模塊卷(一)時間:120分鐘 分值:145分集合、常用邏輯用語、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式一、選擇題:本題共7小題,每小題5分,共35分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2020浙江嘉興期末,3)設(shè)曲線y=在點(1,-2)處的切線與直線ax+by+c=0垂直,則=( )A. B.- C.3 D.-3答案 B y'==,y'|x=1=-3,因為曲線y=在點(1,-2)處的切線與直線ax+by+c=0垂直,所以(-3)·=-1,解得=-,故選B.2.(2020新疆昌吉期中,6)若a>0,b>0,a+2b=3,則+的最小值為( )A.5 B.6 C.8 D.9答案 D 本題考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).∵a>0,b>0,a+2b=3,∴+=(a+2b)=≥×=9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b=1時取等號,所以+的最小值為9.故選D.3.(2019天津耀華中學(xué)一模,2)已知f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=sin
x,則f+f(1)+f(2)=( )A.-2- B.-1- C.- D.1-答案 C ∵f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),∴f(0)=0,f(1)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,∴f+f(1)+f(2)=-f+f(1)+f(0)=-f+0+0=-sin=-.4.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,則“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案 C (1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,(i)若k為奇數(shù),則k=2n+1,n∈Z,此時α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;(ii)若k為偶數(shù),則k=2n,n∈Z,此時α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由(i)(ii)知,充分性成立.(2)必要性:若sinα=sinβ成立,則角α與β的終邊重合或角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故選C.5.(2017山東文,9,5分)設(shè)f(x)=若f(a)=f(a+1),則f=( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 C 本題考查分段函數(shù)與函數(shù)值的計算.解法一:當(dāng)0
1,∴f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得=2a,∴a=.此時
f=f(4)=2×(4-1)=6.當(dāng)a≥1時,a+1>1,∴f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,無解.綜上,f=6,故選C.解法二:∵當(dāng)00),則at2+at+3a-6≥0對t>0恒成立,所以a≥,又<=2,所以a≥2.故選A.7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( )A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]答案 D ∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱,又∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴f(x-1)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上也單調(diào)遞減,且過(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致圖象如圖:當(dāng)-1≤x≤0時,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;當(dāng)1≤x≤3時,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.
綜上,滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].故選D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.8.(2020山東百師聯(lián)盟測試五,11)常數(shù)a≠0,下列有關(guān)方程x3+x2-x-a=0的根的說法正確的是( )A.可以有三個負(fù)根B.可以有兩個負(fù)根和一個正根C.可以有兩個正根和一個負(fù)根D.可以有三個正根答案 BC 方程x3+x2-x-a=0可化為x3+x2-x=a.令函數(shù)f(x)=x3+x2-x,則f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1).當(dāng)x<-1或x>時,f'(x)>0,當(dāng)-10,f<0,作出f(x)的圖象如圖,從而方程x3+x2-x-a=0可以有兩個正根和一個負(fù)根,也可以有兩個負(fù)根和一個正根,但不會有三個負(fù)根,也不會有三個正根.故選BC.9.(多選題)(2020山東棗莊、滕州期末)如圖所示,一座小島距離海岸線上最近的P點的距離是2km,從P點沿海岸正東12km處有一個城鎮(zhèn).假設(shè)一個人駕駛的小船的平均速度為3km/h,步行的速度為5km/h,時間t(單位:h)表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間,x(單位:km)表示此人將船停在海岸處距P點的距離.設(shè)u=+x,v=-x,則( )A.函數(shù)v=f(u)為減函數(shù)
B.15t-u-4v=32C.當(dāng)x=1.5時,此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少D.當(dāng)x=4時,此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3h答案 AC A.∵u=+x,v=-x,∴=,x=,uv=4,易知v=在(0,+∞)上是減函數(shù),A正確.B.t=+=+-,整理得15t=u+4v+36,B錯誤;C.由A、B得15t=u++36≥2+36=44,當(dāng)且僅當(dāng)u=,即u=4時取等號,由+x=4,解得x==1.5,C正確;D.x=4時,t=+,t-3=-==>0,t>3,D錯誤.故選AC.10.(2020山東夏季高考模擬,12)函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+1)與f(x+2)都為奇函數(shù),則( )A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為周期函數(shù)C.f(x+3)為奇函數(shù) D.f(x+4)為偶函數(shù)答案 ABC 本題主要考查函數(shù)的奇偶性,周期性,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).∵f(x+1)為奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1),∴f(-x)=-f(x+2),又∵f(x+2)為奇函數(shù),∴f(-x+2)=-f(x+2),∴f(-x)=-f(x+4),∴-f(x+2)=-f(x+4),∴f(x+2)=f(x+4),即f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期為2的奇函數(shù),∴f(x+4)是奇函數(shù).由于f(x)的周期為2,且f(x+1)是奇函數(shù),
∴f(x+3)=f(x+1)是奇函數(shù),故A,B,C均正確.11.(多選題)(2020海南調(diào)研測試,12)已知函數(shù)f(x)=x+sinx-xcosx的定義域為[-2π,2π),則( )A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)在[0,π)上單調(diào)遞增C.f(x)恰有4個極大值點 D.f(x)有且僅有4個極值點答案 BD 因為f(x)的定義域為[-2π,2π),所以f(x)是非奇非偶函數(shù).f'(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)=1+xsinx,當(dāng)x∈[0,π)時,f'(x)>0,則f(x)在[0,π)上單調(diào)遞增,顯然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sinx=-,分別作出y=sinx,y=-在區(qū)間[-2π,2π)上的圖象,由圖可知,這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間[-2π,2π)上共有4個公共點,且兩圖象在這些公共點上都不相切,故f(x)在區(qū)間[-2π,2π)上的極值點的個數(shù)為4,且f(x)只有2個極大值點,故選BD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.12.(2020浙江“七彩陽光”聯(lián)盟4月?？?11)集合A={x|-1≤x≤2},B={x|10,b>0,且ab=1,則++的最小值為 .?答案 4
解析 ++=+=+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即(a+b)2=16,也即a+b=4時取等號.又∵ab=1,∴或時取等號,∴++的最小值為4.14.(2020浙江嘉興二模,16)已知函數(shù)f(x)=若f(f(a))≤0,則實數(shù)a的取值范圍為 .?答案 [-log23,0]∪解析 本題考查分段函數(shù)和不等式的求解,屬于基礎(chǔ)題.令f(x)≤0,即或解得00時,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上沒有零點,∴a>0.當(dāng)0時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),∴x>0時,f(x)有極小值,為f=-+1.
∵f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個零點,∴f=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,則f'(x)=6x(x-1).x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)+-f(x)-4增1減0∴f(x)在[-1,1]上的最大值為1,最小值為-4.∴最大值與最小值的和為-3.四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.(10分)(2019安徽黃山模擬,18)已知函數(shù)f(x)=log2.(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),求a的值;(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù),求a的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值的差不小于2,求實數(shù)a的取值范圍.解析 (1)因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,求得a=0.(2分)當(dāng)a=0時,f(x)=-x是R上的奇函數(shù).所以a=0為所求.(4分)(2)因為函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù),所以+a>0恒成立.即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),(6分)故只要a≥0即可.(7分)(3)由已知得函數(shù)f(x)是減函數(shù),故f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.(8分)
由題設(shè)得log2(1+a)-log2≥2?(11分)故-0時,x=>0,當(dāng)∈(0,2),即a>時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故最小值g(a)=f=1-a-;當(dāng)∈[2,+∞),即00),則方程變形為t2-at+2=0,根據(jù)題意得,原方程4x-a·2x+2=0有正實數(shù)根,即關(guān)于t的一元二次方程t2-at+2=0有大于1的實數(shù)根,而方程t2-at+2=0?+t=a在(1,+∞)上有實根,
令F(t)=+t,t∈(1,+∞),則F(t)在(1,+∞)上的值域為[2,+∞),故a∈[2,+∞).19.(12分)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)00,則當(dāng)x∈(-∞,0)∪時,f'(x)>0;當(dāng)x∈時,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;若a=0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增;若a<0,則當(dāng)x∈∪(0,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈時,f'(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(2)當(dāng)00時,h(t)∈[h(λ),+∞),所求值域為[2-λ2,+∞).(9分)(3)g(x)的定義域為R.因為f(x)=ex-為奇函數(shù),
所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x),所以g(x)=f(x)-2x為奇函數(shù),所以g(x3+1)+g(1-3x2)<0等價于g(x3+1)0,設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)|,g(x)在[-1,1]上的最大值不小于3,求a的取值范圍.解析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生解決問題的能力,滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)f'(x)=6x2-2ax,由f'(0)=0,f(0)=2,得曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2.(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),令f'(x)=0,解得x1=0,x2=,若a=0,則f'(x)=6x2≥0,f(x)在R上單調(diào)遞增;若a>0,當(dāng)x<0時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)0時,f'(x)>0,f(x)
單調(diào)遞增;若a<0,當(dāng)x<時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)0時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.(3)若a>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),.當(dāng)≥1,即a≥3時,f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,在[0,1]上單調(diào)遞減,則g(x)max=max{|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|}=max{a,2,|4-a|}≥3,則a≥3;當(dāng)0<<1,即00,則g(x)max=max{|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|}=max{a,2,4-a},若g(x)max≥3,則4-a≥3,解得a≤1,又0
