§10.2 二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理1.(x+y)(2x-y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為( )A.-80 B.-40 C.40 D.80答案 D2.(1+3x)n的展開式中x5與x6的系數(shù)相等,則x4的二項(xiàng)式系數(shù)為( )A.21 B.35 C.45 D.28答案 B3.將多項(xiàng)式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得(x-2)(x+2)5,則a5=( )A.8 B.10 C.12 D.1答案 A4.在的展開式中,x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項(xiàng)共有( )A.13項(xiàng) B.14項(xiàng) C.15項(xiàng) D.16項(xiàng)答案 C5.已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于128,那么其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是( )A.-84 B.-14 C.14 D.84答案 A6.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( )A.0 B.1 C.32 D.-1答案 A7.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256,則該展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 .?
答案 68.在的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為 .?答案 -5[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理1.(2020河南部分重點(diǎn)高中聯(lián)考,9)已知(3x-1)n展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,且n為偶數(shù),則(3x-1)n展開式中x2的系數(shù)為( )A.-252 B.252 C.-28 D.28答案 B 由題意可得n=8,則(3x-1)8的展開式的通項(xiàng)是Tr+1=(3x)8-r·(-1)r,令8-r=2,解得r=6,則展開式中x2的系數(shù)為32=252.2.(2019內(nèi)蒙古包頭二模,10)若的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為1,則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( )A.672 B.-672 C.5376 D.-5376答案 A ∵的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為(a-1)9=1,∴a=2.故展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=·(-1)r·29-r·x18-3r,令18-3r=0,求得r=6,可得該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為·23=672,故選A.3.(2018遼寧沈陽育才學(xué)校五模,6)已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開式中x7的系數(shù)為( )A.5 B.40 C.20 D.10答案 B 由的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,
得3n=243,即n=5,∴=,Tr+1=·(x3)5-r·=2r··x15-4r,令15-4r=7,得r=2,∴展開式中x7的系數(shù)為22×=40.故選B.思路分析 由已知可得n的值,寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),由x的指數(shù)為7求得r,進(jìn)而求得含x7的項(xiàng)的系數(shù).解后反思 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.4.(2016寧夏銀川第一次聯(lián)考,9)已知的展開式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第 項(xiàng).?答案 5解析 展開式的通項(xiàng)Tr+1=(-1)rxn-2r,第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為,,∴=,∴n=7,∴系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng),T5=(-1)4x-1.思路分析 先由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求n,再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求第r+1項(xiàng)的系數(shù),可得結(jié)論.易錯(cuò)警示 二項(xiàng)式(b+a)n的展開式中的第r+1項(xiàng)為arbn-r,而非ar+1bn-r-1,其中r∈N.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一 求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)1.(2019豫南九校第三次模擬改編,7)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( )
A.560 B.1120 C.2240 D.4480答案 B2.(2020福建畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試)(2x-1)(x+2)5的展開式中,x3的系數(shù)是( )A.200 B.120 C.80 D.40答案 B3.(2019江西紅色七校第二次聯(lián)考,5)(1+x2)·的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為( )A.-15 B.16 C.15 D.-16答案 B4.(2019寧夏銀川九中月考)已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=( )A. B.- C.6 D.-6答案 D5.(2019江西上饒二模,7)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3,則該展開式中x3的系數(shù)是( )A.-184 B.-84 C.-40 D.320答案 A6.(2021屆百校聯(lián)盟普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)(3x-2)2(x-2)6的展開式中,x4的系數(shù)為( )A.0 B.4320 C.480 D.3840答案 B考法二 求二項(xiàng)式系數(shù)和與展開式中各項(xiàng)系數(shù)和7.(2021屆廣東深圳外國語學(xué)校第一次月考)的展開式中,不含x的各項(xiàng)系數(shù)之和為 .?答案 2568.(2020山東濟(jì)寧一中一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測,14)已知(2-x2)(1+ax)3的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為
27,則實(shí)數(shù)a= ,展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)是 .?答案 2;23[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)問題1.(2020河南百校聯(lián)盟9月聯(lián)合檢測,6)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為( )A.-15 B.-5 C.10 D.15答案 A (1+x)5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=×15-r·xr=xr,當(dāng)r=2時(shí),T3=x2=10x2,當(dāng)r=4時(shí),T5=x4=5x4,故(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5+(-2)×10=-15.2.(2020重慶巴蜀中學(xué)高考適應(yīng)月考一,13)二項(xiàng)式(2x+1)6的展開式中,第5項(xiàng)的系數(shù)為 .?答案 60解析 因?yàn)槎?xiàng)式(2x+1)6展開式的通項(xiàng)為Tr+1=·(2x)6-r·1r,所以T5=·(2x)2=60x2,所以(2x+1)6的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)為60.3.(2017安徽合肥二模,15)在的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為 .?答案 -5解析 的展開式中的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)4-r·(r=0,1,2,3,4).當(dāng)r=0時(shí),T1=1,當(dāng)r≠0時(shí),的通項(xiàng)為Tk+1=xr-k=(-1)k·xr-2k(k=0,…,r),令r-2k=0,即r=2k.∴r=2,k=1;r=4,k=2.
∴常數(shù)項(xiàng)為1-×+×1=-5.考法二 求二項(xiàng)式系數(shù)的和與展開式中各項(xiàng)系數(shù)和1.(2020吉林通化梅河口五中等校聯(lián)考,8)若(2-3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,則a1+a2+a3+…+a6等于( )A.-4 B.4 C.-64 D.-63答案 D (2-3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=0,可得a0=64,再令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a6=1,∴a1+a2+a3+…+a6=-63,故選D.2.(2020安徽江淮十校第一次聯(lián)考,14)已知(x+1)(2x+a)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2,則其展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是 .?答案 -30解析 本題考查了二項(xiàng)式中指定項(xiàng)的系數(shù),解題時(shí)要充分利用展開式的通項(xiàng)求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.由題意可知,(x+1)(2x+a)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1+1)·(2×1+a)5=2(2+a)5=2,解得a=-1,所以(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x-1)5=x(2x-1)5+(2x-1)5,所以展開式的通項(xiàng)為x·(2x)5-k·(-1)k+·(2x)5-r·(-1)r=·25-k·(-1)k·x6-k+·25-r·(-1)r·x5-r,令得因此,展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為·21·(-1)4+·22·(-1)3=10-40=-30.
