專題突破練10　三角函數(shù)與解三角形解答題1.(2021·山東濱州期中)已知向量a=(cosx,sinx),b=(4sinx,4sinx),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間上的最值.2.(2021·廣東廣州高三二模)如圖,在四邊形ABCD中,△BCD是等腰直角三角形,∠BCD=90°,∠ADB=90°,sin∠ABD=,BD=2,AC與BD交于點E.(1)求sin∠ACD;(2)求△ABE的面積.3.(2021·河北唐山高三一模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=2B.(1)若a=2,B=15°,求△ABC的面積;(2)若a+b=c,證明:△ABC為等腰直角三角形.4.(2021·湖南長沙一中高三月考)已知a,b,c分別是△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且asinC=ccosA+c.(1)求角A.(2)在①△ABC的周長為6+2,②△ABC的面積為,③,這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并作答.問題:已知b=2,　　　　　,判斷是否存在這樣的三角形?若存在,求出B的值;若不存在,請說明 理由.?5.(2021·遼寧大連一模)如圖,有一底部不可到達(dá)的建筑物,A為建筑物的最高點.某學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備了三種工具:測角儀(可測量仰角與俯角)、米尺(可測量長度)、量角器(可測量平面角度).(1)請你利用準(zhǔn)備好的工具(可不全使用),設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法,并給出測量報告;注:測量報告中包括你使用的工具,測量方法的文字說明與圖形說明,所使用的字母和符號均需要解釋說明,并給出你最后的計算公式.(2)該學(xué)習(xí)小組利用你的測量方案進行了實地測量,并將計算結(jié)果匯報給老師,發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與該建筑物實際的高度有誤差,請你針對誤差情況進行說明.6.(2021·湖北武漢3月質(zhì)檢)在△ABC中,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且B=,b=.(1)若cosAcosC=,求△ABC的面積;(2)試問=1能否成立?若能成立,求此時△ABC的周長;若不能成立,請說明理由. 7.(2021·湖南長沙模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且=sinB-sinA.(1)求角A;(2)若a=2,求的最小值.8.(2021·江蘇南京期中)如圖,某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃,其直徑AB為6,O是圓心,且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q,其中∠AQC=.計劃在上再建一座觀賞亭P,記∠POB=θ.(1)當(dāng)θ=時,求∠OPQ的大小;(2)當(dāng)∠OPQ越大時,游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳,當(dāng)游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時,求sinθ的值. 專題突破練10　三角函數(shù)與解三角形解答題1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4sinxcosx+4sin2x=1+2sin2x+4=2sin2x-2cos2x+3=4sin+3.(1)由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x+kπ(k∈Z),所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).(2)由于x,所以2x-,故當(dāng)2x-即x=時,函數(shù)f(x)取最大值7;當(dāng)2x-=-即x=0時,函數(shù)f(x)取最小值1.2.解(1)因為△BCD是等腰直角三角形,∠BCD=90°,BD=2,所以∠CBD=∠CDB=45°,BC=CD=BDsin45°=在△ABD中,∠ADB=90°,sin∠ABD=,所以cos∠ABD=,因此AB=,則AD==1.記∠ACD=θ,則∠CAD=180°-∠ADC-θ=45°-θ,0°<θ<45°,在△ACD中,由正弦定理可得,即,則,即cosθ=3sinθ,代入sin2θ+cos2θ=1可得10sin2θ=1,解得sinθ=±,又因為0°<θ<45°,所以sinθ=,即sin∠ACD=(2)由(1)知sin∠ACD=,由可得sin∠CAD=,則cos∠CAD=,所以tan∠CAD=,所以DE=AD·tan∠CAD=,所以△ABE的面積為S△ABE=S△ABD-S△ADE=AD×BD-AD×DE=3.(1)解由C=2B及B=15°,得C=30°,于是A=135°,由正弦定理可得b==2sinB=2sin15°=2sin(45°-30°)=2(sin45°cos30°-cos45°sin30°)=2=-1,因此S△ABC=absinC=2×(-1)(2)證明由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理可得c=2bcosB,由余弦定理有2accosB=a2+c2-b2,所以ac2=b(a2+c2-b2),整理可得(a-b)[c2-b(a+b)]=0,將a+b=c代入上式可得(a-b)2(a+b)=0,因此a=b,于是c=a=b,a2+b2=2a2=c2,即C=90°.故△ABC為等腰直角三角形.4.解(1)在△ABC中,asinC=ccosA+c,由正弦定理可得sinAsinC=sinCcosA+sinC,又sinC≠0,則sinA=cosA+1, 即2sincos=2cos2,又0,,則sin=cos,所以tan,所以,A=(2)選①,△ABC的周長為6+2,因為b=2,所以a+c=4+2,所以,sinC=sinA=,所以,解得a+c=4+2,(i)又a2=b2+c2-2bccosA=4+c2-2c,(ii)聯(lián)立(i)(ii)解得a=2,c=4,則由,解得sinB=,又因為a>b,所以B=選②,△ABC的面積為,因為b=2,A=,所以S△ABC=bcsinA=c=,解得c=2,所以△ABC為等邊三角形,所以B=選③,,因為A=,b=2,由余弦定理可得c-1=,(iii)a2=b2+c2-2bccosA=4+c2-2c,(iv)由(iii)(iv)聯(lián)立,無解,三角形不存在.5.解(1)選用測角儀和米尺,如圖所示.①選擇一條水平基線HG,使H,G,B三點在同一條直線上;②在H,G兩點用測角儀測得A的仰角分別為α,β,HG=a,即CD=a.測得測角儀器的高是h;③(方法一)在△ACD中,由正弦定理,得,所以AC=,在Rt△ACE中,有AE=ACsinβ=,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(方法二)在Rt△ADE中,DE=,在Rt△ACE中,CE=,所以CD=DE-CE=,所以AE=,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(2)①測量工具問題;②兩次測量時位置的間距差;③用身高代替測角儀的高度.6.解(1)由B=,得A+C=,cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,即=cosAcosC-sinAsinC.因為cosAcosC=,所以sinAsinC=因為=2,所以a=2sinA,c=2sinC. 所以S△ABC=2sinA·2sinC·sinB=4sinA·sinBsinC=4(2)假設(shè)=1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,所以6=a2+c2+ac.所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此時a+c=ac=3.不滿足a+c≥2,所以=1不成立.7.解(1)由=sinB-sinA,可得(b-c)sinC=(sinB-sinA)(b+a),由正弦定理得(b-c)c=(b-a)(b+a),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理,得cosA=,因為00),可得2R=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥bc,即bc≤a2=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號,又,所以的最小值為8.解(1)在△POQ中,因為∠AQC=,所以∠AQO=又OA=OB=3,所以O(shè)Q=設(shè)∠OPQ=α,則∠PQO=-α+θ.由正弦定理,得,即sinα=cos(α-θ),整理得tanα=,其中當(dāng)θ=時,tanα=因為,所以α=故當(dāng)θ=時,∠OPQ=(2)設(shè)f(θ)=,,則f'(θ)=令f'(θ)=0,得sinθ=,記銳角θ0滿足sinθ0=,當(dāng)0<θ<θ0時,f'(θ)>0;當(dāng)θ0<θ<時,f'(θ)<0,所以f(θ)在θ=θ0處取得極大值亦即最大值.由(1)可知tanα=f(θ)>0,則,又y=tanα單調(diào)遞增,則當(dāng)tanα取最大值時,α也取得最大值.故游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時,sinθ=