§11.4　抽樣方法與總體分布的估計基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　隨機(jī)抽樣1.在簡單隨機(jī)抽樣中,某一個個體被抽到的可能性(　　)A.與第n次有關(guān),第一次可能性最大B.與第n次有關(guān),第一次可能性最小C.與第n次無關(guān),與抽取的第幾個樣本有關(guān)D.與第n次無關(guān),每次可能性相等答案　D2.某單位員工按年齡分為A,B,C三組,其人數(shù)之比為5∶4∶1,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,已知C組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該單位員工總數(shù)為(　　)A.110　　B.100　　C.900　　D.800答案　B3.福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03,…,32,33這33個兩位號碼中選取,小明利用如下所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個號碼,選取方法是從第1行第9列的數(shù)字開始,從左到右依次讀取數(shù)據(jù)(相同號碼數(shù)只算一次),則第四個被選中的紅色球的號碼為(　　)81472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A.12　　B.33　　C.06　　D.16答案　C4.一個單位共有職工200人,其中不超過45歲的有120人,超過45歲的有80人.為了調(diào)查職工的健康狀況,用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本,應(yīng)抽取超過45 歲的職工　　　　人.?答案　10考點二　用樣本估計總體5.(多選題)“科技引領(lǐng),布局未來”科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動力量.2007—2018年,某企業(yè)連續(xù)12年累計研發(fā)投入達(dá)4100億元,我們將研發(fā)投入與經(jīng)營投入的比值記為研發(fā)投入占營收比,這12年間的研發(fā)投入(單位:十億元)用圖中的條形圖表示,研發(fā)投入占營收比用圖中的折線圖表示.根據(jù)折線圖和條形圖,下列結(jié)論正確的有(　　)A.2012年至2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2017年至2018年研發(fā)投入占營收比增量大B.2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016年研發(fā)投入增量小C.該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入逐年增加D.該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入占營收比逐年增加答案　ABC6.甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示,則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是(　　)A.極差　　B.方差　　C.平均數(shù)　　D.中位數(shù)答案　C7.為比較甲、乙兩地某月11時的氣溫情況,隨機(jī)選取該月5天11時的氣溫數(shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖,已知甲地該月5天11時的平均氣溫比乙地該月5天11時的平均氣溫高1℃,則甲地該月5天11時的氣溫數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　) 甲乙9　826　8　92　m　031　1A.2　　B.　　C.10　　D.答案　B8.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于100的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值(都在區(qū)間[90,110]內(nèi)),將這些數(shù)據(jù)分成4組:[90,95),[95,100),[100,105),[105,110],得到如下兩幅頻率分布直方圖:已知這兩種配方生產(chǎn)的產(chǎn)品利潤y(單位:百元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=若以上面數(shù)據(jù)的頻率作為概率,分別從用A配方和B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,且抽取這兩件產(chǎn)品相互獨立,則抽得的這兩件產(chǎn)品利潤之和為0的概率為(　　)A.0.125　　B.0.195　　C.0.215　　D.0.235答案　B9.某高二(1)班一次階段性考試數(shù)學(xué)成績的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分如圖,根據(jù)圖中的信息,可確定被抽測的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為(　　)A.20,2　　B.24,4　　C.25,2　　D.25,4 答案　C10.若數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)=5,方差s2=2,則數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均數(shù)和方差分別為(　　)A.5,2　　B.16,2　　C.16,18　　D.16,9答案　C[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一　隨機(jī)抽樣1.(2020云南名校10月高考適應(yīng)性月考,3)某學(xué)校為了解1000名新生的近視情況,將這些學(xué)生編號為000,001,002,…,999,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取100名學(xué)生進(jìn)行檢查,若036號學(xué)生被抽到,則下面4名學(xué)生中被抽到的是(　　)A.008號學(xué)生　　B.200號學(xué)生　　C.616號學(xué)生　　D.815號學(xué)生答案　C　由題意得抽樣間隔為=10,因為036號學(xué)生被抽到,所以被抽中的初始編號為006號,之后被抽到的編號均是10的整數(shù)倍與6的和,故選C.2.(2019河南新鄉(xiāng)模擬,4)某機(jī)構(gòu)對青年觀眾是否喜歡跨年晚會進(jìn)行了調(diào)查,人數(shù)如下表所示:不喜歡喜歡男性青年觀眾3010女性青年觀眾3050現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取n人做進(jìn)一步的調(diào)研,若在“不喜歡”的男性青年觀眾中抽取了6人,則n=(　　)A.12　　B.16　　C.24　　D.32答案　C　由分層抽樣的性質(zhì)得=,解得n=24.故選C.3.利用系統(tǒng)抽樣法從編號分別為1,2,3,…,80的80件不同產(chǎn)品中抽取一個容量為16的樣本,如果抽出的產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號為13,則抽到產(chǎn)品的最大編號為(　　) A.73　　B.78　　C.77　　D.76答案　B　樣本的分段間隔為=5,所以13號在第三組,則最大的編號為13+(16-3)×5=78.(類似于等差數(shù)列中的第16項的求法)考點二　用樣本估計總體1.(2020四川雙流中學(xué)10月月考,4)一個頻數(shù)分布表(樣本容量為30)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)上的頻率為0.8,則估計樣本[40,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為(　　)分組[10,20)[20,30)[30,40)頻數(shù)345A.14　　B.15　　C.16　　D.17答案　B　本題考查頻數(shù)的求法,涉及頻率分布表等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)與方程思想,屬于基礎(chǔ)題.由于一個頻數(shù)分布表(樣本容量為30)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)上的頻率為0.8,所以樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)上的頻數(shù)為30×0.8=24,故估計樣本在[40,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為24-4-5=15.故選B.2.(2018河北承德期末,3)某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位:℃)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系,根據(jù)折線圖,下列結(jié)論錯誤的是(　　)A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C.月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月 D.最低氣溫低于0℃的月份有4個答案　D　在A中,最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān),故A正確;在B中,10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫,故B正確;在C中,月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月,故C正確;在D中,最低氣溫低于0℃的月份有3個,故D錯誤.故選D.3.(2018安徽馬鞍山第一次教學(xué)質(zhì)量檢測,13)已知樣本容量為200,在樣本的頻率分布直方圖中,共有n個小矩形,若中間一個小矩形的面積等于其余(n-1)個小矩形面積和的,則該組的頻數(shù)為　　　　.?答案　50解析　設(shè)除中間一個小矩形外的(n-1)個小矩形面積的和為S,則中間一個小矩形面積為S,∴S+S=1,解得S=,∴中間一個小矩形的面積等于S=,故該組的頻數(shù)為200×=50.4.(2020河南洛陽尖子生第一次聯(lián)合考試,13)已知樣本x1,x2,…,x2019的平均數(shù)和方差分別是1和4,若yi=axi+b(i=1,2,…,2019)的平均數(shù)和方差也是1和4,則ab=　　　　.?答案　1解析　因為x1,x2,…,x2019的平均數(shù)為1,所以yi=axi+b(i=1,2,…,2019)的平均數(shù)為a×1+b=1.因為x1,x2,…,x2019的方差為4,所以yi=axi+b(i=1,2,…,2019)的方差為4a2=4.所以解得或所以ab=1.導(dǎo)師點睛　本題考查平均數(shù)與方差的線性變換,難度一般.已知x1,x2,…,xn的平均數(shù)與方差為A與B,那么yi=axi+b(i=1,2,…,n)的平均數(shù)與方差為aA+b與a2B. 綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　頻率分布直方圖的應(yīng)用1.(2020福建畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試)某市為了解居民用水情況,通過抽樣得到部分家庭月均用水量的數(shù)據(jù),制出頻率分布直方圖(如圖).若以頻率代替概率,從該市隨機(jī)抽取5個家庭,則月均用水量在8~12噸的家庭個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為(　　)A.3.6　　B.3　　C.1.6　　D.1.5答案　B2.(2020廣東廣州階段訓(xùn)練)某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的情況,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了80個零件進(jìn)行測量,根據(jù)所測量的零件尺寸(單位:mm),得到如下的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這80個零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.01);(2)已知尺寸在[63.0,64.5)內(nèi)的零件為一等品,否則為二等品,將這80個零件尺寸的樣本頻率視為概率,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取1個零件,試估計所抽取的零件是二等品的概率.3.(2019安徽六安第二中學(xué)聯(lián)考,19)每年5月到7月是芒果的成熟季節(jié).某大學(xué)校內(nèi)種植了很多食用芒果樹.據(jù)該校后勤處負(fù)責(zé)人介紹,他們校內(nèi)的芒果種植過程中沒有使用過農(nóng)藥, 也沒有路邊那種綠化芒的污染,可以放心食用.2018年該校的芒果也迎來了大豐收.6月25日,該校南北校區(qū)集中采摘芒果,并將采摘到的芒果免費派送給學(xué)校師生.現(xiàn)隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分布在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400)(單位:克)內(nèi),經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.(1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量在[250,300),[300,350)內(nèi)的芒果中隨機(jī)抽取9個,再從這9個中隨機(jī)抽取3個,記隨機(jī)變量X表示質(zhì)量在[300,350)內(nèi)的芒果個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率,假如你是經(jīng)銷商去收購芒果,該校當(dāng)時還未摘下的芒果大約還有10000個,現(xiàn)提供如下兩種收購方案:A:所有芒果以10元/千克收購;B:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,高于或等于250克的以3元/個收購.通過計算確定你會選擇哪種方案.4.(2020山東濰坊臨朐綜合模擬,20)“過元宵節(jié),吃元宵”是我國過元宵節(jié)的一大習(xí)俗.2019年元宵節(jié)前夕,北方一城市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的元宵,檢測其某項質(zhì)量指標(biāo)值,所得頻率分布直方圖如下:(1)求所抽取的100包元宵該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)①由直方圖可以認(rèn)為,元宵的該項質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),利用該正態(tài)分布求Z 落在(14.55,38.45]內(nèi)的概率;②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的元宵,記這4包元宵中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X,求X的分布列和均值.附:計算得所抽查的這100包元宵的質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差σ≈11.95;若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.考法二　樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用5.(2019上海浦東期中教學(xué)質(zhì)量檢測(二模),10)已知6個正整數(shù),它們的平均數(shù)是5,中位數(shù)是4,唯一眾數(shù)是3,則這6個數(shù)方差的最大值為　　　　.(精確到小數(shù)點后一位)?答案　12.36.(2020河北邯鄲空中課堂備考檢測)某小型水庫的管理部門為研究庫區(qū)水量的變化情況,決定安排兩個小組在同一年中各自進(jìn)行觀察研究.其中一個小組研究水源涵養(yǎng)情況,他們通過觀察入庫的若干小溪和降雨量等因素,隨機(jī)記錄了100天的日入庫水量數(shù)據(jù)(單位:千立方米),得到下面的條形圖(如圖甲),另一小組研究由于放水、蒸發(fā)或滲漏造成的水量消失情況,他們通過觀察與水庫相連的特殊小泥塘的水面下降情況來研究庫區(qū)水的整體消失量,隨機(jī)記錄了100天的庫區(qū)日消失水量數(shù)據(jù)(單位:千立方米),并將觀測數(shù)據(jù)整理成頻率分布直方圖(如圖乙).圖甲圖乙 (1)據(jù)此估計這一年中日消失水量的平均值;(2)以頻率作為概率,試解決如下問題:①分別估計日流入水量不少于20千立方米和日消失水量不多于20千立方米的概率;②試估計經(jīng)過一年后,該水庫的水量是增加了還是減少了,變化的量是多少?(一年按365天計算)[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一　頻率分布直方圖的應(yīng)用1.(2018陜西榆林第二中學(xué)模擬,13)某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在學(xué)科教輔書方面的支出情況,抽出了一個容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出的錢數(shù)在[30,40)的同學(xué)比支出的錢數(shù)在[10,20)的同學(xué)多26人,則n的值為　　　　.?答案　100解析　由頻率分布直方圖可得支出的錢數(shù)在[30,40)的同學(xué)有0.038×10n=0.38n個,支出的錢數(shù)在[10,20)的同學(xué)有0.012×10n=0.12n個,又支出的錢數(shù)在[30,40)的同學(xué)比支出的錢數(shù)在[10,20)的同學(xué)多26人,所以0.38n-0.12n=0.26n=26,∴n=100.2.(2018江西新余二模,18)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認(rèn)知程度,對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽,滿分為100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人,按年齡分成5組,第一組:[20,25),第二組:[25,30),第三組:[30,35),第四組:[35,40),第五組:[40,45), 得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知第一組有6人.(1)求x;(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個體戶,五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分別記為1~5組,從這5個按年齡分的組和5個按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽,分別代表相應(yīng)組的成績,年齡組中1~5組的成績分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中1~5組的成績分別為93,98,94,95,90.(i)分別求5個年齡組和5個職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差;(ii)以上述數(shù)據(jù)為依據(jù),評價5個年齡組和5個職業(yè)組對“一帶一路”的認(rèn)知程度,并談?wù)勀愕母邢?解析　(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組的頻率為0.01×5=0.05,∴=0.05,∴x=120.(2)設(shè)中位數(shù)為a,則0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,∴a=≈32,則中位數(shù)為32.(3)(i)5個年齡組成績的平均數(shù)為=×(93+96+97+94+90)=94,方差為=×[(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6.5個職業(yè)組成績的平均數(shù)為=×(93+98+94+95+90)=94,方差為=×[(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8.(ii)從平均數(shù)來看兩組的認(rèn)知程度相同,從方差來看年齡組的認(rèn)知程度更穩(wěn)定.(感想合理即可) 考法二　樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用1.(2017廣東廣雅中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)考,4)某市重點中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人,分為兩個小組,在一次階段性考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示,其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88,乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89,則m+n的值是(　　)甲組乙組8796　4　883　n　85　m　292　2　5A.10　　B.11　　C.12　　D.13答案　C　∵甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88,∴由莖葉圖可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7,∴m=3,∵乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89,∴n=9,∴m+n=12.故選C.2.(2018湖南衡陽二模,4)已知樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,樣本y1,y2,…,ym的平均數(shù)為y(x≠y),若樣本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均數(shù)z=ax+(1-a)y,其中0m答案　C　由題意得z=(nx+my)=x+y,∴a=,∵02 C.>4,s2<2　　D.>4,s2>2答案　A　∵某7個數(shù)的平均數(shù)為4,∴這7個數(shù)的和為4×7=28.∵加入一個新數(shù)據(jù)4,∴==4.又∵這7個數(shù)的方差為2,且加入一個新數(shù)據(jù)4,∴這8個數(shù)的方差s2==<2,故選A.4.(2018河北石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測(二),9)某學(xué)校A、B兩個班的興趣小組在一次對抗賽中的成績?nèi)缜o葉圖所示,通過莖葉圖比較兩個班興趣小組成績的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差.①A班興趣小組的平均成績高于B班興趣小組的平均成績;②B班興趣小組的平均成績高于A班興趣小組的平均成績;③A班興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于B班興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差;④B班興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于A班興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差.其中正確結(jié)論的編號為(　　)A.①④　　B.②③　　C.②④　　D.①③答案　A　A班興趣小組的平均成績?yōu)?78,其方差為×[(53-78)2+(62-78)2+…+(95-78)2]=121.6,則其標(biāo)準(zhǔn)差為≈11.03;B班興趣小組的平均成績?yōu)?66,其方差為×[(45-66)2+(48-66)2+…+(91-66)2]=175.2,則其標(biāo)準(zhǔn)差為≈13.23.故選A.