高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列專題講解教學(xué)目標(biāo)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，深刻理解等比中項(xiàng)概念，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.教學(xué)重點(diǎn)：1.等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用.2.等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.教學(xué)過程：Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧等比數(shù)列定義，等比數(shù)列通項(xiàng)公式Ⅱ.講授新課根據(jù)定義、通項(xiàng)公式，再與等差數(shù)列對照，看等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)?(1)若a，A，b成等差數(shù)列a＝，A為等差中項(xiàng).那么，如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，…… 則即＝，即G2＝ab反之，若G2＝ab，則＝，即a，G，b成等比數(shù)列∴a，G，b成等比數(shù)列G2＝ab(a·b≠0)總之，如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G＝±，(a，b同號)另外，在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，那么，在等比數(shù)列中呢？由通項(xiàng)公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1·qq－1不難發(fā)現(xiàn)：am·an＝a12qm+n－2，ap·aq＝a12qp+q－2若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq下面看應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決哪些問題?［例1］在等比數(shù)列{an}中，若a3·a5＝100，求a4.分析：由等比數(shù)列性質(zhì)，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq可得：解：∵在等比數(shù)列中，∴a3·a5＝a42又∵a3·a5＝100，∴a4＝±10.［例2］已知{an}、{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證{an·bn} 是等比數(shù)列.分析：由等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式求得.解：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比為p；{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q.則數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為a1pn－1，a1pn數(shù)列{bn}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為b1qn－1，b1qn.數(shù)列{an·bn}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為a1·pn－1·b1·qn－1與a1·pn·b1·qn，即為a1b1(pq)n－1與a1b1(pq)n∵·＝＝pq它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，∴{an·bn}是一個以pq為公比的等比數(shù)列.特別地，如果{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，那么數(shù)列{c·an}是等比數(shù)列.［例3］三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個數(shù).解：設(shè)m，G，n為此三數(shù)由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64，又∵G2＝m·n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10 ∴或即這三個數(shù)為2，4，8或8，4，2.評述：結(jié)合已知條件與定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)，選擇解題捷徑.Ⅲ.課堂練習(xí)課本P50練習(xí)1，2，3，4，5.Ⅳ.課時小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：(1)若a，G，b成等比數(shù)列，則G2＝ab，G叫做a與b的等比中項(xiàng).(2)若在等比數(shù)列中，m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aqⅤ.課后作業(yè)課本P52習(xí)題5，6，7，9 1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10C.15D.202．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于（）A.9B.10C.11D.123．非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數(shù)列，則y等于（）A.10B.12C.14D.164．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值. 6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個等比數(shù)列.7．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個數(shù). 等比數(shù)列(二)答案1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）A.5B.10C.15D.20分析：要確定一個等比數(shù)列，必須有兩個獨(dú)立條件，而這里只有一個條件，故用先確定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而應(yīng)尋求a3＋a5整體與已知條件之間的關(guān)系.解法一：設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，由條件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝25即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0∴a1q2(q2＋1）＝5a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25由等比數(shù)列性質(zhì)得a32＋2a3a5＋a52＝25即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5評述：在運(yùn)用方程思想方法的過程中，還要注意整體觀念，善于利用等比數(shù)列的性質(zhì)，以達(dá)到簡化解題過程、快速求解的目的. 2．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于（）A.9B.10C.11D.12解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11.答案：C3．非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分別成等比數(shù)列，則y等于（）A.10B.12C.14D.16解：由已知得y＝12答案：B4．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).解：設(shè)所求的四個數(shù)分別為a，x－d，x，x＋d則解得x＝4，代入①、②得 解得或故所求四個數(shù)為25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.分析：關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)條件，應(yīng)注意兩個數(shù)列之間的聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)換.解：由題意知：∴an+1＝，an＝(n≥2)代入①得2bn＝＋即2＝＋(n≥2)∴{}成等差數(shù)列，設(shè)公差為d又b1＝2，b2＝＝，∴d＝－＝－＝∴＝＋（n－1）＝（n＋1），bn＝（n＋1）2，當(dāng)n≥2時，an＝＝③ 且a1＝1時適合于③式，故＝.評述：對于通項(xiàng)公式有關(guān)系的兩個數(shù)列的問題，一般采用消元法，先消去一個數(shù)列的項(xiàng)，并對只含另一個數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造一個新的數(shù)列.6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個等比數(shù)列.分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下來只需討論和x－y的大小關(guān)系，分成兩種情況討論.解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而＜1＜x－y當(dāng)＜x－y時，由，x－y，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列.則有解方程組得x＝7＋5，y＝5＋∴所求等比數(shù)列為，2＋，12＋，70＋.當(dāng)＞x－y時，由x－y，，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列則有 解方程組得y＝，這與y＞2矛盾，故這種情況不存在.7．有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個數(shù).分析一：從后三個數(shù)入手.解法一：設(shè)所求的四個數(shù)為，x－d，x，x＋d，根據(jù)題意有，解得或∴所求四個數(shù)為3，6，12，18或，，，.分析二：從前三數(shù)入手.解法二：設(shè)前三個數(shù)為，x，xq，則第四個數(shù)為2xq－x.依題設(shè)有，解得或故所求的四個數(shù)為3，6，12，18或，，，.分析三：從首末兩項(xiàng)的和與中間兩項(xiàng)的和入手.解法三：設(shè)欲求的四數(shù)為x，y，18－y，2－x，由已知得：，解得或∴所求四數(shù)為3，6，12，18或，，，.