模塊卷(一)時間:120分鐘 分值:150分三角函數、向量、數列一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2020貴州貴陽一中9月月考,5)在等差數列{an}中,an≠0(n∈N*),角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸非負半軸重合,終邊經過點(a2,a1+a3),則=( )A.5 B.4 C.3 D.2答案 B 由三角函數定義可知,tanα=,又知數列{an}為等差數列,an≠0,∴a1+a3=2a2,∴tanα=2,則===4.2.(2020廣東佛山一中9月月考,8)已知α,β為銳角,且tanα=,cos(α+β)=,則cos2β=( )A. B. C. D.答案 C ∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.∵tanα=,∴sinα=,cosα=.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=,∴cos2β=2cos2β-1=2×-1=,故選C.
3.(2019湖南衡陽高中畢業(yè)班聯考(二),4)將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度,再將所得函數圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的,得到函數g(x)=Asin(ωx+φ)的圖象.已知函數g(x)的部分圖象如圖所示,則函數f(x)( )A.最小正周期為π,最大值為2B.最小正周期為π,圖象關于點中心對稱C.最小正周期為π,圖象關于直線x=對稱D.最小正周期為π,在區(qū)間上單調遞減答案 D 對于g(x),由題圖可知,A=2,T=4=,又∵ω>0,∴ω==3.則g(x)=2sin(3x+φ),又由g=2可得2sin=2,則+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,而|φ|<,∴φ=-.∴g(x)=2sin,∴f(x)=2sin.∴f(x)的最小正周期為π,選項A,C錯誤.對于選項B,令2x+=kπ(k∈Z),所以x=-,k∈Z,所以函數f(x)圖象的對稱中心為(k∈Z),所以選項B是錯誤的.當x∈時,2x+∈,所以f(x)在上是減函數,所以選項D正確.故選D.
4.(2018千校聯盟12月模擬,10)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若c=b(cosA+cosB),則△ABC為( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案 D 由正弦定理得sinC=sinB(cosA+cosB),即sin(A+B)=sinB(cosA+cosB),也即sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinBcosB,所以(sinA-sinB)cosB=0,所以cosB=0或sinA=sinB,所以B=或A=B.故△ABC為直角三角形或等腰三角形,故選D.5.(2019山東濟寧模擬,8)設數列{an}滿足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),則a18=( )A. B. C.3 D.答案 B 令bn=nan,則由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),得2bn=bn-1+bn+1(n≥2且n∈N*),∴數列{bn}構成以1為首項,以2a2-a1=3為公差的等差數列,則bn=1+3(n-1)=3n-2,即nan=3n-2,∴an=,∴a18==.故選B.6.(2020九師聯盟,6)已知{an}是正項等比數列,{bn}是等差數列,且a4=b5,則( )A.a2+a6≥b3+b7 B.a2+a6≤b3+b7C.a2+a6≠b3+b7 D.a2+a6=b3+b7答案 A ∵{an}是正項等比數列,{bn}是等差數列,a4=b5,∴由基本不等式可得,a2+a6≥2=2=2a4=2b5=b3+b7,故選A.解題關鍵 利用基本不等式得到a2+a6≥2是解答本題的關鍵.7.(2019湖南衡陽第八中學第二次月考,10)在等差數列{an}中,a1=21,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8時,Sn取得最大值,則d的取值范圍是( )
A. B.C. D.答案 C 根據題意,知Sn=21n+.∵當且僅當n=8時,Sn取得最大值,∴則解得∴d的取值范圍為.故選C.8.(2018遼寧六校協作體期中聯考,4)設非零向量a,b,下列四個條件中,使=成立的充分條件是( )A.a∥b B.a=2bC.a∥b且|a|=|b| D.a=-b答案 B 對于A,當a∥b時,與可能同向也可能反向,故A錯誤;對于B,當a=2b時,==,故B正確;對于C,當a∥b且|a|=|b|時,與可能同向也可能反向,故C錯誤;對于D,當a=-b時,=-≠,故D錯誤.綜上,選B.9.(2020貴州遵義摸底考試,6)已知向量a,b的夾角為60°,且|a|=|b|=2,則向量a-b在向量a方向上的投影為( )A.-1 B.1 C.2 D.3答案 B 設向量a-b與向量a的夾角為θ,則向量a-b在向量a方向上的投影為
|a-b|cosθ=|a-b|·====1,故選B.10.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分別為△ABC的重心和外心,且·=5,則△ABC的形狀是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.上述三種情況都有可能答案 B 在△ABC中,G,O分別為△ABC的重心和外心,取BC的中點D,連接AD,OD,OG,如圖所示,則OD⊥BC,GD=AD,=+,=(+),由·=5,得(+)·=·=-(+)·=5,即-(+)·(-)=5,故||2-||2=-30,又BC=5,∴||2=||2+||2>||2+||2,∴cosC<0,∴
0,∴an,an+1同號,又a1=,∴an>0,∵S10=(2a10-a9)+(2a9-a8)+…+(2a2-a1)+2a1-a10=(-)+(-)+…+(-)+2a1-a10=-+2a1-a10=+,又∵a10∈(0,1),∴S10∈,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2019山東煙臺調研,14)在△ABC中,點M,N滿足=2,=,若=x+y,則x+y= .?
答案 解析 =+=+=+(-)=-,又=x+y,所以x=,y=-,故x+y=-=.14.(2020四川南充高級中學摸底,14)函數y=cos(x+10°)+cos(x+70°)的最小值是 .?答案 -解析 y=cos(x+10°)+cos[(x+10°)+60°]=cos(x+10°)+cos(x+10°)cos60°-sin(x+10°)sin60°=cos(x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°)=cos(x+10°)-sin(x+10°)=sin[60°-(x+10°)]=sin(50°-x)=-sin(x-50°).∵x∈R,∴當x=140°+k·360°(k∈Z)時,函數取得最小值-.15.已知點A,B,C滿足||=3,||=4,||=5,則·+·+·的值為 .?答案 -25解析 解法一(定義法):由題意可知△ABC為直角三角形,且∠B=,cosA=,cosC=.∴·+·+·=·+·=4×5×cos(π-C)+5×3×cos(π-A)=-20cosC-15cosA=-20×-15×=-25.解法二(坐標法):易知∠ABC=90°.如圖,建立平面直角坐標系,則A(3,0),B(0,0),C(0,4).∴=(-3,0),=(0,4),=(3,-4),∴·=-3×0+0×4=0,·=0×3+4×(-4)=-16,·=-3×3
+0×(-4)=-9.∴·+·+·=-25.解法三(幾何意義法):易知∠ABC=90°.在方向上的投影為數量-||,在方向上的投影為數量-||,因此·=-=-16,·=-=-9,·=0,∴·+·+·=-25.解法四(性質法):易知∠ABC=90°.·+·+·=0+·(+)=·=-||2=-25.解法五(平方法):∵++=0,∴(++)2=0,∴+++2·+2·+2·=0.∴·+·+·=-(++)=-25.16.(2019湖南郴州第二次教學質量監(jiān)測,16)已知數列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=(n∈N*),若數列{an}為等比數列,且a1=2,a4=16,則數列的前n項和Sn= .?答案 解析 ∵{an}為等比數列,且a1=2,a4=16,∴公比q===2,∴an=2n,
∴a1a2a3…an=21×22×23×…×2n=21+2+3+…+n=.∵a1a2a3…an=,∴bn=,∴==2,∴的前n項和Sn=b1+b2+b3+…+bn=2=2=.三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(10分)(2020西南地區(qū)名校聯盟8月聯考,17)已知函數f(x)=sin2xcosφ+sin2xsinφ+cos+,其圖象過點.(1)求f(x)的解析式,并求其圖象的對稱中心;(2)將函數y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標擴大為原來的2倍,然后各點橫坐標保持不變,縱坐標擴大為原來的2倍,得到g(x)的圖象,求函數g(x)在上的最大值和最小值.解析 (1)f(x)=sin2xcosφ+sin2xsinφ-sinφ+=sin2xcosφ+×sinφ-sinφ+=sin2xcosφ-cos2xsinφ+
=sin(2x-φ)+.∵f(x)的圖象過點,∴sin+=1,即sin=1,∴-φ=2kπ+(k∈Z),∴φ=-2kπ-(k∈Z).∵-<φ<,∴φ=-.則f(x)=sin+,由2x+=kπ(k∈Z)得x=-(k∈Z),故其圖象的對稱中心為,k∈Z.(2)將y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標擴大為原來的2倍,所得圖象對應的函數解析式為y=sin+.又將所得圖象各點橫坐標保持不變,縱坐標擴大為原來的2倍,得到g(x)的圖象,則g(x)=sin+1.由x∈得x+∈,當x+=,即x=時,g(x)取最大值2;當x+=,即x=0時,g(x)取最小值.18.(12分)(2018河南中原名校聯盟第四次測評,19)在△ABC中,滿足⊥,M是BC的中點.(1)若||=||,求向量+2與向量2+的夾角的余弦值;(2)若O是線段AM上任意一點,且||=||=,求·+·的最小值.解析 (1)設向量+2與向量2+的夾角為θ,因為⊥,所以·=0,所以cosθ==,設||=||=a(a>0),則cosθ==.(5分)(2)∵||=||=,∴||=1,
設||=x(0≤x≤1),則||=1-x.(8分)因為+=2,所以·+·=·(+)=2·=2||·||cosπ=2x2-2x=2-.因為0≤x≤1,所以當且僅當x=時,·+·取最小值-.(12分)19.(12分)(2019上海浦東二模,18)已知向量m=(2sinωx,cos2ωx),n=(cosωx,1),其中ω>0,若函數f(x)=m·n的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sinB=sinA,求·的值.解析 (1)f(x)=m·n=sin2ωx+cos2ωx=2sin,∵f(x)的最小正周期為π,∴T==π,∴ω=1.(2)設△ABC中角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.∵f(B)=-2,∴2sin=-2,即sin=-1,解得B=.∵BC=,∴a=,∵sinB=sinA,∴b=a,∴b=3,由=得sinA=,∵0(m∈Z)對n∈N*恒成立,求m的最大值.解析 本題考查等差數列的概念;考查學生運算求解的能力;考查數學運算的核心素養(yǎng).(1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=nan-2n2+2n-[(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1)],化簡得(n-1)(an-an-1-4)=0,即an-an-1=4,所以數列{an}是等差數列,其首項為1,公差為4,所以an=4n-3,Sn==2n2-n.
(2)由(1)知=2n-1,所以S1++…+=1+3+…+2n-1=n2,令f(n)=n2+2n,可知f(n)單調遞增,f(10)=102+210=1124,故存在唯一的自然數n=10符合要求.(3)由(1)知cn==,所以Tn==·,注意到Tn=單調遞增,所以Tn≥T1=,所以<,解得m<8(m∈Z).所以m的最大值為7.
