§10.1　計(jì)數(shù)原理與排列、組合專題檢測1.(2020安徽馬鞍山二模,6)為抗擊新冠病毒,社會(huì)各界積極捐贈(zèng)醫(yī)療物資.愛心人士向某市捐贈(zèng)了6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩,現(xiàn)需將這6箱口罩分配給4家醫(yī)院,每家醫(yī)院至少1箱,則不同的分法共有(　　)A.10種　　B.40種　　C.80種　　D.240種答案　A　根據(jù)題意,將6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩分成四份,每一份依次對(duì)應(yīng)一家醫(yī)院即可.將6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩排成一排,其中間有5個(gè)空位,在5個(gè)空位中任選3個(gè),插入擋板,即可將其分為四份,則有=10種分組方法,故選A.名師點(diǎn)睛　根據(jù)題意,原問題轉(zhuǎn)化為“將6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩分成四份,每一份依次對(duì)應(yīng)一家醫(yī)院”的問題,由擋板法分析可得答案.2.(2020河南鄭州二模,6)2019年10月1日是中華人民共和國成立70周年國慶日,將2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,拼成一個(gè)6位數(shù),則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A.96　　B.84　　C.120　　D.360答案　B　根據(jù)題意,將2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,“10”是一個(gè)整體,有=120種情況,其中數(shù)字“0”在首位的情況有=24種,數(shù)字“1”和“0”相鄰且“1”在“0”之前的排法有=24種,則可以產(chǎn)生120-24-24+12=84個(gè)不同的6位數(shù),故選B.思路分析　根據(jù)題意,由排除法分析:先計(jì)算將2,0,1,9,10按照任意次序排成一行的排法數(shù)目,排除其中“0”在首位和數(shù)字“1”和“0”相鄰且“1”在“0”之前中重復(fù)的情況數(shù)目,分析可得答案.3.(2017江西新余二模,9)2017年3月25日,中國國家隊(duì)在2018俄羅斯世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽12強(qiáng)小組賽中以1比0力克韓國國家隊(duì),賽后有六名隊(duì)員打算排成一排照相,其中隊(duì)長主動(dòng)要求排在排頭或排尾,甲、乙兩人必須相鄰,則滿足要求的排法有(　　)A.34種　　B.48種　　C.96種　　D.144種答案　C　根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:①隊(duì)長主動(dòng)要求排在排頭或排尾,則隊(duì)長有2種站法;②甲、乙兩人必須相鄰,將2人看成一個(gè)整體,考慮2人的左右順序,有=2種情況;③將甲乙整體與其余3人進(jìn)行全排列,有=24種情況,則滿足要求的排法有2×2×24=96種.故選C.4.(2020重慶巴蜀中學(xué)高三適應(yīng)性月考一,8)6個(gè)高矮互不相同的人站成兩排,后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)的概率為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為·=90,基本事件的總數(shù)是,所以P==,故選C.解題關(guān)鍵　本題考查了求古典概型的概率,以及排列和組合,解決本題的關(guān)鍵是將滿足條件的排列看成6個(gè)人均分成3組,然后3組再排列.5.(2020四川瀘州模擬,7)金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(　　)A.20　　B.24　　C.25　　D.26 答案　D　現(xiàn)有五種不同的肉,若兩種不同的肉混合后,有=10種不同的滋味;若三種不同的肉混合后,有=10種不同的滋味;若四種不同的肉混合后,有=5種不同的滋味;若五種不同的肉混合后,有1種不同的滋味,則共有10+10+5+1=26種不同的滋味,故選D.解題關(guān)鍵　根據(jù)題意,按混合的肉的種數(shù)不同分4種情況討論,求出每種情況下不同的滋味的數(shù)目是解決本題的關(guān)鍵.6.(2020河南第一次聯(lián)考,10)2019年7月1日迎來了我國建黨98周年,6名老黨員在這天相約來到革命圣地之一的西柏坡.6名老黨員中有3名當(dāng)年在同一個(gè)班,他們站成一排拍照留念時(shí),要求同班的3名老黨員站在一起,且滿足條件的每種排法都要拍一張照片,若將照片洗出來,每張照片0.5元(不含過塑費(fèi)),且有一半的照片需要過塑,每張過塑費(fèi)為0.75元.若將這些照片平均分給每名老黨員(過塑的照片也要平均分),則每名老黨員需要支付的照片費(fèi)為(　　)A.20.5元　　B.21元　　C.21.5元　　D.22元答案　B　由排列組合中的相鄰問題捆綁法可得,照片的總數(shù)為=144,則每名老黨員需要支付的照片費(fèi)為=21元,故選B.7.(2019四川成都第二次適應(yīng)性考試,11)用數(shù)字0,2,4,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中大于420789的正整數(shù)個(gè)數(shù)為(　　)A.479　　B.480　　C.455　　D.454答案　C　分情況討論.第一種,首位從7、8、9中選一個(gè)數(shù),其他數(shù)位任意排列,有個(gè),第二種,首位是4,第二位從7、8、9中選一個(gè)數(shù),其他數(shù)位任意排列,有個(gè),第三種,前兩位是42,第三位從7、8、9中選一個(gè)數(shù),其他數(shù)位任意排列,有個(gè),第四種,前三位是420,第四位從8、9中選一個(gè)數(shù),其他數(shù)位任意排列,有個(gè),第五種,只有420798,所以共有++++1=360+72+18+4+1=455個(gè)符合要求的正整數(shù).8.(2020廣東廣州天河一模,7)中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法,在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造,算籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍.如圖是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如:3可表示為“≡”,26可表示為“=⊥”.現(xiàn)有6根算籌,據(jù)此表示方法,若算籌不能剩余,則可以用1~9這9個(gè)數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A.13　　B.14　　C.15　　D.16答案　D　根據(jù)題意,現(xiàn)有6根算籌,可以表示的數(shù)字組合為1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7.數(shù)字組合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中,每組可以表示2個(gè)兩位數(shù),則可以表示2×7=14個(gè)兩位數(shù);數(shù)字組合3、3,7、7中,每組可以表示1個(gè)兩位數(shù),則可以表示2×1=2個(gè)兩位數(shù).則一共可以表示14+2=16個(gè)兩位數(shù).故選D.9.(2019江西南昌模擬,8)已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品,有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的,沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險(xiǎn)的.現(xiàn)用編號(hào)為1,2,3的三個(gè)倉庫存放這6種化工產(chǎn)品,每個(gè)倉庫放2種,那么安全存放的不同方法種數(shù)為(　　)A.12　　B.24　　C.36　　D.48答案　D　如圖所示的三棱錐中,設(shè)6條棱為a,b,c,d,e,f,分析可得a與d,b與f,c與e不能分到同一組,分2步進(jìn)行分析:①將6種化工產(chǎn)品分成3組,其中a與d,b與f,c與e不能分到同一組,有-3×2-1=8種分組方法;②將分好的三組全排列,對(duì)應(yīng)3個(gè)倉庫,有=6種情況,則不同的安全存放的種數(shù)有8×6=48種,故選D. 名師點(diǎn)撥　本題考查排列、組合的應(yīng)用,注意先按照題意進(jìn)行分組,再進(jìn)行排列.10.(2020河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟9月“領(lǐng)軍考試”,15)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)申報(bào)3所不同的985高校的自主招生,要求每名同學(xué)只能申報(bào)一所學(xué)校,每所學(xué)校必須有同學(xué)申報(bào),甲、乙或甲、丙均不能申報(bào)同一所學(xué)校,則不同的申報(bào)方案有　　　　種.?答案　24解析　根據(jù)題意,必定有兩個(gè)人報(bào)一所學(xué)校,有4種可能:甲丁,丙丁,乙丁,乙丙,所以總共有×4=24種申報(bào)方案.11.(2019山西太原模擬,14)如圖所示,玩具計(jì)數(shù)算盤的三檔上各有7個(gè)算珠,現(xiàn)將每檔算珠分為左、右兩部分,左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)2,右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1(允許一側(cè)無珠),記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為a,b,c.例如,圖中上檔的數(shù)字和a=9.若a,b,c成等差數(shù)列,則不同的分珠計(jì)數(shù)法有　　　種.?答案　32解析　根據(jù)題意知,a,b,c的取值范圍都是區(qū)間[7,14]中的8個(gè)整數(shù),故公差d的范圍是區(qū)間[-3,3]中的整數(shù).①當(dāng)公差d=0時(shí),有=8種;②當(dāng)公差d=±1時(shí),b不取7和14,有2×=12種;③當(dāng)公差d=±2時(shí),b不取7,8,13,14,有2×=8種;④當(dāng)公差d=±3時(shí),b只能取10或11,有2×=4種.綜上,共有8+12+8+4=32種不同的分珠計(jì)數(shù)法.思路分析　a,b,c的取值范圍都是[7,14]內(nèi)的整數(shù),可以根據(jù)公差d的情況進(jìn)行討論.解后反思　本題考查排列、組合的應(yīng)用,要表示的有3項(xiàng),做題時(shí)容易找不到切入點(diǎn),本題的切入點(diǎn)是考慮等差中項(xiàng)的選取方法.