題型專項(xiàng)練6　解答題組合練(C)1.(2021·湖南株洲高三二模)如圖所示,在四邊形ABCD中,tan∠BAD=-3,tan∠BAC=.(1)求∠DAC的大小;(2)若DC=2,求△ADC周長的最大值.2.(2021·廣東佛山二模)已知數(shù)列{an},{bn}滿足an-bn=2n.(1)若{an}是等差數(shù)列,b2=1,b4=-7,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn;(2)若{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,判斷{an}是否為等比數(shù)列,并說明理由.3.(2021·湖南武岡一模)某地一公司的市場研究人員為了解公司生產(chǎn)的某產(chǎn)品的使用情況,從兩個(gè)方面進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),一是產(chǎn)品的質(zhì)量參數(shù)x,二是產(chǎn)品的使用時(shí)間t(單位:千小時(shí)).經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,質(zhì)量參數(shù)x服從正態(tài)分布N(0.8,0.0152),使用時(shí)間t與質(zhì)量參數(shù)x之間有如下關(guān)系:質(zhì)量參數(shù)x0.650.700.750.800.850.900.95使用時(shí)間t2.602.813.053.103.253.353.54(1)該地監(jiān)管部門對(duì)該公司的該產(chǎn)品進(jìn)行檢查,要求質(zhì)量參數(shù)在0.785以上的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品.現(xiàn)抽取20件該產(chǎn)品進(jìn)行校驗(yàn),求合格產(chǎn)品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望;(2)該公司研究人員根據(jù)最小二乘法求得回歸方程為t=2.92x+0.76,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明使用時(shí)間t與質(zhì)量參數(shù)x之間的關(guān)系是否可用線性回歸模型擬合.附:參考數(shù)據(jù):=0.8,=3.1,=4.55,=67.88,≈0.339.若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545;參考公式:相關(guān)系數(shù)r=;回歸方程為x+,其中.,4.(2021·湖南衡陽八中高三模擬)如圖1是由正方形ABCD,等邊三角形ABE和等邊三角形BCF組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=6,將其沿AB,BC,AC折起得三棱錐P-ABC,如圖2.(1)求證:平面PAC⊥平面ABC;(2)過棱AC作平面ACM交棱PB于點(diǎn)M,且三棱錐P-ACM和B-ACM的體積比為1∶2,求平面AMC與平面PBC所成銳二面角的余弦值.5.(2021·湖北武漢二模)設(shè)拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F作直線l交拋物線E于A,B兩點(diǎn).當(dāng)l與x軸垂直時(shí),△AOB面積為8,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若l的斜率存在且為k1,點(diǎn)P(3,0),直線AP與E的另一交點(diǎn)為C,直線BP與E的另一交點(diǎn)為D,設(shè)直線CD的斜率為k2,證明:為定值.,6.(2021·江蘇揚(yáng)州二模)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.(1)若f(x)存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a=1時(shí),判斷函數(shù)g(x)=f(x)+2sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.題型專項(xiàng)練6　解答題組合練(C)1.解(1)因?yàn)?ang;DAC=∠BAD-∠BAC,且tan∠BAD=-3,tan∠BAC=,所以tan∠DAC=tan(∠BAD-∠BAC)==,因?yàn)?ang;DAC∈(0,π),所以∠DAC=(2)由正弦定理得,所以AD=sin∠ACD,AC=sin∠ADC,所以△ADC的周長為2+AD+AC=2+(sin∠ACD+sin∠ADC)=2+sin∠ACD+sin-∠ACD=2+sin∠ACD+cos∠ACD=2+4sin∠ACD+,因?yàn)?<∠ACD<,所以<∠ACD+,所以0),由an-bn=2n,則an=bn+2n=2n+b1qn-1,若{an}是等比數(shù)列,則=a1a3成立,即=(b1+2)·(b3+8),即+8b2+16=b1b3+8b1+2b3+16,即4b2=4b1+b3,所以4b1q=4b1+b1q2,解得q=2.當(dāng)q=2時(shí),an=2n+b1·2n-1=(b1+2)·2n-1,因?yàn)閎1>0,所以=2為常數(shù),故{an}是等比數(shù)列;當(dāng)q≠2時(shí),由上述過程可知a1a3,故{an}不是等比數(shù)列.3.解(1)一件產(chǎn)品的質(zhì)量參數(shù)在0.785以上的概率P=1-=0.84135.設(shè)抽取的20件該產(chǎn)品中合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ,則ξ~B(20,0.84135),則E(ξ)=20×0.84135=16.827.(2)-2xi+n-2n+n-n同理,-n,,(xi-)(ti-)=(xi-)2.∴r==2.92=2.922.922.92×0.339≈0.99,所以使用時(shí)間t與質(zhì)量參數(shù)x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,可用線性回歸模型擬合.4.(1)證明如圖,取AC的中點(diǎn)為O,連接BO,PO.∵PA=PC,∴PO⊥AC,∵PA=PC=6,∠APC=90°,∴PO=AC=3,同理BO=3,又PB=BE=6,∴PO2+OB2=PB2,∴PO⊥OB,又AC∩OB=O,∴PO⊥平面ABC,又PO⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.(2)解如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(3,0,0),C(-3,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),=(6,0,0),=(3,3,0),=(3,0,3),∵三棱錐P-ACM和B-ACM的體積比為1∶2,∴PM∶BM=1∶2,∴M(0,,2),=(-3,2),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,得n=(1,-1,-1),設(shè)平面AMC的法向量為m=(x',y',z'),則,令y'=2,得m=(0,2,-1),∴所求銳二面角的余弦值為|cos|=5.(1)解由題意,不妨設(shè)A,BAB=2p,2p=8.解得p=4,所以拋物線方程為y2=8x.(2)證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).則直線l的斜率為k1=,直線AB為y-y1=(x-x1),則(y1+y2)y-y1y2=8x.又點(diǎn)F(2,0)在直線上,則-y1y2=16.同理,直線BD為(y2+y4)y-y2y4=8x.點(diǎn)P(3,0)在直線BD上,則-y2y4=24.同理,直線AC為(y1+y3)y-y1y3=8x.點(diǎn)P(3,0)在直線AC上,則-y1y3=24.又k1=,k2=,則,故為定值.6.解(1)f'(x)=-a(x>0),當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),不可能有極值,舍去;當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=當(dāng)00,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)x>時(shí),f'(x)<0,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);所以f(x)在x=取得極大值,符合題意.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,+∞).(2)當(dāng)a=1時(shí),g(x)=lnx-x+2sinx(x>0),g'(x)=-1+2cosx,g″(x)=--2sinx.①當(dāng)x∈(0,π]時(shí),g″(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減,注意到g'(1)=2cos1>0,g'(π)=-3<0,所以存在唯一的x0∈(1,π),使g'(x0)=0,且當(dāng)00,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x00,g(π)=lnπ-π<0,所以g(x)在和(1,π)上各有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)x∈(π,2π]時(shí),g(x)≤lnx-x