專題過關(guān)檢測二　三角函數(shù)與解三角形一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2021·江西臨川期中)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(,a),若θ=-,則a=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.-D.-2.(2021·北京房山區(qū)一模)將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的圖象的一條對稱軸方程為(　　)A.x=-B.x=-C.x=D.x=3.(2021·湖南株洲高三二模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2acosC-3bcosC=3ccosB,則角C的大小為(　　)A.B.C.D.4.(2021·山西呂梁一模)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)部分圖象如圖所示,則f=(　　)A.B.C.-D.5.(2021·北京海淀區(qū)模擬)已知sin+cosα,則sin=(　　)A.-B.-C.D.6.(2021·福建福州期末)疫情期間,為保障市民安全,要對所有街道進(jìn)行消毒處理,某消毒裝備的設(shè)計(jì)如圖所示,PQ為路面,AB為消毒設(shè)備的高,BC為噴桿,AB⊥PQ,∠ABC=,C處是噴灑消毒水的噴頭,且噴射角∠DCE=,已知AB=2,BC=1,則消毒水噴灑在路面上的寬度DE的最小值為(　　)A.5-5B.5C.D.57.(2021·浙江寧波模擬)在△ABC中,“tanAtanB>1”是“△ABC為鈍角三角形”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.(2021·安徽淮北一模)函數(shù)f(x)=2sinx++cos2x的最大值為(　　)A.1+B.C.2D.3二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6 B.△ABC是鈍角三角形C.△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D.若c=6,則△ABC的外接圓半徑R為10.(2021·河北秦皇島高三二模)已知函數(shù)f(x)=cosωx-sinωx(ω>0)的部分圖象如圖所示,則下列選項(xiàng)正確的是(　　)A.ω=2B.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-,kπ-(k∈Z)C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于,0中心對稱D.函數(shù)f(x)的圖象可由y=2cosωx的圖象向右平移個單位長度得到11.(2021·遼寧沈陽二模)關(guān)于f(x)=sinx·cos2x的說法正確的為(　　)A.?x∈R,f(-x)-f(x)=0B.?T≠0,使得f(x+T)=f(x)C.f(x)在定義域內(nèi)有偶數(shù)個零點(diǎn)D.?x∈R,f(π-x)-f(x)=012.(2021·湖南益陽箴言中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的圖象上,對稱中心與對稱軸x=的最小距離為,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.f(x)+f-x=0B.當(dāng)x∈時,f(x)≥-C.若g(x)=2cos2x,則gx-=f(x)D.若sin4α-cos4α=-,α∈0,,則fα+=三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2021·安徽合肥期中)已知cos=-,則sin2α=.14.(2021·河北石家莊二中高三月考)已知偶函數(shù)f(x)=cosωx+φ-cosωx+φ+ω>0,φ∈0,的最小正周期為π,則ω=　　　　　;φ=　　　　　.?15.(2021·廣東茂名二模)在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)有E,F兩點(diǎn),其中AB=120cm,AE=100cm,EF=80cm,FC=60cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該矩形ABCD的面積為　　　　　cm2.(答案如有根號可保留)? 16.(2021·湖南長郡中學(xué)二模)如圖,某湖有一半徑為100m的半圓形岸邊,現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個水文監(jiān)測中心(大小忽略不計(jì)),在其正東方向相距200m的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測設(shè)備.為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確,在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處,再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備,且滿足AB=AC,∠BAC=90°.四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測覆蓋區(qū)域”.設(shè)∠AOB=θ,則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為　　　　　　m2.?四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)(2021·江西上饒一模)已知f(x)=2cosx·sinx+-sin2x+sinxcosx.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若x∈,求y=f(x)的值域.18.(12分)(2021·湖南長沙高三模擬)某市一濕地公園建設(shè)項(xiàng)目中,擬在如圖所示一片水域打造一個淺水灘,并在A,B,C,D四個位置建四座觀景臺,在凸四邊形ABCD中,AB=千米,AD=BC=CD=1千米.(1)用cosA表示cosC;(2)現(xiàn)要在A,C之間連接一根水下直管道,已知cosA=,問最少應(yīng)準(zhǔn)備多少千米管道.19.(12分)(2021·廣東韶關(guān)一模)在①cosC+(cosA-sinA)cosB=0;②cos2B-3cos(A+C)=1;③bcosC+csinB=a這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中并解答.問題:在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a+c=1,　　　　　,求角B和b的最小值.? 20. (12分)(2021·山東棗莊二模)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的部分圖象如圖所示,f(0)=,f=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在銳角△ABC中,若A>B,f,求cos,并證明sinA>.21.(12分)(2021·福建寧德期末)在股票市場上,投資者常參考股價(jià)(每一股的價(jià)格)的某條平滑均線的變化情況來決定買入或賣出股票.股民老張?jiān)谘芯抗善钡淖邉輬D時,發(fā)現(xiàn)一只股票的均線近期走得很有特點(diǎn):若建立平面直角坐標(biāo)系Oxy如圖所示,則股價(jià)y(單位:元)和時間x(單位:天)的關(guān)系在ABC段可近似地用函數(shù)y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)來描述,從C點(diǎn)走到今天的D點(diǎn),是震蕩筑底階段,而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標(biāo)志,且D點(diǎn)和C點(diǎn)正好關(guān)于直線l:x=34對稱. 老張預(yù)計(jì)這只股票未來的走勢可用曲線DE描述,這里DE段與ABC段關(guān)于直線l對稱,EF段是股價(jià)延續(xù)DE段的趨勢(規(guī)律)走到這波上升行情的最高點(diǎn)F.現(xiàn)在老張決定取點(diǎn)A(0,22),點(diǎn)B(12,19),點(diǎn)D(44,16)來確定函數(shù)解析式中的常數(shù)a,b,ω,φ,并且求得ω=.(1)請你幫老張算出a,b,φ,并回答股價(jià)什么時候見頂(即求點(diǎn)F的橫坐標(biāo));(2)老張如能在今天以點(diǎn)D處的價(jià)格買入該股票3000股,到見頂處點(diǎn)F的價(jià)格全部賣出,不計(jì)其他費(fèi)用,這次操作他能賺多少元?22.(12分)(2021·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),且f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)當(dāng)x∈時,求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度,再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,當(dāng)x∈時,求函數(shù)g(x)的值域;(3)對于第(2)問中的函數(shù)g(x),記方程g(x)=在區(qū)間上的根從小到大依次為x1,x2,…,xn,試確定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值. 專題過關(guān)檢測二　三角函數(shù)與解三角形1.C　解析:由題意,角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(,a),可得|OP|=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),又由θ=-,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得cos,且a<0,解得a=-2.C　解析:將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)=sin=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,結(jié)合四個選項(xiàng)可知,函數(shù)g(x)的圖象的一條對稱軸方程為x=3.A　解析:因?yàn)?acosC-3bcosC=3ccosB,由正弦定理得2sinAcosC-3sinBcosC=3sinCcosB,所以2sinAcosC=3sin(C+B)=3sinA,因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosC=,又C∈(0,π),所以C=4.D　解析:由題中函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分圖象知,A=2,T==3π,所以T=4π=,所以ω=又f=2sin=2,可得+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin故f=2sin=2sin5.D　解析:由sin+cosα可得sincosα-cossinα=+cosα,cosα-sinα=+cosα,sinα+cosα=-,∴sin=-,∴sin=sin=cos=1-2sin26.C　解析:在△CDE中,設(shè)定點(diǎn)C到底邊DE的距離為h,則h=2+1·sin,又S△CDE=DE·h=CD·CEsin,即5DE=CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CD·CEcos=CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,當(dāng)且僅當(dāng)CD=CE時,等號成立,故DE2≥CD·CE,而5DE=CD·CE,所以DE2DE,則DE,故DE的最小值為7.D　解析:因?yàn)閠anAtanB>1,所以>1,因?yàn)?0,cosAcosB>0,故A,B同為銳角,因?yàn)閟inAsinB>cosAcosB,所以cosAcosB-sinAsinB<0,即cos(A+B)<0,所以1”,故必要性不成立,所以為既不充分也不必要條件.8.B　解析:因?yàn)閒(x)=2sin+cos2x,所以f(x)=2sin+sin=2sinx++2sincos令θ=x+,g(θ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ,則g'(θ)=2cosθ+2cos2θ=2(2cos2θ-1)+2cosθ=4cos2θ+2cosθ-2,令g'(θ)=0,得cosθ=-1或cosθ=,當(dāng)-1≤cos時,g'(θ)≤0;當(dāng)cosθ≤1時,g'(θ)≥0,所以當(dāng)(k∈Z)時,g(θ)單調(diào)遞減;當(dāng)(k∈Z)時,g(θ)單調(diào)遞增,所以當(dāng)θ=+2kπ(k∈Z)時,g(θ)取得最大值,此時sinθ=, 所以f(x)max=2+29.ACD　解析:因?yàn)?a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可設(shè)a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A中結(jié)論正確;由以上解答可知c邊最大,所以三角形中角C最大,又cosC=>0,所以C為銳角,所以B中結(jié)論錯誤;由以上解答可知a邊最小,所以三角形中角A最小,又cosA=,所以cos2A=2cos2A-1=,所以cos2A=cosC.由三角形中角C最大且角C為銳角可得2A∈(0,π),C,所以2A=C,所以C中結(jié)論正確;由正弦定理,得2R=(R為△ABC外接圓半徑),又sinC=,所以2R=,解得R=,所以D中結(jié)論正確.10.AC　解析:f(x)=cosωx-sinωx=2cosωx+.由圖象可知--=,所以T=π=,所以ω=2,故A正確;函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2cos2x+,令2kπ-π≤2x+2kπ(k∈Z)得kπ-x≤kπ-,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-,kπ-(k∈Z),故B錯誤;因?yàn)閒=0,故C正確;f(x)圖象可由y=2cos2x圖象向左平移個單位長度得到,故D錯誤.故選AC.11.BD　解析:對于A,當(dāng)x=時,f-f=sincos-sincos=-0,故A錯誤.對于B,因?yàn)閒(x+2π)=sin(2π+x)cos[2(x+2π)]=sinxcos2x,所以?T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),故B正確.對于C,因?yàn)閒(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sinxcos2x=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),因?yàn)閤=0在定義域內(nèi),所以f(0)=0,故f(x)有奇數(shù)個零點(diǎn),故C錯誤.對于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cos[2(π-x)]-sinxcos2x=sinxcos2x-sinxcos2x=0,故D正確.12.BD　解析:∵對稱中心與對稱軸x=的最小距離為,,即T=π.而T=,∴ω=2.∵直線x=為對稱軸,∴2+φ=kπ,即φ=kπ-,又|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=2cos2x-.∵f-x=2cos2-x-=2cos-2x=-2sin2x,∴f(x)+f-x=2cos2x--2sin2x=2cos2x+≠0,故A錯誤; 當(dāng)x∈時,2x-,∴f(x)=2cos2x-∈[-],故B正確;∵g(x)=2cos2x,∴gx-=2cos2x-=2cos2x-≠f(x),故C錯誤;∵sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α=-cos2α=-,∴cos2α=,∵α∈0,,∴2α∈(0,π),∴sin2α=,∴fα+=2cos2α+-=-2sin2α-=-2sin2αcos+2cos2αsin=-,故D正確.故選BD.13.-　解析:由cos=-可得cos,所以(cosα-sinα)=,即cosα-sinα=,兩邊平方可得1-sin2α=,故sin2α=-14.1　　解析:f(x)=cosωx+φ-cosωx+φ-=-cosωx+φ-sinωx+φ-=-sin2ωx+2φ-.因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,所以=π,得ω=1,則f(x)=-sin2x+2φ-,因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以2φ-+kπ(k∈Z),可得φ=(k∈Z).又因?yàn)棣铡?,,所以φ=15.14400　解析:連接AC交EF于點(diǎn)O(圖略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE∥FC,所以△AEO與△CFO相似,所以,所以EO=50cm,FO=30cm,在△AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AE·EO·cos∠AEO=(100)2+(50)2-2×10050cos60°=22500,所以AO=150cm,同理CO=90cm,所以AC=240cm,從而BC==120cm,所以矩形ABCD的面積為14400cm2.16.(10000+25000)　解析:在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100m,OA=200m,∴AB2=OB2+OA2-2OB·OA·cos∠AOB,即AB=100,∴S四邊形OACB=S△OAB+S△ABC=OA·OB·sinθ+AB2,于是S四邊形OACB=1002=1002sin(θ-φ)+(其中tanφ=2),所以當(dāng)sin(θ-φ)=1時,S四邊形OACB取最大值10000=10000+25000,即“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為(10000+25000)m2.17.解(1)f(x)=2cosxsin(1-cos2x)+sin2x=2cosxcos2x+sin2x=sin2x+(2cos2x-1)+cos2x+sin2x=sin2x+cos2x=2sin,令2kπ-2x++2kπ,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.(2)∵x,∴-<2x+,∴-0,結(jié)合題中函數(shù)f(x)的圖象可知,所以0<ω<,所以有0<(6k-1)<,即,所以A=,又因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx在區(qū)間上單調(diào)遞增,A,所以sinA>sin=21.解(1)∵點(diǎn)C,D關(guān)于直線l對稱,∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(2×34-44,16),即(24,16).把點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,得②-①,得a=-3,③-①,得a=-6,∴2sin-2sinφ=sin-sinφ,∴cosφ+sinφ=cosφ+sinφ,cosφ=sinφ=sinφ,∴tanφ=-0<φ<π,∴φ=,代入②,得b=19.將φ=,b=19代入①得,a=6.于是ABC段對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=6sin+19,由對稱性得DEF段對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=6sin(68-x)++19.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(xF,yF),則由(68-xF)+,解得xF=92.因此可知,當(dāng)x=92時,股價(jià)見頂.(2)由(1)可知,yF=6sin+19=6sin+19=25,故這次操作老張能賺3000×(25-16)=27000(元).22.解(1)由題意,函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為,所以T=π,可得ω=2.又f(x)為奇函數(shù),且f(x)在x=0處有定義,可得f(0)=2sin=0,所以φ-=kπ,k∈Z,因?yàn)?<φ<π,所以φ=,因此f(x)=2sin2x.令+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z,又因?yàn)閤,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度,可得y=2sin的圖象,再把橫坐標(biāo)縮小為原來的,得到函數(shù)y=g(x)=2sin4x-的圖象,當(dāng)x時,4x-,當(dāng)4x-=-時,函數(shù)g(x)取得最小值,且最小值為-2,當(dāng)4x-時,函數(shù)g(x)取得最大值,且最大值為,故函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇-2,]. (3)由方程g(x)=,即2sin,即sin4x-=(*)因?yàn)閤,可得4x-,設(shè)θ=4x-,其中,則方程(*)可轉(zhuǎn)化為sinθ=,結(jié)合正弦函數(shù)y=sinθ的圖象,如圖,可得方程sinθ=在區(qū)間上有5個解,設(shè)這5個解分別為θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,所以n=5,其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=