高考原生態(tài)滿分練4　立體幾何(本題滿分12分)(2021·全國(guó)甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?學(xué)生解答教師批閱 分析1:在利用幾何法證明(1)時(shí),需要先運(yùn)用線面垂直的判定定理來(lái)證明線面垂直,關(guān)鍵是證明BF⊥MB1,因此這一過(guò)程不能省略,應(yīng)根據(jù)平面幾何中的三角形全等證得.分析2:A1B1與MB1兩條相交直線所確定的平面是A1B1M,也就是平面A1B1ME,但應(yīng)根據(jù)確定平面的依據(jù)加以說(shuō)明,即應(yīng)證明A1,B1,M,E四點(diǎn)是共面的,缺少這個(gè)步驟時(shí)證明過(guò)程就是不嚴(yán)密的.分析3:建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),應(yīng)首先說(shuō)明三條直線兩兩互相垂直,此處沒有證明BA,BC,BB1兩兩互相垂直顯然是不完整的.分析4:設(shè)參數(shù)時(shí),一定要注明參數(shù)的取值范圍,缺少范圍時(shí),容易導(dǎo)致后續(xù)結(jié)論出錯(cuò).此處由于D在A1B1上,所以0≤t≤2.分析5:由于二面角的大小與其兩個(gè)面的法向量的夾角不是完全相等的關(guān)系,也可能互補(bǔ),即它們的余弦值的絕對(duì)值是相等的,因此應(yīng)有|cosθ|=|cos|.由于法向量不唯一,有時(shí)由于法向量取的巧合,不加絕對(duì)值與加絕對(duì)值時(shí)得到的式子是相同的,但理論上應(yīng)該加絕對(duì)值,否則有時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.分析6:解題結(jié)束時(shí),一定要對(duì)照原問題的要求作出相應(yīng)的完整的結(jié)論.滿分答題高考原生態(tài)滿分練4　立體幾何解∵四邊形AA1B1B為正方形,∴A1B1⊥BB1.又BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,∴A1B1⊥平面BB1C1C. 又AB∥A1B1,∴AB⊥平面BB1C1C.∴AB⊥BC.又BB1⊥平面ABC,∴AB,BC,BB1兩兩互相垂直.以B為原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.2分則B(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),得=(0,2,1),=(-1,1,1).設(shè)D(λ,0,2)(0≤λ≤2),則=(1-λ,1,-2).4分(1)證明:=0+2-2=0,,∴BF⊥DE.6分(2)∵AB⊥平面BB1C1C,∴n=(1,0,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量.設(shè)平面DFE的法向量為m=(x,y,z),則取x=3,則y=1+λ,z=2-λ.∴m=(3,1+λ,2-λ)為平面DFE的一個(gè)法向量.8分∴cos=.設(shè)平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的平面角為θ,則sinθ=10分要使sinθ最小,只需最大,又0≤λ≤2,∴當(dāng)λ=時(shí),最大,即sinθ最小,此時(shí)B1D=故當(dāng)B1D=時(shí),平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小.12分