綜合測(cè)試卷(四)時(shí)間:120分鐘 分值:150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2020山東濰坊模擬)已知集合A={x|x2-1≥0},B={y|y=ex},則A∩B=( )A.(0,+∞) B.(-∞,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)答案 C 因?yàn)閤2-1≥0,所以x≥1或x≤-1,所以A=(-∞,-1]∪[1,+∞).又因?yàn)閥=ex>0,所以B=(0,+∞),所以A∩B=[1,+∞),故選C.2.(2018安徽馬鞍山二模,3)已知復(fù)數(shù)z滿足zi=3+4i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 D 由zi=3+4i,得z===4-3i,∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,-3),該點(diǎn)位于第四象限.故選D.3.(2020陜西漢中重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考,7)若log2x+log4y=1,則( )A.x2y=2 B.x2y=4 C.xy2=2 D.xy2=4答案 B log2x+log4y=log2x+log2y=log2x+log2=log2(x)=1,所以x=2,兩邊平方得x2y=4.故選B.4.(2020河南安陽(yáng)二模,7)已知m,l是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列可以推出α⊥β的是( )A.m⊥l,m?β,l⊥α B.m⊥l,α∩β=l,m?αC.m∥l,m⊥α,l⊥β D.l⊥α,m∥l,m∥β答案 D 在A中,m⊥l,m?β,l⊥α,則α與β相交或平行,故A錯(cuò)誤;
在B中,m⊥l,α∩β=l,m?α,則α與β有可能相交但不垂直,故B錯(cuò)誤;在C中,m∥l,m⊥α,l⊥β,則α∥β,故C錯(cuò)誤;在D中,l⊥α,m∥l,則m⊥α,又m∥β,則α⊥β,故D正確.故選D.5.(2020山東煙臺(tái)一模,7)設(shè)P為直線3x-4y+4=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB為圓C:(x-2)2+y2=1的兩條切線,A,B為切點(diǎn),則四邊形APBC面積的最小值為( )A. B.2C. D.2答案 A 如圖所示.圓C:(x-2)2+y2=1的圓心為C(2,0),半徑為1,PA=PB,則S四邊形APBC=2×·|PB|·|CB|,又∵△PCB為直角三角形,∴|PB|==,因此S四邊形APBC=,若四邊形APBC的面積最小,則|PC|最小,當(dāng)CP垂直于直線3x-4y+4=0時(shí),|CP|取最小值,即點(diǎn)C到直線3x-4y+4=0的距離,|PC|min==2,故四邊形APBC面積的最小值為=.故選A.6.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,過(guò)F2的直線l交C于A,B兩點(diǎn),若△AF1B的周長(zhǎng)為4,則C的方程為( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=1
答案 A ∵△AF1B的周長(zhǎng)為4,∴由橢圓的定義可知4a=4,∴a=,∵e==,∴c=1,∴b2=2,∴方程為+=1,故選A.7.(2020廣東廣州綜合測(cè)試一,10)已知點(diǎn)P(x0,y0)是曲線C:y=x3-x2+1上的點(diǎn),曲線C在點(diǎn)P處的切線與直線y=8x-11平行,則( )A.x0=2 B.x0=-C.x0=2或x0=- D.x0=-2或x0=答案 B 由y=x3-x2+1可得y'=3x2-2x,則切線斜率k=y'=3-2x0,又切線平行于直線y=8x-11,∴3-2x0=8,∴x0=2或-.①當(dāng)x0=2時(shí),切點(diǎn)為(2,5),切線方程為y-5=8(x-2),即8x-y-11=0,與已知直線重合,不合題意,舍去;②當(dāng)x0=-時(shí),切點(diǎn)為,切線方程為y+=8,即y=8x+,與y=8x-11平行,故選B.8.(2018天津,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則·的最小值為( )A. B. C. D.3答案 A 本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用.解法一:如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則
A(1,0),B,C(0,),設(shè)E(0,t),t∈[0,],∴·=(-1,t)·=t2-t+,∵t∈[0,],∴當(dāng)t=-=時(shí),·取得最小值,(·)min=-×+=.故選A.解法二:令=λ(0≤λ≤1),由已知可得DC=,∵=+λ,∴=+=++λ,∴·=(+λ)·(++λ)=·+||2+λ·+λ2||2=3λ2-λ+.當(dāng)λ=-=時(shí),·取得最小值.故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.9.定義:若函數(shù)F(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],則稱區(qū)間[a,b]是函數(shù)F(x)的“完美區(qū)間”,另外,定義區(qū)間[a,b]的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為2(b-a),已知函數(shù)f(x)=|x2-1|,則( )A.[0,1]是f(x)的一個(gè)“完美區(qū)間”B.是f(x)的一個(gè)“完美區(qū)間”C.f(x)的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為3+D.f(x)的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為3+2答案 AC 當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=1-x2,易知f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,f(0)=1,f(1)=0,故值域?yàn)閇0,1],所以
[0,1]是f(x)的一個(gè)“完美區(qū)間”,故A正確.由于<0,f(x)≥0恒成立,故B錯(cuò)誤.由定義域?yàn)閇a,b],f(x)≥0,可知0≤a
1時(shí),①若0≤a<1,則1∈[a,b],此時(shí)f(x)min=f(1)=0,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],則a=0,f(b)=b,因?yàn)閎>1,所以f(b)=|b2-1|=b2-1=b,即b2-b-1=0,解得b=(舍去)或b=,故此情況下存在a=0,b=,使得區(qū)間[a,b]是函數(shù)f(x)的“完美區(qū)間”,此區(qū)間[a,b]的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為2×=1+.②當(dāng)a≥1時(shí),f(x)=x2-1,x∈[a,b],函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],則所以a與b是方程x2-x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根,解得x1=,x2=,所以因?yàn)閍=<1,所以此情況不滿足題意.綜上所述,函數(shù)f(x)=|x2-1|的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為2+(1+)=3+,故C正確,D錯(cuò)誤.故選AC.10.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)與直線y=kx交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)為C上任意一點(diǎn),且直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且kPA·kPB=,則下列結(jié)論正確的是( )A.雙曲線的漸近線方程為y=±xB.雙曲線的漸近線方程為y=±xC.雙曲線的離心率為D.雙曲線的離心率為答案 AC 設(shè)點(diǎn)A(x,y),B(-x,-y),則-=1.又∵-=1,∴兩式相減得=,∴=.又∵kPA·kPB=·=,∴=,∴=,∴雙曲線的漸近線方程為y=±x,故選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;又∵==e2-1=,∴e=,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.思路分析 設(shè)點(diǎn)A(x,y),B(-x,-y),利用點(diǎn)差法得到kPA·kPB=,即可得到=,從而求出雙曲線的漸
近線與離心率.11.(2020山東百師聯(lián)盟測(cè)試五,9)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )A.函數(shù)f(x)的周期為πB.函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=C.函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(k∈Z)D.當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)榇鸢浮C 由題中圖象知,A=1,=-=?T=π,所以ω==2,根據(jù)五點(diǎn)作圖法得2×+φ=0?φ=-,則f(x)=sin,對(duì)稱軸方程為x=π+,k∈Z,單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z.當(dāng)x∈時(shí),2x-∈,f(x)=sin∈.故選AC.12.(2020福建泉州畢業(yè)班適應(yīng)性線上測(cè)試)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1,則( )A.f(x)是周期函數(shù)B.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f(n)=0C.f(1)+22f(2)+32(3)+…+62f(6)=16D.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=8n2+8n+1答案 ABD 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).
又f(1+x)=f(1-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得函數(shù)f(x)的周期為4,選項(xiàng)A正確;f(-2)=-f(2)=-f(0)=0,即f(-2)=f(2)=f(0),又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為4,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f(n)=0,選項(xiàng)B正確;因?yàn)閒(-1)=-f(1)=-1,周期T=4,所以f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=1-32+52=17,所以選項(xiàng)C是錯(cuò)的;f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=1-32+52-72+92-…+(4n+1)2=1+(52-32)+(92-72)+…+[(4n+1)2-(4n-1)2]=1+2[3+5+7+9+…+(4n-1)+(4n+1)]=1+2×=1+2n(4n+4)=8n2+8n+1,所以選項(xiàng)D正確,故選ABD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,則cos(α-β)= .?答案 解析 ∵α∈,∴2α∈(0,π).∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,∴sin2α==,而α,β∈,∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)==,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=×+×=.14.我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個(gè)節(jié)氣,每個(gè)節(jié)氣晷(guǐ)長(zhǎng)損益相同(晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器,晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度),夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個(gè)節(jié)氣,其日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,經(jīng)記錄測(cè)算,夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣日影子長(zhǎng)之和為16.5尺,這十二個(gè)節(jié)氣的所有日影子長(zhǎng)之和為84尺,則夏至的日影子長(zhǎng)為 尺.?答案 1.5解析 設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,由題意得即解得所以夏至的日影子長(zhǎng)為1.5尺.15.(2020天津南開(kāi)中學(xué)第五次統(tǒng)練,13)已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?答案 解析 f'(x)=lnx-2ax+2a,令g(x)=lnx-2ax+2a(x>0),∴g'(x)=-2a,若a≤0,則g'(x)=-2a>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)=f'(x)<0,f(x)
單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)=f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,不符合題意.若a>0,則00,g(x)單調(diào)遞增,x>時(shí),g'(x)=-2a<0,g(x)單調(diào)遞減,g(1)=f'(1)=0,∵f(x)在x=1處取得極大值,∴x<1時(shí),g(x)=f'(x)>0,x>1時(shí),g(x)=f'(x)<0,即函數(shù)f(x)在x=1的兩側(cè)先增后減,則<1,解得a>.綜上,a的取值范圍是.16.(2020山東第一次仿真聯(lián)考,15)在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PC=PD=,平面PCD⊥平面ABCD,則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為 .?答案 解析 取CD的中點(diǎn)E,連接PE.因?yàn)镻C=PD=,DE=CD=1,所以PE⊥CD,則PE=2,連接AC,BD,交于點(diǎn)O1,則O1為四邊形ABCD的中心,過(guò)四邊形ABCD的中心O1作平面ABCD的垂線l1,過(guò)三角形PCD的外心O2作平面PCD的垂線l2,設(shè)l1∩l2=O,則O為四棱錐P-ABCD外接球的球心,設(shè)OO1=h,四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R,則R2=h2+2=(2-h)2+1,解得h=,則h2=,R2=,故四棱錐P-ABCD外接球的表面積為4πR2=.四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,
且Sn=2bn-2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)若cn=an·bn(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解析 (1)因?yàn)閚an+1-(n+1)an=1,所以-==-,所以-=-(n≥2),……,-=1-,所以-a1=1-(n≥2).又a1=1,所以=,所以an=2n-1(n≥2).又a1=1也符合上式,所以an=2n-1(n∈N*).(2)結(jié)合(1)得bn=,所以Sn=++++…+,①Sn=+++…+,②①-②,整理得Sn=1+2-=1+-=2-,
所以Sn=3-.18.(12分)(2020山東煙臺(tái)一中期末,17)在條件:①(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,②asinB=bcos,③bsin=asinB中任選一個(gè),補(bǔ)充到下面問(wèn)題中,并給出問(wèn)題解答.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b+c=6,a=2, .求△ABC的面積.?解析 若選①:由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,所以cosA===,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=,又a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,a=2,b+c=6,所以bc=4,所以S△ABC=bcsinA=×4×sin=.若選②:由正弦定理得sinAsinB=sinBcos.因?yàn)?b>0)的離心率為,點(diǎn)P在橢圓M上.(1)求橢圓M的方程;(2)經(jīng)過(guò)橢圓M的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C、D兩點(diǎn),A、B分別為橢圓M的左、右頂點(diǎn),記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的取值范圍.解析 (1)由e===,得3a2=4b2①,將P代入橢圓方程,得+=1②,由①②得a=2,b=,所以橢圓M的方程為+=1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線方程為x=1,△ABD與△ABC的面積相等,|S1-S2|=0,當(dāng)直線l的斜率存在(顯然k≠0)時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x-1),
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),聯(lián)立消掉y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,顯然Δ>0,方程有根,且x1+x2=,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,此時(shí)|S1-S2|=2(|y2|-|y1|)=2|y2+y1|=,因?yàn)閗≠0,所以|S1-S2|==≤==,當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí)等號(hào)成立,所以|S1-S2|的最大值為,則0≤|S1-S2|≤,所以|S1-S2|的取值范圍為[0,].22.(12分)(2021屆浙江杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解析 (1)由題意可知f'(x)=3x2+a.設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),則f(x0)=0,f'(x0)=0,即解得因此,當(dāng)a=-時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線.(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)=-lnx<0,從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn).
當(dāng)x=1時(shí),若a≥-,則f(1)=a+≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零點(diǎn);若a<-,則f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零點(diǎn).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)=-lnx>0.所以只需考慮f(x)在(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(i)若a≤-3或a≥0,則f'(x)=3x2+a在(0,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào).而f(0)=,f(1)=a+,所以當(dāng)a≤-3時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).(ii)若-30,即--或a<-時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=-或a=-時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)-
