專題過關(guān)檢測(cè)一　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2021·全國乙,理4)設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+12.(2021·江蘇南通二模)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=3x+2x,則不等式f(x-2)<13的解集為(　　)A.(-∞,0)∪(4,+∞)B.(0,4)C.(0,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)3.(2021·福建廈門第三次質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x2-x-asinπx+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a=(　　)A.B.C.D.24.(2021·河南鄭州一模)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)且滿足f(x-1)=f(x+1),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=5x(1-x),則f(-2020.6)=(　　)A.B.C.-D.-5.(2021·江西南昌一模)已知f(x)=若f(x)=有兩個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A.0,B.0,C.(1,2]D.(1,2)6.(2021·廣東廣州三模)若f(x)=,則(　　)A.f>f()>f(ln2)B.f>f(ln2)>f()C.f()>f(ln2)>fD.f(ln2)>f()>f7.(2021·廣東汕頭三模)區(qū)塊鏈作為一種革新的技術(shù),已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域,包括金融、政務(wù)服務(wù)、供應(yīng)鏈、版權(quán)和專利、能源、物聯(lián)網(wǎng)等.在區(qū)塊鏈技術(shù)中,若密碼的長度設(shè)定為256比特,則密碼一共有2256種可能,因此,為了破解密碼,最壞情況需要進(jìn)行2256次哈希運(yùn)算.現(xiàn)在有一臺(tái)機(jī)器,每秒能進(jìn)行2.5×1011次哈希運(yùn)算,假設(shè)機(jī)器一直正常運(yùn)轉(zhuǎn),那么在最壞情況下,這臺(tái)機(jī)器破譯密碼所需時(shí)間大約為(　　)(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.4.5×1073秒B.4.5×1065秒C.4.5×107秒D.28秒8.(2021·河北唐山期末)已知函數(shù)f(x)=ln(2x+1),g(x)=2mx+m,若f(x)≤g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)A.-∞,B.0,C.,+∞D(zhuǎn).[e,+∞)二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.(2021·廣東廣州檢測(cè))一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲(chǔ)存貨物,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息:每月土地占地費(fèi)y1(單位:萬元)與倉庫到車站的距離x(單位:km)成反比,每月庫存貨物費(fèi)y2(單位:萬元)與x成正比,若在距離車站10km處建倉庫,則y1為1萬元,y2為4萬元,下列結(jié)論正確的是(　　) A.y1=B.y2=0.4xC.y1+y2有最小值4D.y1-y2無最小值10.(2021·山東師大附中月考)已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則以下幾個(gè)結(jié)論正確的是(　　)A.0C.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>011.(2021·河北邯鄲高三一模)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=m恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2(x10)與曲線g(x)=x2-m(m>0)有公共點(diǎn),且在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)處的切線相同(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則當(dāng)m變化時(shí),實(shí)數(shù)a取以下哪些值能滿足以上要求(　　)A.1B.eC.2eD.e2三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2021·廣東佛山一模)已知函數(shù)f(x)=-ex+ex2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是　　　　　.?14.(2021·河北秦皇島高三適應(yīng)性測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>1的解集為.15.(2021·山東臨沂期中)若函數(shù)f(x)=e2x-ax2+1在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　.?16.(2021·湖南師大附中三模)設(shè)s,t是兩個(gè)不相等的正數(shù),且s+slnt=t+tlns,則s+t-st的取值范圍為　　　　　.?四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)(2021·浙江月考)已知函數(shù)f(x)=(x-1)·|x-a|.(1)若a=2,求f(x)在區(qū)間0,上的最大值;(2)已知函數(shù)g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在實(shí)數(shù)a∈(-1,2],使得函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 18.(12分)(2021·上海三模)數(shù)學(xué)建模小組檢測(cè)到相距3米的A,B兩光源的強(qiáng)度分別為a,b,線段AB上任意一點(diǎn)C異于點(diǎn)A,B處的光強(qiáng)度y等于A,B兩光源到該處的光強(qiáng)度之和,設(shè)AC=x米.(1)假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比,與到光源的距離的平方成反比,比例系數(shù)為常數(shù)k(k>0),測(cè)得數(shù)據(jù):當(dāng)x=1時(shí),y=k;當(dāng)x=2時(shí),y=3k,求A,B兩光源的強(qiáng)度,并寫出函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比,與到光源的距離成反比,比例系數(shù)為常數(shù)k'(k'>0),測(cè)得數(shù)據(jù):當(dāng)x=1時(shí),y=k';當(dāng)x=2時(shí),y=2k',問何處的光強(qiáng)度最弱?并求最弱處的光強(qiáng)度.19.(12分)(2021·湖北荊州中學(xué)期中)已知f(x)=(lnx)2+2x-aex.(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的最大值;(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 20.(2021·河北保定高三二模)已知函數(shù)f(x)=xe2x-lnx-(a-2)x-1.(1)若a=4,判斷f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明:f(x)圖象與x軸相切;(2)若f(x)≥0對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍.21.(12分)(2021·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)g(x)=f(x)-cosx在區(qū)間-,+∞上的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 22.(12分)已知10時(shí),函數(shù)g(x),h(x)在x=處分別取得最小值和最大值a,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖象(圖略),由圖易知a=4.D　解析:對(duì)任意的x∈R,f(x-1)=f(x+1),即f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù),∴f(-2020.6)=f(-0.6),又f(x)為R上的奇函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=5x(1-x),因此f(-2020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5×0.6×(1-0.6)=- 5.D　解析:由題意,知a>0且a≠1.若00,且y=ax2單調(diào)遞增,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),logax≤0,且y=logax單調(diào)遞減,所以f(x)=不可能有兩個(gè)不同的解.若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),ax2>0,且y=ax2單調(diào)遞增,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),logax≥0,且y=logax單調(diào)遞增,所以若f(x)=有兩個(gè)不同的解,則所以1log33=1=20>>0,1=lne>ln2>ln所以log34>ln2>>0.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)=<0,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f()>f(ln2)>f故選C.7.B　解析:設(shè)這臺(tái)機(jī)器破譯密碼所需時(shí)間大約為x秒,則x·2.5×1011=2256,于是lg(x·2.5×1011)=lg2256,即lgx+lg5-lg2+11=256lg2,所以lgx=258lg2-12≈258×0.3010-12=65.658,所以x≈1065.658=1065×100.658,從選項(xiàng)考慮:lg4.5=lg=2lg3-lg2≈2×0.4771-0.3010=0.6532,所以4.5≈100.6532,所以x≈1065.658=1065×100.658≈4.5×1065.故選B.8.C　解析:函數(shù)f(x)=ln(2x+1),x>-,g(x)=2mx+m,f(x)≤g(x)恒成立,即ln(2x+1)≤2mx+m恒成立,即m在x>-時(shí)恒成立,令t=2x+1>0,即m在t>0時(shí)恒成立,即m(t>0).設(shè)g(t)=(t>0),則g'(t)=令g'(t)=0得t=e,則t∈(0,e)時(shí),g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增;t∈(e,+∞)時(shí),g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減.所以t=e時(shí),函數(shù)g(t)=(t>0)取得最大值g(e)=,即,所以m故選C.9.BCD　解析:對(duì)A,設(shè)y1=(k1≠0,x>0),由題意知函數(shù)圖象過點(diǎn)(10,1),即k1=10,∴y1=(x>0),故A錯(cuò)誤;對(duì)B,設(shè)y2=k2x(k2≠0,x>0),由題意,得函數(shù)圖象過點(diǎn)(10,4),即4=10k2,解得k2=0.4,∴y2=0.4x(x>0),故B正確;對(duì)C,y1+y2=+0.4x≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=0.4x,即x=5時(shí)等號(hào)成立,故C正確;對(duì)D,∵y1-y2=-0.4x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故y1-y2無最小值,故D正確.10.AD　解析:∵f(x)=xlnx+x2(x>0),∴f'(x)=lnx+1+2x.∵x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),∴f'(x0)=0,即lnx0+1+2x0=0.又f'>0,x→0,f'(x)→-∞,∴00;即C不正確;D正確.11.BC　解析:因?yàn)閒(x)=m的兩根為x1,x2(x10,ex+1>e0=1,-x+1>0,所以g'(x)>0在(-1,0]上恒成立,從而g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增.又g(0)=0,g(-1)=-,所以g(x)∈-,0, 即(x2-x1)·f(x2)的取值范圍是-,0.12.AB　解析:設(shè)公切點(diǎn)為(x0,y0)(x0>0),則y0=a-m,求導(dǎo)得,f'(x)=aex-2,g'(x)=2x,由切線相同知,f'(x0)=g'(x0),即a=2x0,則-m=2x0?m=-2x0>0?x0>2,由a=2x0,得a=,令h(x)=(x>2),則h'(x)=,當(dāng)x>2時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,h(x)1解得-11的解集為-1,.15.,+∞　解析:f'(x)=2e2x-2ax,由于f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,所以e2x-ax≤0在區(qū)間[1,2]上恒成立,即a在區(qū)間[1,2]上恒成立.令h(x)=,x∈[1,2],則h'(x)=>0,因此h(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,所以h(x)max=h(2)=,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是,+∞.16.(1,+∞)　解析:由已知s+slnt=t+tlns,可得,設(shè)f(x)=(x>0),則f'(x)=,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,如圖,畫出函數(shù)f(x)的大致圖象.由題意知f(s)=f(t),所以s,t為方程f(x)=m的兩個(gè)不同的解,不妨設(shè)s>t,則00,所以s+t-st>1.17.解(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=(x-1)|x-2|.若x∈[0,2],則f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-2+,所以f(x)max=f若x∈2,,則f(x)=(x-1)(x-2)=x-2-,在區(qū)間2,上單調(diào)遞增,所以f(x)max=f綜上,f(x)在區(qū)間0,上的最大值為(2)由題設(shè),令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0.所以當(dāng)a∈(-1,2]時(shí),關(guān)于x的方程x|x-a|-(x-a)=m有三個(gè)根,即當(dāng)a∈(-1,2]時(shí),函數(shù)h(x)=的圖象與直線y=m有三個(gè)交點(diǎn).當(dāng)-10,所以解得a=8,b=1,故y=,x∈(0,3),k>0.(2)由已知,得y=因?yàn)閤=1時(shí),y=k',x=2時(shí),y=2k',k'>0,所以解得a=2,b=1,故y=,x∈(0,3),k'>0.因?yàn)閥=(x+3-x)=3++2(3+2),當(dāng)且僅當(dāng)=2,即x=6-3時(shí)取等號(hào).所以線段AB上距離A光源(6-3)米的C處光強(qiáng)度最弱,且此處的光強(qiáng)度為(3+2).19.解(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=(lnx)2+2x,所以f'(x)=+2.設(shè)g(x)=f'(x),則g'(x)=令g'(x)=0,得x=e,且當(dāng)x∈(0,e)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.所以f'(x)max=g(x)max=g(e)=+2.(2)由于f'(x)=+2-aex,若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則f'(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),即a=有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,令函數(shù)h(x)=,問題轉(zhuǎn)化為曲線y=h(x)與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn).h'(x)=,在區(qū)間(0,1)上,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,所以h(x)max=h(1)=又因?yàn)楫?dāng)x趨近于0時(shí),h(x)趨近于負(fù)無窮,當(dāng)x趨近于正無窮時(shí),h(x)趨近于0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,.20.解(1)當(dāng)a=4時(shí),函數(shù)f(x)=xe2x-lnx-2x-1的定義域?yàn)閤∈(0,+∞),且f'(x)=e2x(1+2x)--2,令f'(x)=0,即e2x(1+2x)--2=0,設(shè)g(x)=e2x(1+2x)--2,可得g'(x)=e2x(4+4x)+,因?yàn)閤∈(0,+∞),所以g'(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增,即f'(x)單調(diào)遞增,又f'=1+-e-2=(e+2)(-1)<0,又由f'(1)=e2(1+2)-3=3e2-3>0,所以當(dāng)x∈,1時(shí),f'(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)x0∈,1,f'(x0)=0,即(1+2x0)=+2=,所以,即x0=1,2x0=-lnx0.由f(x0)=x0-lnx0-2x0-1,代入可得f(x0)=1+2x0-2x0-1=0.當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以x=x0是f(x)的極小值點(diǎn),函數(shù)f(x)只有1個(gè)極值點(diǎn),所以f(x)min=f(x0)=0,所以f(x)圖象與x軸相切. (2)由f(x)≥0對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立,即elnx+2x-(lnx+2x)-1≥(a-4)x恒成立,即a-4恒成立.令p(x)=e2x+lnx-(2x+lnx)-1,設(shè)q(x)=x+lnx,x∈(0,+∞),q(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=時(shí),q(x)<0,當(dāng)x=1時(shí),q(x)>0,所以存在唯一的x0∈(0,+∞),使得q(x0)=0,設(shè)h(t)=et-t-1,其中t=q(x),則t∈R,h'(t)=et-1,當(dāng)t∈(-∞,0)時(shí),h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減,當(dāng)t∈(0,+∞)時(shí),h'(t)>0,h(t)單調(diào)遞增,所以t=0時(shí),h(t)取得極小值也是最小值,即h(t)≥h(0)=0,當(dāng)t=0時(shí),等號(hào)成立,所以p(x)≥0,當(dāng)x=x0時(shí),等號(hào)成立,即0,當(dāng)x=x0時(shí),等號(hào)成立.所以a-4≤0,所以a≤4.21.解(1)f(x)=ex-ax,其定義域?yàn)镽,f'(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)>0得x>lna,令f'(x)<0得x0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(lna,+∞)上單調(diào)遞增.(2)(方法一)由已知得g(x)=ex-2x-cosx,x∈-,+∞,則g'(x)=ex+sinx-2.①當(dāng)x∈-,0時(shí),因?yàn)間'(x)=(ex-1)+(sinx-1)<0,所以g(x)在區(qū)間-,0上單調(diào)遞減,所以g(x)>g(0)=0,所以g(x)在區(qū)間-,0上無零點(diǎn);②當(dāng)x∈0,時(shí),因?yàn)間'(x)單調(diào)遞增,且g'(0)=-1<0,g'-1>0,所以存在x0∈0,,使g'(x0)=0,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x∈x0,時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間[0,x0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間x0,上單調(diào)遞增,且g(0)=0,所以g(x0)<0,又因?yàn)間-π>0,所以g(x0)·g<0,所以g(x)在區(qū)間x0,上存在一個(gè)零點(diǎn),所以g(x)在區(qū)間0,上有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)x∈,+∞時(shí),g'(x)=ex+sinx-2>-3>0,所以g(x)在區(qū)間,+∞上單調(diào)遞增,因?yàn)間>0,所以g(x)在區(qū)間,+∞上無零點(diǎn).綜上所述,g(x)在區(qū)間-,+∞上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(方法二)由已知得g(x)=ex-2x-cosx,x∈-,+∞,則g'(x)=ex+sinx-2.①當(dāng)x∈-,0時(shí),因?yàn)間'(x)=(ex-1)+(sinx-1)<0,所以g(x)在區(qū)間-,0 上單調(diào)遞減,所以g(x)>g(0)=0,所以g(x)在區(qū)間-,0上無零點(diǎn);②當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),令s(x)=g'(x),則s'(x)=ex+cosx>0,所以g'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,又因?yàn)間'(0)=-1<0,g'(π)=eπ+sinπ-2=eπ-2>0,所以?x0∈(0,π)使g'(x0)=0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間(0,x0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,+∞)上單調(diào)遞增,且g(0)=0,所以g(x0)<0,又因?yàn)間(π)=eπ+1-2π>0,所以g(x0)·g(π)<0,所以g(x)在區(qū)間(x0,+∞)上存在唯一零點(diǎn),所以g(x)在區(qū)間[0,+∞)上存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述,g(x)在區(qū)間-,+∞上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.22.證明(1)由題意得f(0)=1-a<0,f(2)=e2-2-a≥e2-4>0,所以y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在零點(diǎn).因?yàn)閒'(x)=ex-1,所以當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上有唯一零點(diǎn).(2)①令g(x)=ex-x2-x-1(x≥0),g'(x)=ex-x-1=f(x)+a-1,由(1)知函數(shù)g'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>g'(0)=0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,故g(x)≥g(0)=0.又10,所以g()≥0,所以f()=-a≥0=f(x0),因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,故x0.令h(x)=ex-x2-x-1(0≤x≤1),則h'(x)=ex-2x-1,令h1(x)=ex-2x-1(0≤x≤1),則h1'(x)=ex-2,所以x0(0,ln2)ln2(ln2,1)1h1'(x)-1-0+e-2h1(x)0單調(diào)遞減單調(diào)遞增e-3故當(dāng)00,所以h()≤0,所以f()=-a≤0=f(x0),因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,故x0.綜上,x0②令u(x)=ex-(e-1)x-1,則u'(x)=ex-(e-1),所以當(dāng)x>1時(shí),u'(x)>0,故函數(shù)u(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,因此u(x)≥u(1)=0.又=x0+a,所以x0f()=x0f(x0+a)=(ea-1)+a(ea-2)x0≥(e-1)a,由x0,得x0f()≥(e-1)(a-1)a.