§9.6 圓錐曲線的綜合問(wèn)題基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 曲線與方程1.設(shè)k>1,則關(guān)于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲線是( )A.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓B.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓C.實(shí)軸在x軸上的雙曲線D.實(shí)軸在y軸上的雙曲線答案 D2.兩定點(diǎn)A(-2,1),B(2,-1),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y=x2-2上移動(dòng),則△PAB重心G的軌跡方程是( )A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y=x2-答案 B3.已知圓C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=81,動(dòng)圓C與圓C1、C2都相切,則動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程為 .?答案 +=1或+=14.設(shè)三個(gè)數(shù),,成等差數(shù)列,記(x,y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的曲線是C.求曲線C的方程.考點(diǎn)二 定點(diǎn)與定值問(wèn)題5.已知直線l與雙曲線-y2=1相切于點(diǎn)P,l與雙曲線的兩條漸近線交于M,N兩點(diǎn),則·的值為( )A.3 B.4C.5 D.與P的位置有關(guān)答案 A
6.(多選題)設(shè)M,N是拋物線y2=x上的兩個(gè)不同的點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).若直線OM與ON的斜率之積為-,則( )A.|OM|+|ON|≥4B.以MN為直徑的圓的面積大于4πC.直線MN過(guò)定點(diǎn)(2,0)D.點(diǎn)O到直線MN的距離不大于2答案 CD7.已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn).考點(diǎn)三 最值與范圍問(wèn)題8.若a>1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是( )A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2)答案 C9.已知雙曲線C:-4y2=1(a>0)的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于,拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C的右焦點(diǎn)重合,則拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)M到直線l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距離之和的最小值為( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B
10.設(shè)P是橢圓+=1上一點(diǎn),M,N分別是兩圓C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值和最大值分別為( )A.4,8 B.2,6 C.6,8 D.8,12答案 A考點(diǎn)四 存在性問(wèn)題11.已知定點(diǎn)C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).(1)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-,求直線AB的方程;(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使·為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.12.已知拋物線C:y2=2px(0
2,∴點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=6,2c=2,∴b2=a2-c2=32-()2=4,∴點(diǎn)G的軌跡方程為+=1,故選A.2.(2018陜西西安鐵一中二模,5)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,且·=2,則點(diǎn)P的軌跡方程為( )A.x2+y2=2 B.x2-y2=2C.x+y2=2 D.x-y2=2答案 B 設(shè)P(x,y),則Q(x,-y),∴·=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2,故選B.考點(diǎn)二 定點(diǎn)與定值問(wèn)題1.(2019北京海淀一模文,20)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A(-2,0),兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,過(guò)點(diǎn)P(1,0)且與x軸不重合的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AM與MN垂直時(shí),求AM的長(zhǎng);(3)若過(guò)點(diǎn)P且平行于AM的直線交直線x=于點(diǎn)Q,求證:直線NQ恒過(guò)定點(diǎn).解析 (1)因?yàn)锳(-2,0),所以a=2.因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,所以b=c.又b2+c2=a2,所以b2=c2=2.所以橢圓C的方程為+=1.
(2)解法一:設(shè)M(xm,ym),則kMP=,kAM=,因?yàn)锳M與MN垂直,所以kAM·kMP=·=-1,聯(lián)立解得或(舍).所以|AM|=.解法二:設(shè)M(xm,ym),因?yàn)锳M與MN垂直,所以點(diǎn)M在以AP為直徑的圓上,又因?yàn)橐訟P為直徑的圓的圓心為,半徑為,所以圓的方程為+y2=.聯(lián)立解得或(舍).所以|AM|=.(3)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x=my+1,由得(m2+2)y2+2my-3=0.
顯然Δ>0,則y1+y2=,y1y2=,因?yàn)橹本€PQ與AM平行,所以kPQ=kAM=,則直線PQ的方程為y=(x-1),令x=,則y==,即Q.kNQ==,直線NQ的方程為y-y2=(x-x2),y=x-+y2=x-,令y=0,得x=.因?yàn)?my1y2=3(y1+y2),故x==2,所以直線NQ恒過(guò)定點(diǎn)(2,0).2.(2019河南開(kāi)封10月聯(lián)考,20)已知直線l1:y=x,l2:y=-x,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在l1,l2上移動(dòng),|PQ|=2,N是線段PQ的中點(diǎn),記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)分別作直線MA,MB交曲線C于A,B兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=2,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn).解析 (1)根據(jù)條件設(shè)P(m,m),Q(-n,n),
∵|PQ|=2,∴3(m+n)2+(m-n)2=12.設(shè)N(x,y)是線段PQ的中點(diǎn),則消去m,n可得曲線C的方程為+y2=1.(2)證明:由(1)知,點(diǎn)M(0,1)為橢圓+y2=1的上頂點(diǎn),當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x0,y0),則B(x0,-y0),由k1+k2=2得+=2,得x0=-1;當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立?(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,得x1+x2=-,x1·x2=,則k1+k2=2?+=2?=2,即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)?(2-2k)(9m2-9)=(m-1)·(-18km),由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km?m=k-1,即y=kx+m=kx+k-1?y=k(x+1)-1,故直線AB過(guò)定點(diǎn)(-1,-1).經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),滿足題意.綜上所述,直線AB過(guò)定點(diǎn)(-1,-1).考點(diǎn)三 最值與范圍問(wèn)題1.(2020安徽高三期末)如圖,已知F1、F2分別是橢圓C:+=1的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l1與過(guò)F2的直線l2交于點(diǎn)N,線段F1N的中點(diǎn)為M,線段F1N的垂直平分線MP與l2的交點(diǎn)P(第一象限)在橢圓上,若O為坐標(biāo)原點(diǎn),則的取值范圍為( )
A. B. C.(0,) D.(0,1)答案 D 因?yàn)镻M為線段F1N的垂直平分線,所以|F1M|=|MN|.由中位線定理可得|OM|=|F2N|.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)(x0>0,y0>0).由兩點(diǎn)間的距離公式,得|PF1|====a+ex0,同理可得|PF2|=a-ex0,所以|F2N|=|PF1|-|PF2|=2ex0,故|OM|=ex0,因?yàn)閍=8,c=4,所以e==,故|OM|=x0,所以==.因?yàn)閤0∈(0,8),所以x0∈(0,1).故的取值范圍為(0,1).故選D.2.(2020安徽高三期末)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F2(2,0),若雙曲線C的漸近線上存在點(diǎn)M滿足|MF1|=|MF2|,則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)的最小值為( )A. B. C. D.答案 B 設(shè)M(x,y),由|MF1|=|MF2|可得(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2],整理得(x-6)2+y2=32,
即點(diǎn)M在以(6,0)為圓心,4為半徑的圓上.又點(diǎn)F2到雙曲線C的漸近線的距離為b,∴當(dāng)雙曲線C的漸近線與圓(x-6)2+y2=32相切時(shí),b取得最大值,∴=,從而b≤.∴a≥=,故2a≥.故雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)的最小值為.故選B.思路分析 設(shè)M(x,y),由|MF1|=|MF2|,利用距離公式化簡(jiǎn)得出點(diǎn)M在圓(x-6)2+y2=32上,當(dāng)雙曲線C的漸近線與圓相切時(shí),b取得最大值,得出b≤,結(jié)合a2+b2=c2得出2a的最小值.3.(2020河南中原名校聯(lián)盟第三次測(cè)評(píng),10)橢圓C:+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列,若點(diǎn)P為橢圓C上的任意一點(diǎn),且P在第一象限,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(3,0)為橢圓C的右焦點(diǎn),則·的取值范圍為( )A.(-16,-10) B.C. D.答案 C 因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列,所以2a+2c=4b,即a+c=2b,又F(3,0)為橢圓C的右焦點(diǎn),所以c=3.因?yàn)閍2=c2+b2,所以解方程組得所以橢圓方程為+=1.設(shè)P(m,n)(04)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(-2,2)為橢圓C內(nèi)一點(diǎn).若橢圓C上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|=8,則m的取值范圍是( )A.(6+2,25] B.[9,25]C.(6+2,20] D.[3,5]答案 A 橢圓C:+=1(m>4)的右焦點(diǎn)為F(2,0),左焦點(diǎn)為F'(-2,0),由橢圓的定義可得|PF|+|PF'|=2,即|PF|=2-|PF'|,又|PA|+|PF|=8,可得|PA|-|PF'|=8-2,由||PA|-|PF'||≤|AF'|=2,可得-2≤8-2≤2,解得3≤≤5,所以9≤m≤25①,又A在橢圓內(nèi),所以+<1,所以8m-166+2,結(jié)合①得6+20),A(x1,y1),B(x2,y2).由得x2-8kx-8b=0,所以(6分)所以y1y2=·=b2,由y1y2=4,得b2=4,又b>0,所以b=2.(8分)由+-=0,得+=3,作AA'⊥x軸,BB'⊥x軸,垂足分別為A',B',則+=+=+==3,(10分)因?yàn)閥1y2=4,y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2+4,所以8k2+4=6,所以k=±.故存在符合條件的直線AB,其方程為y=x+2或y=-x+2.(12分)綜合篇【綜合集訓(xùn)】
考法一 有關(guān)軌跡方程問(wèn)題的求法1.(2020山東百師聯(lián)盟測(cè)試五,5)已知圓C1:(x-4)2+y2=25,圓C2:(x+4)2+y2=1,動(dòng)圓M與C1,C2都外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為( )A.-=1(x<0) B.-=1(x>0)C.-=1(x<0) D.-=1(x>0)答案 A2.(2019安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢,4)-=4表示的曲線方程為( )A.-=1(x≤-2) B.-=1(x≥2)C.-=1(y≤-2) D.-=1(y≥2)答案 C3.(2021屆廣東廣州增城中學(xué)月考,21)從拋物線y2=36x上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為Q,點(diǎn)M是線段PQ上的一點(diǎn),且滿足=2.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)設(shè)直線x=my+1(m∈R)與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),T為C上異于A,B的任意一點(diǎn),直線AT,BT分別與直線x=-1交于D,E兩點(diǎn),以DE為直徑的圓是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.考法二 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的求解方法4.(2020山東德州6月二模,21)已知橢圓C:+=1(a>b>0)與圓x2+y2=b2相交于M,N,P,Q四點(diǎn),四邊形MNPQ為正方形,F1,F2為橢圓的左、右焦點(diǎn),且△PF1F2的周長(zhǎng)為2(+1).
(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),D(0,-1),若直線AD與直線BD的斜率之積為,證明:直線l恒過(guò)定點(diǎn).5.(2021屆廣東深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校11月月考,21)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線l:y=-x+2與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)A.(1)求橢圓C的方程及A點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)B.過(guò)點(diǎn)B的直線與C交于E,F兩點(diǎn),記A在x軸上的投影為G,T為BG的中點(diǎn),直線AE,AF與x軸分別交于M,N兩點(diǎn).試探究|TM|·|TN|是不是定值.若為定值,求出此定值,否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.考法三 圓錐曲線中的最值(范圍)問(wèn)題的求解方法6.(2019陜西寶雞中學(xué)二模,11)已知拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為F,雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn),則|PF|+|PF1|的最小值為( )A.5 B.7 C.9 D.11答案 C7.(2020廣東廣州天河外國(guó)語(yǔ)學(xué)校4月測(cè)試,20)已知橢圓+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),離心率為,A、B、C為橢圓上不同的三點(diǎn),且滿足++=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線AB、OC的斜率都存在,求證:kAB·kOC為定值;(2)求|AB|的取值范圍.考法四 存在性問(wèn)題8.(2019內(nèi)蒙古通遼五中模擬,20)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率e=,過(guò)點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)
的直線與原點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點(diǎn)E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn),問(wèn):是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)?若存在,請(qǐng)求出k值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 有關(guān)軌跡方程問(wèn)題的求法1.(2020江西金太陽(yáng)示范卷十八,3)曲線y2-4x+16=0關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是( )A.y2=4x B.x2=-4yC.x2=4y D.y2=-4x答案 D 設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)為(x,y),點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為(4-x,y),則y2-4(4-x)+16=0,即y2=-4x,故選D.2.(2018山西臨汾模擬,9)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)M,N是橢圓C上關(guān)于長(zhǎng)軸對(duì)稱的兩點(diǎn),若直線AM與BN相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程是( )A.x=±a(y≠0) B.y2=2b(|x|-a)(y≠0)C.x2+y2=a2+b2(y≠0) D.-=1(y≠0)答案 D 由題意可知A(-a,0),B(a,0),設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0),y0≠0,P(x,y),y≠0,則直線PA的斜率k=,直線PA的方程為y=(x+a)①,直線PB的斜率k=,直線PB的方程為y=(x-a)②,①②相乘得y2=(x2-a2),由+=1,得=(a2-),
則y2=(x2-a2),整理得-=1(y≠0),則點(diǎn)P的軌跡方程為-=1(a>b>0)(y≠0),故選D.3.(2019浙江金華十校聯(lián)考,8)如圖,AB是平面α的斜線段,A為斜足,點(diǎn)C滿足sin∠CAB=λsin∠CBA(λ>0),且在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng),則( )A.當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)C的軌跡是拋物線B.當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)C的軌跡是一條直線C.當(dāng)λ=2時(shí),點(diǎn)C的軌跡是橢圓D.當(dāng)λ=2時(shí),點(diǎn)C的軌跡是雙曲線答案 B 在△ABC中,由sin∠CAB=λsin∠CBA,得=λ.當(dāng)λ=1時(shí),可知點(diǎn)C在線段AB的中垂面上運(yùn)動(dòng),又點(diǎn)C在平面α內(nèi),所以C在兩個(gè)平面的交線上,即點(diǎn)C的軌跡為一條直線;當(dāng)λ=2時(shí),可知點(diǎn)C的軌跡為一個(gè)球面(相對(duì)應(yīng)于平面中的阿波羅尼斯圓),又點(diǎn)C在平面α內(nèi),所以點(diǎn)C在平面α和球面的截口曲線上,即點(diǎn)C的軌跡為一個(gè)圓.故選B.4.(2020云南名校8月月考,10)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262—公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為( )A.(x-5)2+y2=16 B.x2+(y-5)2=9
C.(x+5)2+y2=16 D.x2+(y+5)2=9答案 A 設(shè)M(x,y),由=2,得=4,所以(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,即x2-10x+y2+9=0.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-5)2+y2=16.故選A.5.(2018江西九江3月聯(lián)考,14)設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且=2,⊥,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),則點(diǎn)N的軌跡方程為 .?答案 y2=4x解析 設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),由=2,得即因?yàn)椤?=(x0,-y0),=(1,-y0),所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+=0,即-x+y2=0,所以點(diǎn)N的軌跡方程為y2=4x.考法二 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的求解方法1.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷(三),16)已知橢圓C:+=1上一點(diǎn)M(不與左、右頂點(diǎn)重合),直線l:x=4上一點(diǎn)N,若右焦點(diǎn)F2恒在以MN為直徑的圓上,則kMN·kOM= .?答案 -解析 設(shè)M(x0,y0),N(4,m),由題意得·=0?(x0-1,y0)·(3,m)=0,my0=3(1-x0),又因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在橢圓上,所以+=1.所以kMN·kOM=·======-.2.(2020湖北黃岡9月新起點(diǎn)考試,20)橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),橢圓上一點(diǎn)P.直線l的斜率存在,且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2,l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且∠AF2O+∠BF2O=180°.(1)求橢圓C的方程;
(2)求證:直線l過(guò)定點(diǎn).解析 (1)由題意得c=1,2a=|PF1|+|PF2|=+=4,a=2,則b=,所以橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,由題意知+=0.聯(lián)立消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=(8km)2-4×(3+4k2)(4m2-12)>0,即4k2-m2+3>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,由+=0,得y1(x2-1)+y2(x1-1)=0,即2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,把x1+x2=-,x1x2=代入得m=-4k,把m=-4k代入4k2-m2+3>0,解得-b1>0)和雙曲線-=1(a2>0,b2>0)的一個(gè)交點(diǎn),F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),e1,e2分別為橢圓和雙曲線的離心率,若∠F1PF2=,則e1e2的最小值為 .?答案 解析 本題考查橢圓與雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程以及離心率的求法;考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力和數(shù)形結(jié)合的思想;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,則由橢圓和雙曲線的定義有m+n=2a1,|m-n|=2a2,即m2+n2+2mn=4①,m2+n2-2mn=4②,在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2③,聯(lián)立①②③可得+3=4c2,即=4,所以4=+≥2=,即e1e2≥,故e1e2的最小值為.考法四 存在性問(wèn)題1.(2020廣東廣州第十六中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一),20)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,|F1F2|=2,過(guò)點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),延長(zhǎng)BF2交橢圓C于點(diǎn)M,△ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求C的離心率及方程;(2)試問(wèn):是否存在定點(diǎn)P(x0,0),使得·為定值?若存在,求x0的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解析 (1)由題意可知|F1F2|=2c=2,則c=1.又△ABF2的周長(zhǎng)為8,所以4a=8,即a=2,則e==,b2=a2-c2=3.故C的方程為+=1.(2)解法一:假設(shè)存在點(diǎn)P,使得·為定值.若直線BM的斜率存在,設(shè)BM的方程為y=k(x-1).設(shè)B(x1,y1),M(x2,y2),聯(lián)立消去y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=,x1x2=,由于=(x2-x0,y2),=(x1-x0,y1),則·=x1x2-(x1+x2)x0++y1y2=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+=.因?yàn)椤槎ㄖ?所以=,解得x0=.定值為-.若直線BM的斜率不存在,直線BM的方程為x=1,
B,M,則·=(x0-1)2-=-,故存在點(diǎn)P,且x0=.解法二:假設(shè)存在點(diǎn)P,使得·為定值.由已知得BM與x軸不重合,可設(shè)BM的方程為x=my+1,設(shè)B(x1,y1),M(x2,y2),聯(lián)立消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,則y1+y2=-,y1y2=,由于=(x2-x0,y2),=(x1-x0,y1),則·=x1x2-(x1+x2)x0++y1y2=(m2+1)y1y2+(m-mx0)(y1+y2)++2x0+1=.因?yàn)椤槎ㄖ?所以=,解得x0=,故存在點(diǎn)P,且x0=.2.(2020天津?yàn)I海七校聯(lián)考,19)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為
F2,且橢圓上一動(dòng)點(diǎn)M與F2的最遠(yuǎn)距離為+1,過(guò)F2的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)△F1AB以∠F1AB為直角時(shí),求直線AB的方程;(3)直線l的斜率存在且不為0時(shí),試問(wèn)x軸上是否存在一點(diǎn)P使得∠OPA=∠OPB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的空間想象能力及運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)∵∴∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)解法一:當(dāng)△F1AB以∠F1AB為直角時(shí),△AF1F2是以∠F1AF2為直角的直角三角形,∴|AO|=|F1F2|=1,設(shè)A(x0,y0),則+=1,又∵+2=2,∴=0,=1,∴A(0,1)或A(0,-1),對(duì)于A(0,1),=1,kAB=-1;對(duì)于A(0,-1),=-1,kAB=1,∴直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.解法二:由題意可知,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),△F1AB不符合題意.易知直線l的斜率不為0,設(shè)直線l:y=k(x-1),則:y=-(x+1),由得(k2+1)x=k2-1,∴A,∴+=2,解得k2=1,∴直線AB的方程為y=-x+1或y=x-1.(3)設(shè)P(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=k(x-1),
∴(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∵kAP=,kBP=,kAP+kBP==0,∴y1x2+y2x1-m(y1+y2)=0,∴2kx1x2-(k+mk)(x1+x2)+2km=0,∴2km=4k,m=2,∴P(2,0).3.(2020安徽淮南一模,20)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),且△MNF2的周長(zhǎng)為12.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(0,2)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A,B,試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)D,使得△ADB是以AB為底邊的等腰三角形.若存在,求點(diǎn)D橫坐標(biāo)的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析 (1)由題意可得(2分)所以a=3,c=1,b2=8,(3分)所以橢圓C的方程為+=1.(4分)(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為E(x0,y0),假設(shè)存在點(diǎn)D(m,0),使得△ADB是以AB為底邊的等腰三角形,則DE⊥AB.由得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-,所以x0=,y0=kx0+2=.(6分)因?yàn)镈E⊥AB,所以kDE=-,即=-,(8分)
所以m==,k≠0,(9分)當(dāng)k>0時(shí),9k+≥2=12,所以-≤m<0.(10分)當(dāng)k<0時(shí),9k+≤-12,所以0b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且離心率e=.(1)設(shè)E是直線y=x+2與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),求|EF1|+|EF2|取最小值時(shí)橢圓的方程;(2)已知N(0,1),是否存在斜率為k的直線l與(1)中的橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,使得點(diǎn)N在線段AB的垂直平分線上?若存在,求出直線l在y軸上截距的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析 本題主要考查了橢圓的方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)∵e=,∴=,∴橢圓的方程可化為+=1,將+=1與y=x+2聯(lián)立,消去y并化簡(jiǎn)得4x2+12x+12-3b2=0,由Δ=144-16×(12-3b2)≥0,解得b2≥1,即b≥1,∴|EF1|+|EF2|=2a=2b≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí),|EF1|+|EF2|取最小值2,∴橢圓的方程為+y2=1.(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為t,則直線l的方程為y=kx+t,代入+y2=1,消去y并整理得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,∵直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn),∴Δ1=(6kt)2-12(t2-1)(1+3k2)>0,即t2<1+3k2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為Q,則x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2t=,∴AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,當(dāng)k≠0時(shí),kQN==-,化簡(jiǎn)得1+3k2=-2t,代入t2<1+3k2,得-21,∴t<-,故-2
