模塊卷(二)時間:120分鐘 分值:150分集合、常用邏輯用語、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2020課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=( )A.-4 B.-2 C.2 D.4答案 B 由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=,又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-=1,∴a=-2.故選B.2.命題“?n∈N*,?x0∈R,使得n2
0 B.y=|x+1|C.y=10-x D.y=x+答案 C 本題考查函數(shù)的定義域與值域,考查學(xué)生靈活運用函數(shù)的三要素解決問題的能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).函數(shù)y=的定義域是R,值域是(0,+∞).對于A選項,函數(shù)y=x2+2x,x>0的定義域與值域都是(0,+∞),故A選項不符合題意;對于B選項,函數(shù)y=|x+1|的定義域是R,值域是[0,+∞),故B選項不符合題意;對于C選項,函數(shù)y=10-x的定義域是R,值域是(0,+∞),故C選項符合題意;對于D選項,函數(shù)y=x+的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),值域為(-∞,-2]∪[2,+∞),故D選項不符合題意.故選C.5.(2021屆浙江五校聯(lián)考)設(shè)A、B、C三點不共線,則“與的夾角是鈍角”是“|+|<||”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 C 設(shè)與的夾角是θ,||=c,||=b,||=a,已知A、B、C三點不共線,則“|+|<||”?c2+b2+2bccosθ-的解集為( )A.(0,ln2) B.(-∞,ln2)C.(-∞,ln3) D.(0,ln3)答案 C 函數(shù)f(x)=+a的定義域為R,因為f(x)為奇函數(shù),所以有f(0)=+a=0,解得a=-,則f(x)=-.由y=ex+1為增函數(shù),得f(x)=-在R上為減函數(shù),且f(ln3)=-=-,則f(x)>-?f(x)>f(ln3)?x0,a>b,則,則ab>b2D.若a>b>0,c>d>0,則ac>bd>0答案 ABD ab>0,則>0,又因為a>b,所以<,故A正確.a,b∈R,a(a-b)-(a-2b)b=a2-ab-ab+2b2=(a-b)2+b2≥0,即a(a-b)≥(a-2b)b,故B正確.>,當(dāng)a=1,b=0時,ab=b2,故C不正確.若a>b>0,c>d>0,則ac>bd>0,D正確.故選ABD.10.(2021屆廣東珠海一中模擬)已知f(x)是可導(dǎo)的函數(shù),且f'(x)ef(0),f(1)>e2f(-1)C.f(1)ef(0),f(2020)>e2020f(0)答案 AC 設(shè)g(x)=,則g'(x)=,∵f'(x)e2+2D.若f(x-1)0時,f(x)=ex+e-x+x,f'(x)=ex-e-x+1>0,所以函數(shù)f(x)為增函數(shù),故選項B正確;當(dāng)x>0時,由基本不等式得x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立,又f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以f≥f(2)=e2+e-2+2>e2+2,又函數(shù)y=x+為奇函數(shù),當(dāng)x<0時,-x-≥2,f=-f>e2+2,綜上,當(dāng)x≠0時,f>e2+2,故選項C正確;因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以由f(x-1)0的解集為(m,1),則m+a= .?答案 -解析 本題考查一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系,考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由不等式ax2+x+1>0的解集為(m,1),得x=1是方程ax2+x+1=0的根,即a+1+1=0,解得a=-2,
則不等式為-2x2+x+1>0,解得-0,解得mx-e對x∈(0,+∞)恒成立,則m的取值范圍為 .?答案 1;(-∞,2e)
解析 根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x(aex-e-x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),即(-x)(ae-x-ex)=x(aex-e-x),變形可得a=1,則f(x)=x(ex-e-x),g(x)=f(x)+xe-x=xex,g(x)>mx-e對x∈(0,+∞)恒成立,即xex>mx-e對x∈(0,+∞)恒成立,又由x∈(0,+∞),變形可得m0,其導(dǎo)數(shù)h'(x)=ex-,在區(qū)間(0,1)上,h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上,h'(x)>0,h(x)為增函數(shù),則在區(qū)間(0,+∞)上,h(x)≥h(1)=2e,若m0,∴a2+2>a.∴B={x|a1時,3a-1>2,A={x|20,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.若a<0,則當(dāng)x∈時,f'(x)>0;當(dāng)x∈時,f'(x)<0,
故f(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知,當(dāng)a<0時,f(x)在x=-取得最大值,最大值為f=ln-1-.所以f(x)≤--2等價于ln-1-≤--2,即ln++1≤0.設(shè)g(x)=lnx-x+1,則g'(x)=-1.當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時,g(x)取得最大值,最大值為g(1)=0.所以當(dāng)x>0時,g(x)≤0.從而當(dāng)a<0時,ln++1≤0,即f(x)≤--2.19.(2020北京東城一模,19)已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,其中a為常數(shù),設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)a=-1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在區(qū)間(1,e)上的最大值為-3,求a的值;(3)若不等式f(x)≤x恒成立,求a的取值范圍.解析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、恒成立問題,考查學(xué)生解決問題的能力,滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=-x+lnx,則f'(x)=-1+,∴k=f'(1)=0,又f(1)=-1,∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-(-1)=0,即y=-1.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=a+=,若a≥0,f'(x)>0,f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,無最大值.若a<0,當(dāng)00,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>-時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
函數(shù)f(x)在(1,e)上取得最大值-3,則1<-0),則g'(x)=(x>0),令g'(x)=0,解得x=e.故當(dāng)0e時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴g(x)min=g(e)=1-,∴a≤1-.20.(2020浙江杭州期末,19)已知函數(shù)f(x)=x2+k|x-1|-2.(1)當(dāng)k=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若k≤-2,試判斷方程f(x)=-1的根的個數(shù).解析 本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,考查方程根的個數(shù),分類討論是關(guān)鍵,屬于中檔題.(1)k=1時,f(x)=x2+|x-1|-2=因為y=x2+x-3在[1,+∞)上單調(diào)遞增,且y=x2-x-1在上單調(diào)遞增,f(x)的圖象在(-∞,+∞)上連續(xù),所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)顯然,x=1為方程f(x)=-1的根.當(dāng)x>1時,由f(x)=-1得x2+kx-k-1=0,即(x-1)(x+1+k)=0,解得x=-1-k;當(dāng)x<1時,由f(x)=-1得x2-kx+k-1=0,即(x-1)(x+1-k)=0,解得x=k-1.因為當(dāng)k<-2時,所以此時方程有三個不等實根:k-1,1,-k-1;
當(dāng)k=-2時,所以此時方程有兩個不等實根:k-1,1.21.(2021屆天津南開中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).(1)當(dāng)a=2時,求f(x)的圖象在x=1處的切線方程;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在上有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍.解析 (1)當(dāng)a=2時,f(x)=2lnx-x2+2x,所以f'(x)=-2x+2,切點坐標(biāo)為(1,1),所以切線的斜率k=f'(1)=2,則切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2lnx-x2+m,則g'(x)=-2x=.因為x∈,所以當(dāng)g'(x)=0時,x=1.當(dāng)0;當(dāng)10,則-x<0,所以f(-x)=-x-log2+1,所以f(x)=-f(-x)=x+log2-1=x+log2(2x+1)-1.又0-log2+1=0,所以f(x)=(2)存在.化簡得f(x)=當(dāng)x=0時,0+log2(20+1)-1=0滿足,所以當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x+log2(2x+1)-1,所以g(x)=+m·2x-2m=+m·2x-2m=2x·(2x+1)+m·2x-2m=(2x)2+(m+1)2x-2m,令t=2x,t∈[1,2],所以h(t)=t2+(m+1)t-2m,所以函數(shù)g(x)在x∈[0,1]上的最小值為即函數(shù)h(t)在[1,2]上的最小值為,又函數(shù)h(t)的圖象的對稱軸為直線t=-,當(dāng)-<1,即m>-3時,函數(shù)h(t)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),所以h(t)min=h(1)=2-m=,解得m=.
當(dāng)1≤-≤2,即-5≤m≤-3時,h(t)min==,化簡得m2+10m+2=0,解得m=-5+或m=-5-.因為-5+>-3,-5-<-5,所以此時m∈?.當(dāng)->2,即m<-5時,函數(shù)h(t)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),所以h(t)min=h(2)=6≠,故m∈?.綜上所述,存在實數(shù)m=,使得g(x)的最小值為.
