專題十一 概率與統(tǒng)計備考篇【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型1.了解兩個互斥事件的概率加法公式.2.理解古典概型及其概率計算公式.3.理解幾何概型及其概率計算公式.1.本專題內(nèi)容為高考熱點,題型以一大一小形式出現(xiàn),小題為選擇題或填空題,難度較小,解答題的難度有所增加.重在考查學(xué)生的邏輯思維能力,對事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力.2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:(1)樣本的抽樣方法,數(shù)字特征,古典概型,離散型隨機(jī)變量的分布列,二項分布,正態(tài)分布等.(2)在實際問題中的分布列、正態(tài)分布、統(tǒng)計案例的運用.3.重點考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).1.古典概型常以小題的形式出現(xiàn),求基本事件的個數(shù)時常涉及排列數(shù)、組合數(shù)的計算,計算時首先判斷事件是否與順序有關(guān),以確定是排列問題,還是組合問題.2.相互獨立事件、互斥事件常作為解答題的第(1)問,是進(jìn)一步求分布列、期望與方差的基礎(chǔ),求解該類問題要正確理解題意,準(zhǔn)確判斷概率模型,恰當(dāng)選擇概率公式.3.求解離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,關(guān)鍵要過好“三關(guān)”:一是“判斷關(guān)”,即依題意判斷隨機(jī)變量的所有可能的取值,二是“求概率關(guān)”,即利用兩個計數(shù)原理,排列與組合內(nèi)容,以及古典概型的概率公式求隨機(jī)變量取各個值時的概率,三是“應(yīng)用定義關(guān)”,即列出隨機(jī)變量的分布列,并利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計算,若能判定隨機(jī)變量X服從二項分布,則可利用E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,從而避免復(fù)雜的運算,提高解題的準(zhǔn)確度.4.關(guān)注概率與其他知識綜合考查的題目,強(qiáng)化概率在決策問題中的運用,在不同背景下抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法值得關(guān)注,應(yīng)強(qiáng)化在知識的形成過程、知識遷移中滲透學(xué)科素養(yǎng).二、離散型隨機(jī)變量及其分布列1.理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解超幾何分布.3.理解取值有限的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,并會計算均值、方差.三、二項分布與正態(tài)分布1.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,能解決一些簡單的實際問題.2.了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義,并進(jìn)行簡單應(yīng)用.四、抽樣方法、用樣本估計總體1.會用簡單隨機(jī)抽樣抽取樣本.2.能從樣本數(shù)據(jù)中提取數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差).3.會用樣本的頻率分布(數(shù)字特征)估計總體分布(數(shù)字特征).五、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例1.會作散點圖,并會用其認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想,能根據(jù)所給公式求線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶).3.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的方法,并能解決一些簡單問題.4.了解回歸分析的基本方法,并能解決一些簡單的實際問題.
【真題探秘】方法總結(jié)1.獨立性檢驗的思想來自于統(tǒng)計上的假設(shè)檢驗思想,它與反證法類似,它們都是先假設(shè)結(jié)論不成立,然后根據(jù)是否能推出“矛盾”來判斷結(jié)論是否成立的.但二者“矛盾”的含義不同,反證法中的“矛盾”是指不符合邏輯的事件發(fā)生,獨立性檢驗中的矛盾是在結(jié)論不成立的假設(shè)下推出有利于結(jié)論成立的小概率事件的發(fā)生.2.獨立性檢驗的一般步驟:(1)獨立性檢驗原理只能解決兩個對象,每個對象有兩類屬性的問題,所以對于一個實際問題,我們要首先確定能否用獨立性檢驗的思想加以解決;(2)如果確定屬于這類問題,要科學(xué)地抽取樣本,樣本容量要適當(dāng),不可太小;(3)根據(jù)數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表;(4)提出假設(shè)H0:所研究的兩類對象(X,Y)無關(guān);(5)根據(jù)公式計算K2=,其中n=a+b+c+d的值;(6)比較觀測值k與臨界值表中相應(yīng)的檢驗水平,根據(jù)小概率原理肯定或者否定假設(shè),即判斷X、Y是否相關(guān).核心素養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算,邏輯推理[教師專用題組]1.真題多維細(xì)目表考題涉分題型難度考點考向解題方法核心素養(yǎng)2020新高考Ⅱ,95多項選擇題中統(tǒng)計圖表折線圖分析法數(shù)據(jù)分析2020天津,45選擇題易統(tǒng)計圖表頻率分布直方圖定義法數(shù)學(xué)運算
2020課標(biāo)Ⅰ文,1712解答題中統(tǒng)計案例用頻率估計概率、利用統(tǒng)計知識進(jìn)行決策公式法數(shù)學(xué)運算2020北京,1814解答題中抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法與事件的概率估計定義法數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運算2020課標(biāo)Ⅰ文,45選擇題易古典概型古典概型求事件的概率定義法數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運算邏輯推理2020新高考Ⅰ,125多項選擇題難離散型隨機(jī)變量及其分布列新定義、離散型隨機(jī)變量及其分布列、對數(shù)運算、比較大小定義法公式法數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運算邏輯推理2020天津,135填空題易相互獨立事件求相互獨立事件的概率公式法數(shù)學(xué)運算邏輯推理2020課標(biāo)Ⅰ,文5,理55選擇題易變量間的相關(guān)關(guān)系散點圖、確定回歸方程類型定義法數(shù)據(jù)分析2020新高考Ⅰ,1912解答題中統(tǒng)計案例概率的估計值、獨立性檢驗定義法數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運算邏輯推理2.命題規(guī)律與探究1.從2020年高考情況來看,本專題內(nèi)容依然為高考熱點,題型以一大一小形式出現(xiàn),小題主要為選擇題或填空題,難度較小,解答題的難度有所增加,如2020年課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)第19題以三人的羽毛球比賽為背景,將概率問題融入常見的羽毛球比賽中,以參賽人的獲勝概率設(shè)問,重在考查學(xué)生的邏輯思維能力,對事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力,分值約為15分.2.本專題內(nèi)容在高考試題的選擇題、填空題中主要考查抽樣方法,古典概型,用樣本估計總體等,解答題常利用排列組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差、二項分布和正態(tài)分布等問題,注意概率與其他知識的綜合考查.3.在處理小題時常用公式法,或排列組合知識,注意邏輯推理的靈活運用.4.本章重點考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理.3.命題變化與趨勢1.從2020年高考情況來看,考查難度有所降低,更強(qiáng)調(diào)知識的應(yīng)用性,試題背景與日常生活及其他學(xué)科貼近,體現(xiàn)統(tǒng)計思想與概率思想.2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①樣本的抽樣方法,數(shù)字特征,古典概型,
離散型隨機(jī)變量的分布列,二項分布,正態(tài)分布等常規(guī)題型.②在實際問題中的分布列,正態(tài)分布,統(tǒng)計案例的運用.③概率問題與其他知識的綜合考查近年難度加大,備考時需給予關(guān)注和強(qiáng)化.3加強(qiáng)關(guān)注概率與其他知識綜合考查的題目,強(qiáng)化概率在決策問題的運用,在不同背景下抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法值得關(guān)注.應(yīng)強(qiáng)化在知識的形成過程、知識的遷移中滲透學(xué)科素養(yǎng).§11.1 隨機(jī)事件、古典概型與幾何概型基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一 事件與概率1.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語》知識大賽”,決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績,回答者對甲說“雖然你的成績比乙好,但是你倆都沒得到第一名”;對乙說“你當(dāng)然不會是最差的”.從上述回答分析,丙是第一名的概率是( )A. B. C. D.答案 B2.在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是,那么概率是的事件是( )A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡答案 A3.一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面標(biāo)有奇數(shù),事件B表示向上的一面上的數(shù)不超過3,事件C表示向上的一面上的數(shù)不小于4,則( )A.A與B是互斥而非對立事件
B.A與B是對立事件C.B與C是互斥而非對立事件D.B與C是對立事件答案 D4.男隊有號碼分別為1,2,3的三名乒乓球運動員,女隊有號碼為1,2,3,4的四名乒乓球運動員,現(xiàn)兩隊各出一名運動員比賽一場,則出場的兩名運動員號碼不同的概率為 .?答案 考點二 古典概型5.“微信搶紅包”自2015年以來異?；鸨?在某個微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動中,若所發(fā)紅包的總金額為8元,被隨機(jī)分配為1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元共5份供甲、乙等5人搶,每人只能搶一次,則甲、乙二人搶到的紅包金額之和不低于3元的概率是( )A. B. C. D.答案 D6.每年三月為學(xué)雷鋒活動月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,現(xiàn)需選出2名青年志愿者到社區(qū)做公益宣傳活動,則選出的2名志愿者性別相同的概率為( )A. B. C. D.答案 B7.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},則函數(shù)f(x)=ax2-2bx在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)的概率是( )A. B. C. D.答案 A8.某車間共有6名工人,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù),日加工零件個數(shù)大于樣本平均數(shù)的工人為優(yōu)秀工人,從該車間的6名工人中任取2名,則恰有1
名優(yōu)秀工人的概率為( )A. B. C. D.答案 C9.從左至右依次站著甲、乙、丙3個人,從中隨機(jī)抽取2個人進(jìn)行位置調(diào)換,則經(jīng)過兩次這樣的調(diào)換后,甲在乙左邊的概率是 .?答案 考點三 幾何概型(舊課標(biāo))10.某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課,每節(jié)課的時間為40分鐘,第一節(jié)課上課的時間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學(xué)請假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機(jī)到達(dá)教室,則他聽第二節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率為( )A. B. C. D.答案 B11.趙爽弦圖(圖1)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》,它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.圖2是由弦圖變化得到的,它是由八個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼接而成的.現(xiàn)隨機(jī)向圖2中大正方形的內(nèi)部投擲一枚飛鏢,若直角三角形的直角邊長分別為2和3,則飛鏢投中小正方形(陰影)區(qū)域的概率為( )A. B. C. D.
答案 A[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一 事件與概率1.(2019陜西咸陽模擬檢測(一),4)某校高三(1)班50名學(xué)生參加1500m體能測試,其中23人成績?yōu)锳,其余人成績都是B或C.從這50名學(xué)生中任抽1人,若抽得B的概率是0.4,則抽得C的概率是( )A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60答案 A 由題意得抽到C的概率為1--0.4=0.14.2.(2020四川綿陽二診,8)甲、乙、丙三位客人在參加中國(綿陽)科技城國際科技博覽會期間,計劃到綿陽的九皇山、七曲山大廟兩個景點去參觀考察,由于時間關(guān)系,每個人只能選擇一個景點,則甲、乙、丙三人恰好到同一景點旅游參觀的概率為( )A. B. C. D.答案 B 甲、乙、丙三人每人有2種選擇,共有23=8種情況,甲、乙、丙三人去同一景點有2種情況,故甲、乙、丙三人恰好到同一景點旅游參觀的概率為.3.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左邊的概率是( )A.1 B.C. D.答案 D
甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6種,其中甲排在左邊的站法有2種,∴甲排在左邊的概率是=.故選D.4.(2017福建泉州高考考前適應(yīng)性模擬(一),3)從含有質(zhì)地均勻且大小相同的2個紅球、n個白球的口袋中隨機(jī)取出一球,若取到紅球的概率是,則取得白球的概率等于( )A. B. C. D.答案 C 取得紅球與取得白球為對立事件,∴取得白球的概率P=1-=.5.(2019山東煙臺一模,3)已知甲袋中有1個紅球1個黃球,乙袋中有2個紅球1個黃球,現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一個球,則取出的兩球中至少有1個紅球的概率為( )A. B. C. D.答案 D 本題考查概率的求法,考查對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.甲袋中有1個紅球1個黃球,乙袋中有2個紅球1個黃球,現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一個球,基本事件總數(shù)n==6,取出的兩球中至少有1個紅球的對立事件是取出的兩球都是黃球,∴利用對立事件概率計算公式得,取出的兩球中至少有1個紅球的概率為P=1-=.故選D.考點二 古典概型1.(2018湖南(長郡中學(xué)、衡陽八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次聯(lián)考,9)已知某地春天下雨的概率為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計未來三天恰有一天下雨的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再每三個隨機(jī)數(shù)作為一組,代表未來三天是否下雨的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20
組隨機(jī)數(shù):907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.據(jù)此估計,該地未來三天恰有一天下雨的概率為( )A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35答案 C 指定1,2,3,4表示下雨,未來三天恰有一天下雨就是三個數(shù)字中只有一個數(shù)字在集合{1,2,3,4}中,20組隨機(jī)數(shù)中,有8組符合題意,為925,458,683,257,027,488,730,537,∴所求概率P==0.4,故選C.2.(2016寧夏銀川第一次大聯(lián)考,3)某中學(xué)共8個藝術(shù)社團(tuán),現(xiàn)從中選10名同學(xué)組成新春社區(qū)慰問小組,其中書法社團(tuán)需選取3名同學(xué),其他社團(tuán)各取1名同學(xué).現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到社區(qū)養(yǎng)老院參加“新春送歡樂”活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).則選取的3名同學(xué)來自不同社團(tuán)的概率為( )A. B. C. D.答案 C 從10名同學(xué)中選3名,共有種選法,選取的3名同學(xué)來自不同社團(tuán)包括兩類:①3名均來自書法社團(tuán)以外的7個社團(tuán),有種選法;②有1名來自書法社團(tuán),有種選法.∴選出的3名同學(xué)來自不同社團(tuán)的概率為=.3.(2017遼寧沈陽一模,6)將A,B,C,D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排,則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率是( )A. B. C. D.答案 B ∵將A,B,C,D這4名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排,基本事件總數(shù)n==4×3×2×1=24,“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”包含的基本事件有:ABCD,CBAD,CDAB,DABC,DCBA,BADC,共6個,∴“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率P==.故選B.
4.(2018吉林實驗中學(xué)期中)箱子里有3雙顏色不同的手套(紅藍(lán)黃各1雙),有放回地拿出2只,記事件A表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成對”,則事件A的概率為( )A. B. C. D.答案 B 分別設(shè)3雙手套為a1a2;b1b2;c1c2.a1,b1,c1分別代表左手手套,a2,b2,c2分別代表右手手套.從箱子里的3雙顏色不同的手套中,隨機(jī)有放回地拿出2只,基本事件總數(shù)n=6×6=36,事件A包含:(a1,b2),(b2,a1),(a1,c2),(c2,a1),(a2,b1),(b1,a2),(a2,c1),(c1,a2),(b1,c2),(c2,b1),(b2,c1),(c1,b2),12個基本事件.故事件A的概率P(A)==.故選B.5.(2020上海浦東一模,8)已知集合A=-2,-1,-,,,1,2,3,任取k∈A,則冪函數(shù)f(x)=xk為偶函數(shù)的概率為 (結(jié)果用數(shù)值表示).?答案 解析 集合A=,任取k∈A的基本事件總數(shù)為8,當(dāng)k=±2時,冪函數(shù)f(x)=xk為偶函數(shù),從而冪函數(shù)f(x)=xk為偶函數(shù)包含的基本事件個數(shù)為2,∴冪函數(shù)f(x)=xk為偶函數(shù)的概率P=.考點三 幾何概型(舊課標(biāo))1.(2018寧夏銀川一中5月模擬,6)將一根長為6m的繩子剪為二段,則其中一段長度大于另一段長度的2倍的概率為( )A. B. C. D.
答案 B 繩子的長度為6m,折成兩段后,設(shè)其中一段長度為xm,則另一段長度為(6-x)m,記“其中一段長度大于另一段長度2倍”為事件A,則A={x|0
2(6-x)或6-x>2x}={x|0b的概率為 .?答案 5.(2021屆江蘇揚(yáng)州邗江蔣王中學(xué)第一次質(zhì)量檢測,13)從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個,則所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為 .?答案 考法二 幾何概型概率的求法6.(2020河南安陽第一次調(diào)研月考,10)從[-2,3]中任取一個實數(shù)a,則a的值能使函數(shù)f(x)=x+asinx在R上單調(diào)遞增的概率為( )A. B. C. D.答案 C
7.(2020福建漳州第二次適應(yīng)性測試,4)中華文化博大精深,我國古代算書《周髀算經(jīng)》中介紹了用統(tǒng)計概率得到圓周率π的近似值的方法.古代數(shù)學(xué)家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方”文化的錢幣(如圖1)進(jìn)行統(tǒng)計,現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形,其中圓的半徑為2cm,正方形的邊長為1cm,在圓內(nèi)隨機(jī)取點,若統(tǒng)計得到此點取自陰影部分的概率是p,則圓周率π的近似值為( )A. B. C. D.答案 A[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 古典概型概率的求法1.(2019江西九江一模,4)洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖案,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四隅黑點為陰數(shù),其各行各列及對角線點數(shù)之和皆為15.如圖,若從四個陰數(shù)中隨機(jī)抽取兩個數(shù),則能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率是( )A. B. C. D.答案 D 從四個陰數(shù)中隨機(jī)抽取兩個數(shù),共有6種取法,其中滿足題意的取法有兩種:4,6和2,8,∴能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率P==.故選D.
2.(2020重慶模擬,5)2020年2月,在新型冠狀病毒肺炎疫情防控工作期間,某單位有4名黨員報名參加該地四個社區(qū)的疫情防控服務(wù)工作,假設(shè)每名黨員均從這四個社區(qū)中任意選取一個社區(qū)參加疫情防控服務(wù)工作,則恰有一個社區(qū)未被這4名黨員選取的概率為( )A. B. C. D.答案 D 本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由題意得基本事件總數(shù)為44,而恰有一個社區(qū)未被這4名黨員選取包含的基本事件個數(shù)為,則恰有一個社區(qū)未被這4名黨員選取的概率P==.故選D.3.(2017山西呂梁孝義高考熱身試題,5)大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓,則其中2人恰好乘坐同一部電梯的概率為( )A. B. C. D.答案 A 大廈一層有A,B,C,D四部電梯,3人在一層乘坐電梯上樓,基本事件總數(shù)n=43=64,其中2人恰好乘坐同一部電梯包含的基本事件個數(shù)m=·=36,∴其中2人恰好乘坐同一部電梯的概率P===.故選A.4.(2018上海復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)月考,10)從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個數(shù),要使取到的一個數(shù)大于k,另一個數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是,則k= .?答案 7解析 從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個數(shù)的基本事件有=45種,比k小的數(shù)有(k-1)個,比k大的數(shù)有(10-k)個,故取到的一個數(shù)大于k,另一個數(shù)小于k的事件種數(shù)為·=(k-1)(10-k),所以取到的一個數(shù)大于k,另一個數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率
P=,由P=,解得k=7(k=4舍去).考法二 幾何概型概率的求法1.(2018陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬)在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)地選擇一個數(shù)p,則方程x2-px+3p-8=0有兩個正根的概率為( )A. B. C. D.答案 A 設(shè)方程x2-px+3p-8=0的兩個正根為x1、x2,則即解得p≥8或
