§11.2 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差專題檢測1.(2019遼寧葫蘆島期末,6)已知X是離散型隨機變量P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,則D(2X-1)=( )A. B. C. D.答案 B 因為P(X=1)=,P(X=a)=,所以P(X=1)+P(X=a)=+=1,則X只有兩個變量1和a.所以E(X)=1×+a=,解得a=2,即P(X=2)=.所以D(X)=×+×=,則D(2X-1)=4×=,故選B.2.(2020全國高三月考,8)已知甲盒中有2個紅球,1個藍(lán)球,乙盒中有1個紅球,2個藍(lán)球,從甲、乙兩個盒中各取1球放入原來為空的丙盒中,現(xiàn)從甲盒中取1個球,記紅球的個數(shù)為ξ1,從乙盒中取1個球,記紅球的個數(shù)為ξ2,從丙盒中取1個球,記紅球的個數(shù)為ξ3,則下列說法正確的是( )A.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)B.E(ξ1)
D(ξ3)C.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)0.若X的方差D(X)≤對所有a∈(0,1-b)都成立,則( )A.b≤ B.b≤ C.b≥ D.b≥答案 D 本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的求法,考查運算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).依題意,知a+b+c=1,故c=1-a-b,當(dāng)a∈(0,1-b)時,E(X)=-a+c=1-b-2a,則D(X)=E(X2)-E2(X)=a+c-(c-a)2=a+c-[(c-a)2+4ac]+4ac=(a+c)-(a+c)2+4a(1-b-a)=(1-b)-(1-b)2+4a(1-b-a),令1-b=t,則t∈(0,1),D(X)=t-t2+4a(t-a)≤,a∈(0,t),
故4a2-4at+t2-t+≥0在a∈(0,t)上恒成立,當(dāng)a=時D(X)有最小值,故4-4××t+t2-t+≥0,故t≤,即1-b≤,所以b≥,故選D.4.(2020安徽蚌埠三模,8)開學(xué)后,某學(xué)校食堂為了減少師生就餐排隊時間,特推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞蛢煞N.已知小明同學(xué)每天中午都會在食堂提供的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞椭羞x擇一種,米飯?zhí)撞偷膬r格是每份15元,面食套餐的價格是每份10元,如果小明當(dāng)天選擇了某種套餐,他第二天會有80%的可能性換另一種類型的套餐,假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閜n,給出以下論述:①小明同學(xué)第二天一定選擇面食套餐;②p3=0.68;③pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N);④前n天小明同學(xué)午餐花費的總費用的數(shù)學(xué)期望為n+-.其中正確的是( )A.②④ B.①②③ C.③④ D.②③④答案 D 在①中,第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?則小明第二天有80%的可能選擇面食套餐,故①錯誤;在②中,∵第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?∴p3=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正確;在③中,∵小明當(dāng)天選擇了某種套餐,他第二天會有80%的可能性換另一種類型的套餐,假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閜n,∴pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N),故③正確;在④中,當(dāng)n=1時,前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學(xué)期望為15=×1+-×.當(dāng)n=2時,前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學(xué)期望為15+15×0.2+10×0.8=×2+-×.當(dāng)n=3時,前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學(xué)期望為15+15×0.2+10×0.8+15×0.68+10×0.32=×3+-×.由此猜想前n天小明午餐花費的總費用的數(shù)學(xué)期望為n+-,故④正確.故選D.思路分析 在①中,小明同學(xué)第二天有80%的可能性選擇面食套餐,故①錯誤;在②中,p3=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正確;在③中,推導(dǎo)出pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N),故③正確;分別求出n=1,2,3時,前n天小明同學(xué)午餐花費的總費用的數(shù)學(xué)期望,由此猜想前n天小明同學(xué)午餐花費的總費用的數(shù)學(xué)期望為n+-,故④正確.5.(2018浙江寧波5月模擬,13)已知隨機變量X的分布列如下表:Xa234Pb若EX=2,則a= ;DX= .?答案 0;解析 由題意得+b++=1,∴b=.所以EX=a×+2×+3×+4×=2,解得a=0.所以DX=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=.6.(2017安徽蚌埠二模,16)賭博有陷阱.某種賭博游戲每局的規(guī)則是:參與者從標(biāo)有5,6,7,8,9的小球中隨機摸取一個(除數(shù)字不同外,其余均相同),將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位:元),然后放回該小球,再隨機摸取兩個小球,將兩個小球上數(shù)字之差的絕對值的2倍作為其獎金(單位:元).若隨機變量ξ和η分別表示參與者在每一局賭博游戲中的賭金與獎金,則Eξ-Eη= 元.?答案 3解析 ξ的分布列為ξ56789PEξ=×(5+6+7+8+9)=7(元).η的分布列為η2468
PEη=2×+4×+6×+8×=4(元),∴Eξ-Eη=7-4=3(元).故答案為3.7.(20205·3原創(chuàng)題)已知離散型隨機變量ξ的分布列如下表:ξxyP則xy的最小值是 .?答案 9解析 由題意得x,y為正實數(shù),并且++=1,整理得xy=x+y+3①,又Eξ=x·+y·+·=3,Eξ2=x2·+y2·+·=x+y+,結(jié)合Dξ=Eξ2-(Eξ)2≥0得x+y+-9≥0②.由①②得xy+-3≥9,所以xy≥9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時等號成立,故xy的最小值是9.8.(2020吉林梅河口五中模擬,19)在慶祝澳門回歸祖國20周年之際,澳門特別行政區(qū)政府為了解人們對回歸20年的幸福指數(shù),隨機選擇了100位市民進行了調(diào)查,將他們的年齡(單位:歲)分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在[20,30),[30,40),[40,50)范圍內(nèi)的人員中,按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機選取3人進行座談,用ξ表示年齡在[30,40)范圍內(nèi)的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若將樣本的頻率視作概率,記X表示用隨機抽樣的方法從該地區(qū)抽取20名市民進行調(diào)查,其中年齡在[30,50)范圍內(nèi)的人數(shù).當(dāng)P(X=k)(k=0,1,2,…,20)最大時,求k的值.解析 (1)按分層抽樣的方法抽取的8人中,年齡在[20,30)范圍內(nèi)的人數(shù)為×8=1,年齡在[30,40)范圍內(nèi)的人數(shù)為×8=2,年齡在[40,50)范圍內(nèi)的人數(shù)為×8=5,∴ξ的取值為0,1,2,且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.∴ξ的分布列為ξ012P則E(ξ)=0×+1×+2×=.(6分)(2)由題意知,X服從二項分布,由頻率分布直方圖可知,年齡在[30,50)范圍內(nèi)的頻率為(0.010+0.025)×10=0.35,則X~B(20,0.35),且P(X=k)=(0.35)k(1-0.35)20-k(k=0,1,2,3,…,20).設(shè)t===.若t>1,則k<7.35,P(X=k)>P(X=k-1);若t<1,則k>7.35,P(X=k)
