定值答案　BCD考法二　拋物線焦點弦問題的求解方法5.(2020山東臨沂、棗莊臨考演練,6)已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,過F的直線與拋物線交于A,B兩點,AB的中點為C,過C作拋物線準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于C1,若CC1的中點為M(1,4),則p=(　　)A.4　　B.8　　C.4　　D.8答案　B 6.(多選題)(2020山東威海三模,11)已知拋物線y2=2px(p>0)上三點A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F為拋物線的焦點,則(　　)A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1B.若++=0,則,,成等差數(shù)列C.若A,F,C三點共線,則y1y2=-1D.若=6,則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2答案　ABD7.(2020山東仿真聯(lián)考2,14)已知拋物線y2=2px(p>0)與直線l:4x-3y-2p=0在第一、四象限分別交于A,B兩點,F是拋物線的焦點,若||=λ||,則λ=　　　　.?答案　4[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一　求與拋物線定義有關(guān)問題的方法1.(2019江蘇鹽城中學(xué)月考)已知拋物線C1:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線與拋物線C2:x2=-2py(p>0)交于A,B兩點,C1的焦點為F,若△FAB的面積等于1,則C1的方程是　　　　.?答案　x2=2y解析　由題意得F,不妨設(shè)A,B,所以S△FAB=·2p·p=1,則p=1,即拋物線C1的方程是x2=2y.2.(2016江蘇揚州中學(xué)月考,12)已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,△ABC的三個頂點都在拋物線上,并且△ABC的重心是拋物線的焦點,BC邊所在的直線方程為4x+y-20=0,則拋物線的方程為　　　　.?答案　y2=16x解析　設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),由可得2y2+py-20p=0,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2), 則y1+y2=-,故x1+x2=5-+5-=10-(y1+y2)=10+.設(shè)A(x3,y3),由三角形重心為F,可得=,=0,所以x3=-10,y3=,因為A在拋物線上,所以=2p,從而p=8,所以所求拋物線方程為y2=16x.