專題過關(guān)檢測三 數(shù)列一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2021·廣東珠海高三二模)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,a3+a5=10,S5=15,則S6=( )A.18B.30C.36D.242.(2021·北京朝陽期末)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a3=9,則log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=( )A.B.C.10D.153.(2021·湖北荊州中學月考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若,則=( )A.B.C.D.4.(2021·廣東潮州高三二模)中國古代數(shù)學名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰:“陰陽之數(shù),日月之法,十九歲為一章,四章為一部,部七十六歲,二十部為一遂,遂一千五百二十歲……生數(shù)皆終,萬物復蘇,天以更元作紀歷”.現(xiàn)有20位老人,他們的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂,其中最年長者的年齡大于90且不大于100,其余19人的年齡依次相差一歲,則這20位老人的年齡極差為( )A.28B.29C.30D.325.(2021·四川成都二診)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn,則T20的值為( )A.B.C.D.6.(2021·廣東深圳高三二模)在一個正三角形的三邊上,分別取一個距頂點最近的十等分點,連接形成的三角形也為正三角形(如圖1所示,圖中共有2個正三角形).然后在較小的正三角形中,以同樣的方式形成一個更小的正三角形,如此重復多次,可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形(圖中共有11個正三角形),這個過程稱之為迭代.在邊長為243的正三角形三邊上,分別取一個三等分點,連接成一個較小的正三角形,然后迭代得到如圖3所示的圖形(圖中共有10個正三角形),其中最小的正三角形面積為( )A.B.1C.D.7.(2021·陜西西安鐵一中月考)在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2n(n∈N*)的整數(shù),則其余整數(shù)的和是( )A.3928B.4024C.4920D.49248.已知函數(shù)f(n)=且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( )A.0B.100C.-100D.10200二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.(2021·遼寧沈陽三模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=4n-1+t,則( )A.首項a1不確定B.公比q=4C.a2=3D.t=-10.(2021·山東臨沂模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,則下列結(jié)論
一定正確的是( )A.a5=1B.Sn的最小值為S3C.S1=S6D.Sn存在最大值11.(2021·湖南衡陽高三一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若為常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”.則下列數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”的有( )A.bn=nB.bn=(-1)n(n+1)C.bn=4n-2D.bn=2n12.(2021·廣東廣州一模)在數(shù)學課堂上,教師引導學生構(gòu)造新數(shù)列:在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和,形成新的數(shù)列,再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進行構(gòu)造,第1次得到數(shù)列1,3,2;第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2;……第n(n∈N*)次得到數(shù)列1,x1,x2,x3,…,xk,2.記an=1+x1+x2+…+xk+2,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則( )A.k+1=2nB.an+1=3an-3C.an=D.Sn=三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2021·河北石家莊高三二模)在等比數(shù)列{an}中,a5a9-2a7=0,則a7= .?14.(2021·湖南桃源一中高三月考)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,2Sn=Sn+1,則a2+a4+…+a2n= .?15.將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為 .?16.(2021·新高考Ⅰ,16)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時,發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙,對折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ;如果對折n次,那么Sk= dm2.?四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)(2021·海南?？谀M)已知正項等比數(shù)列{an},a4=,a5a7=256.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{|log2an|}的前n項和.18.(12分)(2021·全國甲,理18)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列;②數(shù)列{}是等差數(shù)列;③a2=3a1.19.(12分)(2021·湖南長郡中學高三月考)在公比大于0的等比數(shù)列{an}中,已知a2,a3,6a1依次組成公差為4的等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.20.(12分)(2021·湖南益陽箴言中學高三模擬)在①S5=50,②S1,S2,S4成等比數(shù)列,③S6=3(a6+2)這三個條件中任選兩個,補充到下面問題中,并作答.問題:已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),前n項和為Sn,且滿足 .?(1)求an;(2)若bn-bn-1=2an(n≥2),且b1-a1=1,求數(shù)列的前n項和Tn.21.(12分)(2021·山東泰安一中月考)為了加強環(huán)保建設(shè),提高社會效益和經(jīng)濟效益,某市計劃用若干年更換1萬輛燃油型公交車,每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動力型車.今年年初投入了電力型公交車128輛,混合動力型公交車400輛,計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動力型車每年比上一年多投入a輛.(1)求經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)F(n);(2)若該市計劃用7年的時間完成全部更換,求a的最小值.22.(12分)(2021·廣東廣州檢測)已知數(shù)列{an}滿足a1=,且當n≥2時,a1a2…an-1=-2.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;(2)記Tn=a1a2…an,Sn=+…+,求證:當n∈N*時,an+1-
0,所以,所以{an}是首項為243,公比為的等比數(shù)列,所以an=243×n-1=n-11,所以a10=,所以最小的正三角形的面積為sin60°=7.D 解析:由2n∈[1,100],n∈N*,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26==126.又1+2+3+…+100==5050,所以在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2n(n∈N*)的整數(shù),其余整數(shù)的和為5050-126=4924.8.B 解析:由已知得當n為奇數(shù)時,an=n2-(n+1)2=-2n-1,當n為偶數(shù)時,an=-n2+(n+1)2=2n+1.所以a1+a2+a3+…+a100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.9.BCD 解析:當n=1時,a1=S1=1+t,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(4n-1+t)-(4n-2+t)=3×4n-2.由數(shù)列{an}為等比數(shù)列,可知a1必定符合an=3×4n-2,所以1+t=,即t=-所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3×4n-2,a2=3,數(shù)列{an}的公比q=4.故選BCD.
10.AC 解析:由已知得a1+3(a1+4×1)=7a1+1,解得a1=-3.對于選項A,a5=-3+4×1=1,故A正確.對于選項B,an=-3+n-1=n-4,因為a1=-3<0,a2=-2<0,a3=-1<0,a4=0,a5=1>0,所以Sn的最小值為S3或S4,故B錯誤.對于選項C,S6-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4,又因為a4=0,所以S6-S1=0,即S1=S6,故C正確.對于選項D,因為Sn=-3n+,所以Sn無最大值,故D錯誤.11.BC 解析:對于A,Sn=,S2n=n(1+2n),S4n=2n(1+4n),所以不為常數(shù),故A不正確;對于B,S2n=(b2+b4+b6+…+b2n)+(b1+b3+b5+…+b2n-1)==n,S4n=2n,所以,故B正確;對于C,Sn=n=2n2,S2n=8n2,S4n=32n2,所以,故C正確;對于D,Sn==2(2n-1),S2n=2(4n-1),S4n=2(16n-1),所以不為常數(shù),故D錯誤.故選BC.12.ABD 解析:由題意,可知第1次得到數(shù)列1,3,2,此時k=1,第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2,此時k=3,第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此時k=7,第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此時k=15,……第n次得到數(shù)列1,x1,x2,x3,…,xk,2,此時k=2n-1,所以k+1=2n,故A項正確.當n=1時,a1=1+3+2=6,當n=2時,a2=a1+2a1-3=3a1-3,當n=3時,a3=a2+2a2-3=3a2-3,……所以an+1=3an-3,故B項正確.由an+1=3an-3,得an+1-=3,又a1-,所以是首項為,公比為3的等比數(shù)列,所以an-3n-1=,即an=,故C項錯誤.Sn=+…+3n+1+2n-3,故D項正確.13.2 解析:由等比中項性質(zhì)可得a5a9-2a7=-2a7=a7(a7-2)=0,又{an}為等比數(shù)列,所以a7≠0,所以a7=2.14 解析:因為2Sn=Sn+1=Sn+an+1,所以an+1=Sn,所以an=Sn-1(n≥2),所以an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),所以數(shù)列{an}從第二項開始是公比為2的等比數(shù)列,且a2=S1=1,所以數(shù)列a2,a4,…,a2n是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,則a2+a4+…+a2n=15.3n2-2n 解析:數(shù)列{2n-1}的項均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項均為奇數(shù),所有偶數(shù)項均為偶數(shù),并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項就是{3n-2}的所有奇數(shù)項,這些項從小到大排列得到的新數(shù)列{an}是以1為首項,以6為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前n項和為Sn=n×1+6=3n2-2n.16.5 240 解析:對折3次共可以得到dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dmdm四種規(guī)格的圖形,面積之和S3=4×30=120dm2;對折4次共可以得到dm×12dm,dm×6dm,5dm×3dm,10dmdm,20dmdm五種規(guī)格的圖形,S4=5×15=75dm2.可以歸納對折n次可得n+1種規(guī)格的圖形,Sn=(n+1)dm2.
則Sk=S1+S2+…+Sn=240+…+.記Tn=+…+,①則Tn=+…+②①與②式相減,得Tn-Tn=Tn=+…+故Tn=3-故Sk=240·Tn=24017.解(1)設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0).由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5a7==256,因為an>0,所以a6=16.所以q2==256,即q=16.所以an=a6qn-6=16×16n-6=16n-5.(2)由(1)可知log2an=log216n-5=4n-20,設(shè)bn=|log2an|=|4n-20|,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.①當n≤5,且n∈N*時,Tn==18n-2n2;②當n≥6,且n∈N*時,Tn=T5+=18×5-2×52+(2n-8)(n-5)=2n2-18n+80.綜上所述,Tn=18.證明若選①②?③,設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1,數(shù)列{}的公差為d2.∵當n∈N*時,an>0,∴d1>0,d2>0.∴Sn=na1+n2+n.又+(n-1)d2,∴Sn=a1+(n-1)2+2d2(n-1)=n2+(2d2-2)n+-2d2+a1,,a1-=2d2-2-2d2+a1=0,,d2=,即d1=2a1,∴a2=a1+d1=3a1.若選①③?②,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a2=3a1,所以a1+d=3a1,則d=2a1,所以Sn=na1+d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以=n-(n-1)所以{}是首項為,公差為的等差數(shù)列.若選②③?①,設(shè)數(shù)列{}的公差為d,則=d,即=d.∵a2=3a1,=d,即d=,+(n-1)d=+(n-1)=n,即Sn=n2a1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,當n=1時,a1符合式子an=(2n-1)a1,∴an=(2n-1)a1,n∈N*,∴an+1-an=2a1,即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.19.解(1)設(shè){an}的公比為q,因為a2,a3,6a1成等差數(shù)列,所以a2+6a1=2a3,則2q2-q-6=0,又q>0,所以q=2.又因為a3-a2=4,即a1q2-a1q=4,所以a1=2,所以an=2×2n-1=2n.(2)由(1)可知cn=,則Tn=+…+,①Tn=+…+,②
①-②得Tn=+2+…+-=-+2=-,故Tn=-1-20.解(1)選擇條件①②由S5=50,得5a1+d=5(a1+2d)=50,即a1+2d=10,由S1,S2,S4成等比數(shù)列,得=S1S4,即4+4a1d+d2=4+6a1d,即d=2a1,聯(lián)立解得a1=2,d=4,因此an=4n-2.選擇條件①③由S5=50,得5a1+d=5(a1+2d)=50,即a1+2d=10,由S6=3(a6+2),得=3a1+3a6=3a6+6,即a1=2,解得d=4,因此an=4n-2.選擇條件②③由S1,S2,S4成等比數(shù)列,得=S1S4,即4+4a1d+d2=4+6a1d,即d=2a1,由S6=3(a6+2),得=3a1+3a6=3a6+6,即a1=2,解得d=4,因此an=4n-2.(2)由a1=2,an=4n-2可得b1=a1+1=3,bn-bn-1=2an=8n-4(n≥2),則當n≥2時,(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)=(8n-4)+(8n-12)+…+12==4n2-4,即bn-b1=4n2-4,則bn=4n2-1,又b1=3符合上式,所以bn=4n2-1.則,因此Tn=+…+=1-=21.解(1)設(shè)an,bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量,依題意,數(shù)列{an}是首項為128,公比為1+50%=的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為400,公差為a的等差數(shù)列.所以數(shù)列{an}的前n項和Sn==256,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=400n+a.所以經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)F(n)=Sn+Tn=256+400n+a.(2)若用7年的時間完成全部更換,則F(7)≥10000,即256+400×7+a≥10000,即21a≥3082,所以a又a∈N*,所以a的最小值為147.22.證明(1)因為當n≥2時,a1a2…an-1=-2,所以a1a2…an=-2,兩式相除,可得an=,所以-1,所以=1(n≥2).又a1=,所以a2==3,=4,所以=1,所以=1(n∈N*),所以數(shù)列是首項為3,公差為1的等差數(shù)列.所以=3+(n-1)×1=n+2,所以an=
(2)因為Tn=a1a2…an=…,所以,所以Sn=+…++…+=1-=an+1-,所以當n∈N*時,an+1-
