專題過關(guān)檢測六　解析幾何一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.　　　　　　　　　　　　　　1.(2021·廣東潮州高三二模)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:x+2y+5=0,則雙曲線的離心率為(　　)A.2B.C.D.2.(2021·浙江寧波三模)“點(diǎn)(a,b)在圓x2+y2=1外”是“直線ax+by+2=0與圓x2+y2=1相交”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.(2021·陜西寶雞三模)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓x2+y2-10y=0截得的線段長等于8,則雙曲線C的離心率為(　　)A.B.C.3D.4.(2021·廣東肇慶高三第三次檢測)已知F是橢圓C:=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),過橢圓C的下頂點(diǎn)且斜率為的直線與以點(diǎn)F為圓心、半焦距為半徑的圓相切,則橢圓C的離心率為(　　)A.B.C.D.5.(2021·寧夏銀川二模)已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)的直線l與該曲線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn),則|AF|+|BF|=(　　)A.4B.6C.8D.126.(2021·廣東茂名二模)已知點(diǎn)P是雙曲線C:=1右支上一點(diǎn),F1,F2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn).若△PF1F2的周長為16,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則=(　　)A.20B.-20C.40D.-407.(2021·四川成都石室中學(xué)一模)已知圓C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=49,動圓C滿足與C1外切且與C2內(nèi)切,若M為C1上的動點(diǎn),且=0,則||的最小值為(　　)A.B.C.2D.8.(2021·北京石景山一模)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC,AB=AC=4,點(diǎn)B(-1,3),點(diǎn)C(4,-2),且其“歐拉線”與圓M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.則圓M上的點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的最小值為(　　)A.2B.3C.4D.6二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.(2021·湖南師大附中月考)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),點(diǎn)P在l上的射影為P1,則(　　)A.|PQ|的最小值為4B.已知曲線C上的兩點(diǎn)S,T到點(diǎn)F的距離之和為10,則線段ST的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4C.設(shè)M(0,1),則|PM|+|PP1|≥D.過M(0,1)與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)的直線至多有2條10.(2021·湖南衡陽高三二模)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過F的直線與C分別交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則(　　)A.y1y2為定值B.∠AOB可能為直角C.以AF為直徑的圓與y軸有兩個交點(diǎn) D.對于確定的直線AB,在C的準(zhǔn)線上存在三個不同的點(diǎn)P1,P2,P3,使得△ABPi(i=1,2,3)為直角三角形11.(2021·新高考Ⅰ,11)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),B(0,2),則(　　)A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)∠PBA最小時,|PB|=3D.當(dāng)∠PBA最大時,|PB|=312.(2021·遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)若雙曲線C:=1,F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上且是第一象限內(nèi)的動點(diǎn),點(diǎn)I為△PF1F2的內(nèi)心,點(diǎn)G為△PF1F2的重心,則下列說法正確的是(　　)A.雙曲線C的離心率為B.點(diǎn)I的運(yùn)動軌跡為雙曲線的一部分C.若|PF1|=2|PF2|,=x+y,則y-x=D.存在點(diǎn)P,使得IG∥F1F2三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2021·全國乙,文14)雙曲線=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為　　　　　.?14.(2021·廣東湛江高三二模)已知F1,F2分別是雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn),且∠F1PF2=,△F1PF2的面積為a2,則雙曲線C的漸近線方程為　　　　　.?15.(2021·北京八一中學(xué)期末)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地,他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓Γ:=1(a>b>0),A,B為橢圓Γ長軸的端點(diǎn),C,D為橢圓Γ短軸的端點(diǎn),動點(diǎn)M滿足=2,△MAB的面積的最大值為8,△MCD的面積的最小值為1,則橢圓Γ的離心率為　　　　　.?16.(2021·山東青島一模)2021年是中國傳統(tǒng)的“?！蹦?可以在平面直角坐標(biāo)系中用拋物線與圓勾勒出牛的形象.已知拋物線Z:x2=4y的焦點(diǎn)為F,圓F:x2+(y-1)2=4與拋物線Z在第一象限的交點(diǎn)為P,直線l:x=t(0b>0)的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)A.設(shè)橢圓 C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓C上的一個動點(diǎn)(異于橢圓C的左、右頂點(diǎn)).(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)P作橢圓C的切線l,過點(diǎn)F1作l的垂線,垂足為Q,求△QF1F2面積的最大值.19.(12分)(2021·江蘇泰州模擬)已知橢圓P:+y2=1的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)M(x0,y0)是橢圓P上異于A的一點(diǎn),MN⊥x軸于點(diǎn)N,B是MN的中點(diǎn),過動點(diǎn)M(x0,y0)的直線l:x0x+4y0y=4與直線AB交于點(diǎn)C.(1)當(dāng)x0=時,求證:直線l與橢圓P只有一個公共點(diǎn);(2)求證:點(diǎn)C在定直線上運(yùn)動.20.(12分)(2021·安徽馬鞍山二模(理))已知雙曲線x2-=1(b≠1)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線作垂線,垂足為P,直線AP與雙曲線的左支交于點(diǎn)B.(1)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求線段OP的長度;(2)求證:PF平分∠BFA. 21.(12分)已知橢圓=1(a>b>0)和直線l:=1,橢圓的離心率e=,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點(diǎn)E(-1,0),若直線m過點(diǎn)P(0,2),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),試判斷是否存在直線m,使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E?若存在,求出直線m的方程;若不存在,請說明理由.22.(12分)(2021·湖南衡陽八中月考)已知雙曲線C:=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,其離心率為,且過點(diǎn)P(4,2).(1)求雙曲線C的方程;(2)過F1的兩條相互垂直的直線分別交雙曲線于A,B和C,D,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),連接MN,過坐標(biāo)原點(diǎn)O作MN的垂線,垂足為H,是否存在定點(diǎn)G,使得|GH|為定值?若存在,求此定點(diǎn)G;若不存在,請說明理由. 專題過關(guān)檢測六　解析幾何1.D　解析:因?yàn)殡p曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:x+2y+5=0,所以-=-,所以=e2-1=,由e>1,解得e=2.B　解析:命題p:點(diǎn)(a,b)在圓x2+y2=1外等價于a2+b2>1,命題q:直線ax+by+2=0與圓x2+y2=1相交等價于<1?a2+b2>4,從而有pq,q?p,所以p是q的必要不充分條件.3.D　解析:雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,即ay±bx=0.圓的方程x2+y2-10y=0可化為x2+(y-5)2=25,則圓心為(0,5),半徑為5,圓心到漸近線的距離為d=,由弦長公式可得8=2,化簡可得b2=a2,∴c2=a2+b2=a2,則e=4.A　解析:過橢圓C的下頂點(diǎn)(0,-b)且斜率為的直線方程為y=x-b,即x-y-b=0,F(c,0),由點(diǎn)到直線距離公式及直線與圓相切,得c=,即c2=-bc+b2,(2c-b)(c+2b)=0,又c+2b>0,則2c-b=0,b=2c.又a2=b2+c2,即a2=(2c)2+c2=5c2,解得5.B　解析:拋物線y2=8x中,p=4,其焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線方程x=-2,過點(diǎn)A,B,P作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M,N,R(圖略).由拋物線定義可知,|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.而P恰好為AB的中點(diǎn),故PR是梯形ABNM的中位線,故|AM|+|BN|=2|PR|,又P(1,1),故|PR|=1+=3,所以|AF|+|BF|=2×3=6.6.B　解析:因?yàn)閨F1F2|=2c=6,△PF1F2的周長為16,所以|PF1|+|PF2|=10.因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=7,|PF2|=3,所以)·()=)=(32-72)=-20.7.B　解析:易知圓C1的圓心C1(-2,0),圓C1的半徑為r1=1.圓C2的圓心C2(2,0),半徑為r2=7.|C1C2|=4<|r1-r2|,所以圓C1內(nèi)含于圓C2.設(shè)圓C的半徑為R,則故|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=4, 故圓心C的軌跡為橢圓,且該橢圓的焦點(diǎn)為C1,C2.設(shè)該橢圓的方程為=1(a>b>0),焦距為2c(c>0),則2a=8,可得a=4;由2c=4,可得c=2;b==2,所以點(diǎn)C的軌跡方程為=1.由=0,得CM⊥C1M,且||=1,由橢圓的幾何性質(zhì)可得||min=a-c=2,故||min=8.A　解析:因?yàn)樵凇鰽BC中,AB=AC=4,所以BC邊上的高線、垂直平分線和中線合一,則其“歐拉線”為△ABC邊BC的垂直平分線AD.因?yàn)辄c(diǎn)B(-1,3),點(diǎn)C(4,-2),所以D因?yàn)橹本€BC的斜率為=-1,所以BC的垂直平分線的斜率為1.所以BC的垂直平分線方程為y-=x-,即x-y-1=0.因?yàn)椤皻W拉線”與圓M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,所以圓心(a,a-3)到“歐拉線”的距離為=r,可得r=因?yàn)閳A心(a,a-3)到直線x-y+3=0的距離為=3,所以圓M上的點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的最小值為3=29.ABC　解析:由題意知,=1,拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.對于A,當(dāng)PQ⊥x軸時,|PQ|取得最小值,最小值為2p=4,所以A正確;對于B,曲線C上的兩點(diǎn)S,T到點(diǎn)F的距離之和為10,所以點(diǎn)S,T的橫坐標(biāo)之和為10-2=8,則線段ST的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,所以B正確;對于C,設(shè)M(0,1),則|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|FM|=,當(dāng)且僅當(dāng)M,P,F三點(diǎn)共線時取等號,所以C正確;對于D,當(dāng)直線過點(diǎn)M(0,1)且與x軸平行時,直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn).過點(diǎn)M(0,1)且與拋物線相切的直線有兩條,此時直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn),所以過點(diǎn)M(0,1)與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)的直線有3條,所以D錯誤.10.AD　解析:設(shè)lAB:x=ty+1,與y2=4x聯(lián)立消去x,得y2-4ty-4=0,Δ>0恒成立,y1y2=-4,故A對;因?yàn)閤1x2==1,所以kOA·kOB=-1,所以∠AOB,故B錯;設(shè)AF的中點(diǎn)M,,則以AF為直徑的圓與y軸相切,故C錯;設(shè)AB的中點(diǎn)N,N到C準(zhǔn)線的距離為+1,因?yàn)?1,故有以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切,對于確定的直線AB,當(dāng)P1為直角,此時P1為切點(diǎn);當(dāng)A或B為直角,此時P2為過點(diǎn)A的AB的垂線與準(zhǔn)線的交點(diǎn),P3為過點(diǎn)B的AB的垂線與準(zhǔn)線的交點(diǎn),故D正確.11. ACD　解析:如圖,記圓心為M,半徑為r,則M(5,5),r=4.由條件得,直線AB的方程為=1,整理得x+2y-4=0,過點(diǎn)M作MN垂直于直線AB,垂足為N,直線MN與圓M分別交于點(diǎn)P1,P2,圓心M(5,5)到直線AB的距離|MN|=,于是點(diǎn)P到直線AB的距離最小值為|P2N|=|MN|-r=-4,最大值為|P1N|=|MN|+r=+4.又-4<2,+4<10,故A正確,B錯誤;過點(diǎn)B分別作圓的兩條切線BP3,BP4,切點(diǎn)分別為點(diǎn)P3,P4,則當(dāng)點(diǎn)P在P3處時∠PBA最大,在P4處時∠PBA最小.又|BP3|=|BP4|==3,故C,D正確.故選A,C,D.12.ACD　解析:由題意,雙曲線C:=1,可得a=2,b=,c==3,則離心率為e=,所以A正確;設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,△PF1F2的內(nèi)切圓與邊PF1切于點(diǎn)S,與邊PF2切于點(diǎn)K,與邊F1F2切于點(diǎn)T,可得|PS|=|PK|,|F1S|=|F1T|,|F2T|=|F2K|.由雙曲線的定義可得m-n=2a,即|F1S|-|F2K|=|F1T|-|F2T|=2a.又由|F1T|+|F2T|=2c,解得|F2T|=c-a,則T的橫坐標(biāo)為a,由I與T的橫坐標(biāo)相同,可得I的橫坐標(biāo)為a=2,可得I在定直線x=2上運(yùn)動,所以B不正確;由|PF1|=2|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2a=4,解得|PF1|=8,|PF2|=4,又|F1F2|=2c=6,所以cos∠PF1F2=,可得sin∠PF1F2=,所以tan∠PF1F2=,同理可得tan∠PF2F1=-設(shè)直線PF1:y=(x+3),直線PF2:y=(x-3),聯(lián)立求得P(4,).設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r,則8×6(8+4+6)·r,解得r=,即有I,可得=-2,-,=(-7,-),=(-1,-),由=x+y,可得解得x=,y=,可得y-x=,所以C正確;設(shè)P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則G設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r,則|F1F2|×y0=(m+n+2c)·r,于是cy0=(m+n+2c)·r,可得r=若IG∥F1F2,可得,即m+n=4c=12.又由m-n=2a=4,聯(lián)立可得n=4,因此解得 即存在點(diǎn)P(4,),使得IG∥F1F2,所以D正確.13　解析:由雙曲線方程可得c==3,即雙曲線的右焦點(diǎn)為F(3,0).則點(diǎn)F到直線x+2y-8=0的距離d=14.x±y=0　解析:因?yàn)閨|PF1|-|PF2||=2a,=4c2,則2|PF1|·|PF2|==4c2-4a2=4b2,所以|PF1|·|PF2|=2b2.因?yàn)椤螰1PF2=,所以|PF1||PF2|=b2=a2,可得a=b.所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x=±x,即x±y=0.15　解析:設(shè)點(diǎn)M(x,y),設(shè)點(diǎn)A(-a,0),B(a,0),由=2可得|MA|=2|MB|,即=2整理可得x2+y2-x+a2=0,即+y2=a2,所以,點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心,以a為半徑的圓.點(diǎn)M到x軸的距離的最大值為a,則△MAB的面積的最大值為2aa==8,解得a=點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為,則△MCD的面積的最小值為2b=1,可得b=c=,因此,橢圓Γ的離心率為e=16.2　(4,6)　解析:如圖所示.由解得故m=2.由解得所以A由解得所以B(t,1+).由拋物線的定義,知AF=AC,△FAB的周長=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=+4.因?yàn)閠∈(0,2),所以+4∈(4,6).17.解(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),根據(jù)題意得,化簡得動點(diǎn)P的軌跡方程為y2=x.(2)∵M(jìn)(3,),(x-2)2+y2=1,∴x=3即圓的一條切線,A(3,-).設(shè)過M的另一條切線斜率為k,k≠0,則切線方程為y-=k(x-3),又設(shè)B(x1,y1).由方程組得y2-y+-2=0,+y1=,y1=∵直線為y-=k(x-3),其與圓相切,=1,∴k=∴y1=B滿足y2=x,∴B,∴|AB|=||=18.解(1)由橢圓C的離心率,可得,即有a2=4c2.再結(jié)合a2=b2+c2,可得b2=3c2.橢圓C的方程可化為=1,將點(diǎn)A代入上述橢圓方程可得=1. 解得c2=1,所以c=1,a=2,b=橢圓C的方程為=1.(2)設(shè)直線l:y=kx+m,聯(lián)立直線l與橢圓C的方程消去y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.若直線l與橢圓C相切,可得上述方程的Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡可得m2=4k2+3,(*)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),過點(diǎn)F1作l的垂線為l1:y=-(x+1),聯(lián)立l1與l求得x=,y=由上式可得x2+y2=,將(*)代入上式可得x2+y2=4,故可知點(diǎn)Q的軌跡為以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓.∵P是橢圓C上的異于橢圓左右頂點(diǎn)的動點(diǎn),故該軌跡應(yīng)去掉點(diǎn)(±2,0),∴△QF1F2的面積為|F1F2|·|yQ|=|yQ|≤2,即△QF1F2面積的最大值為2.19.證明(1)不妨設(shè)y0>0,當(dāng)x0=時,由=1得y0=,所以直線l的方程為x+4y=4,即y=-x+由解得故直線l與橢圓P的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以直線l與橢圓P只有一個公共點(diǎn).(2)因?yàn)镸(x0,y0)(不妨取y0>0),MN⊥x軸,B是MN的中點(diǎn),所以B因?yàn)閥0>0,所以x0≠2,所以直線AB的方程為y=(x-2),即y=(x-2),聯(lián)立得(+2-2x0)x=4x0-8+4又因?yàn)?1,所以=1-,因此x=4x0-8+4,即(x0-2)2x=-(x0-2)2,所以x=-2,所以點(diǎn)C在定直線x=-2上運(yùn)動.20.(1)解不妨設(shè)B在第二象限,則漸近線OP的方程為y=-bx,則直線PF的方程為y=(x+c).由得xP=-=-,yP=,故P故|OP|==1.(2)證明設(shè)直線PF的傾斜角為θ,則tanθ=,tan2θ=又A(1,0),故直線AP的斜率為=-,則直線AP的方程為y=-(x-1).由得(c2+2c)x2+2x-(c2+2c+2)=0,xB=xAxB=-,yB=-(xB-1)=又F(-c,0),故直線BF的斜率為=tan2θ,故PF平分∠BFA.21.解(1)由直線l:=1,,即4a2b2=3a2+3b2.①∵e=,得,即c2=a2.又a2=b2+c2,∴b2=a2.②將②代入①得,即a4=4a2,∴a2=3,c2=2,b2=1.故所求橢圓的方程是+y2=1.(2)①當(dāng)直線m的斜率不存在時,直線m方程為x=0, 則直線m與橢圓的交點(diǎn)為(0,±1),∵E(-1,0),∴∠CED=90°,即以CD為直徑的圓過點(diǎn)E.②當(dāng)直線m的斜率存在時,設(shè)直線m方程為y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),由得(1+3k2)x2+12kx+9=0.由Δ=144k2-4×9(1+3k2)=36k2-36>0,得k>1或k<-1,∴x1+x2=,x1x2=∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4.∵以CD為直徑的圓過點(diǎn)E,∴EC⊥ED,即=0.由=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),得(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.+(2k+1)+5=0,解得k=>1,即m的方程:y=x+2.綜上所述,當(dāng)以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E時,直線m的方程為x=0或y=x+2.22.解(1)由題可知雙曲線C的方程是=1.(2)存在定點(diǎn)G(-2,0),使得|GH|為定值,理由如下:由題意可知,若直線AB和CD其中一條沒有斜率,則H點(diǎn)為(0,0),直線MN的方程為y=0,當(dāng)直線AB和CD都有斜率時,因?yàn)辄c(diǎn)F1(-2,0),設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2),設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),聯(lián)立方程組得(1-2k2)x2-8k2x-16(3k2+1)=0,所以xA+xB=,xAxB=,故xM=,yM=k設(shè)直線CD的方程為y=-(x+2),設(shè)C(xC,yC),D(xD,yD),N(xN,yN),同理可得xC+xD=,xCxD=,故xN=,yN=-,所以kMN==-由y-yM=kMN(x-xM),得直線MN的方程為y-k=-,化簡得y=-,可知直線MN過定點(diǎn)P(-4,0).又因?yàn)镺H⊥MN,所以點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)(-2,0)為圓心,以|OP|=2為直徑的圓,所以存在定點(diǎn)G(-2,0),使得|GH|為定值2