§10.2　二項式定理專題檢測1.(2020山西大同開學學情調研,6)若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項是(　　)A.210　　B.180　　C.160　　D.175答案　B　∵的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,∴展開式中共有11項,n=10.∴展開式的通項為Tr+1=()10-r·=(-1)r·2r·.令5-=0,得r=2,∴常數(shù)項是T2+1=22·=180,故選B.2.(2018遼寧鞍山鞍鋼三模,8)已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,則a2=(　　)A.18　　B.24　　C.36　　D.56答案　B　(2x-1)4=[1+2(x-1)]4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,∴a2=·22=24,故選B.3.(2020四川五校聯(lián)考,6)(3x3+x4)的展開式中x2的系數(shù)為(　　)A.-1280　　B.4864　　C.-4864　　D.1280答案　A　的展開式的通項為Tr+1=28-r·,所以x2項為3x3+x4·26·=-1280x2,故選A.4.(2018海南國興中學3月模擬,7)設(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,其中x,ai∈R,i=0,1,…,6,則a1+a3+a5=(　　)A.16　　B.32　　C.64　　D.128答案　B　令x=1,則26=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=64,令x=-1,則(1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0,∴2(a1+a3+a5)=64,∴a1+a3+a5=32.故選B.5.(2019廣東佛山二模,8)已知(1+x)(n∈N*,n<10)的展開式中沒有常數(shù)項,則n的最大值是(　　)A.6　　B.7　　C.8　　D.9答案　B　∵(1+x)(n∈N*,n<10)的展開式中沒有常數(shù)項,∴的展開式中沒有x-1項和常數(shù)項.∵的展開式的通項為Tr+1=·xn-3r,故n-3r≠0,且n-3r≠-1,即n≠3r,且n≠3r-1,∴n≠3,6,9,且n≠2,5,8,故n的最大值為7,故選B.思路分析　先將問題轉化成二項展開式中沒有常數(shù)項和x-1項,利用二項展開式的通項求出第r+1項,再根據(jù)x的指數(shù)不能為0和-1,求得n的最大值.6.(2017山西晉中一模,9)若a=2(x+|x|)dx,則在的展開式中,x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項共有(　　)A.13項　　B.14項　　C.15項　　D.16項答案　C　a=2(x+|x|)dx=2(x-x)dx+22xdx=18.則的展開式的通項為Tr+1=()18-r=(-1)r·(r=0,1,2,…,18).只有r=0,6,12,18時,x的冪指數(shù)是整數(shù),因此x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項共有19-4=15項.故選C.7.(2018安徽馬鞍山二模,10)二項式的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大,則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為(　　)A.3　　B.5　　C.6　　D.7答案　D　根據(jù)的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大,得n=20,∴的展開式的通項為Tr+1=·(x)20-r·=()20-r··,要使x的指數(shù)是整數(shù),需r是3的倍數(shù),∴r=0,3,6,9,12,15,18,∴x的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項.故選D. 思路分析　根據(jù)二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大求出n的值,再利用展開式的通項求得x的指數(shù)是整數(shù)的項數(shù).規(guī)律總結　(a+b)n的展開式中二項式系數(shù)最大問題的處理依據(jù):若n為偶數(shù),則第項的二項式系數(shù)最大,為;若n為奇數(shù),則第,項的二項式系數(shù)最大,為,.8.(2016全國百所名校聯(lián)考,6)(1-)6(1-)4的展開式中,x2的系數(shù)是(　　)A.-75　　B.-45　　C.45　　D.75答案　B　(1-)6(1-)4=(1-6+15x-20x+15x2-6x2+x3)·(1-4+6-4x+),∴(1-)6(1-)4的展開式中,x2的系數(shù)是15·(-4)+15=-45.故選B.思路分析　把(1-)6和(1-)4利用二項式定理分別展開,進而可得(1-)6(1-)4的展開式中x2的系數(shù).9.(2018重慶萬州二模,15)已知二項式的所有二項式系數(shù)之和等于128,那么其展開式中含項的系數(shù)是　　　　.?答案　-84解析　由二項式的展開式中所有二項式系數(shù)的和是128,得2n=128,∴n=7,∴=,Tr+1=·(2x2)7-r·=(-1)r·27-r··x14-3r.令14-3r=-1,得r=5.∴展開式中含項的系數(shù)是-4×=-84.思路分析　由已知可得n的值,寫出二項展開式的通項,由x的指數(shù)為-1求得r,進而求含項的系數(shù).易錯警示　注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別,以及二項式系數(shù)之和與所有項的系數(shù)之和的區(qū)別.10.(2017江西贛州十四縣聯(lián)考,14)若的展開式中前三項的系數(shù)分別為A,B,C,且滿足4A=9(C-B),則展開式中x2的系數(shù)為　　　　.?答案　解析　易得A=1,B=,C==,所以有4=9,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在中,因為通項Tr+1=x8-r=·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展開式中x2的系數(shù)為.11.(2018湖南長沙第二次模擬,14)若x10-x5=a0+a1(x-1)++…+a10(x-1)10,則a5=　　　　.?答案　251解析　令x-1=t,則x=t+1,x10-x5=(t+1)10-(t+1)5=a0+a1t+a2t2+…+a10t10,a5為t5的系數(shù),其中(t+1)10的展開式中t5的系數(shù)為,(t+1)5的展開式中t5的系數(shù)為,則a5=-=252-1=251.12.若(1-4x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020·x2020,則++…+=　　　　.?答案　0解析　取x=0,則a0=1;取x=,則(-1)2020=a0+++…+,所以++…+=1-a0=0.