專題突破練11 等差數(shù)列、等比數(shù)列一、單項(xiàng)選擇題1.(2021·江西景德鎮(zhèn)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1+a2=7,am-1+am=73(m≥3),Sm=2020,則m的值為( ) A.100B.101C.200D.2022.(2021·山東臨沂檢測(cè))已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=( )A.72B.81C.90D.993.(2021·廣東汕頭一模)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a2a4=16,a4+a5=24,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )A.an=2n-1B.an=2nC.an=3nD.an=3n-14.(2021·廣東肇慶百花中學(xué)高三月考)跑步是一種體育鍛煉方法,通過跑步,我們能提高肌力,同時(shí)提高體內(nèi)的基礎(chǔ)代謝水平.小林最近給自己制定了一個(gè)200千米的跑步健身計(jì)劃,他第一天跑了8千米,以后每天比前一天多跑0.5千米,則他要完成該計(jì)劃至少需要( )A.16天B.17天C.18天D.19天5.(2021·廣東深圳一模)在數(shù)列{an}中,a1=3,am+n=am+an(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+ak=135,則k=( )A.10B.9C.8D.76.(2021·山東淄博一模)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“S2020>0,S2021<0”是“a1010a1011<0”的( )A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件二、多項(xiàng)選擇題7.(2021·山東煙臺(tái)模擬)已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,a7=3a5,則下列選項(xiàng)正確的是( )A.公差d>0B.a1<0C.當(dāng)n=5時(shí),Sn最小D.當(dāng)Sn>0時(shí),n的最小值為88.(2021·山東臨沂一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列說法正確的是( )A.若Sn=n2-1,則{an}是等差數(shù)列B.若Sn=2n-1,則{an}是等比數(shù)列C.若{an}是等差數(shù)列,則S99=99a50D.若{an}是等比數(shù)列,且a1>0,q>0,則S2n-1·S2n+1>三、填空題9.(2021·河北唐山高三二模)設(shè){an}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a3a4+a5=0,則S6= .?10.(2021·山東勝利一中月考)在等差數(shù)列{an}中,a1+a7=12,當(dāng)取得最小值時(shí),a2020= .?11.(2021·湖南師大附中高三二模)在數(shù)列{an}中,a1=,且anan-1+1=2an-1,數(shù)列{bn}滿足bn=,則{bn}的通項(xiàng)公式是bn= .?
四、解答題12.(2021·福建龍巖模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a3=-6,a6=0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1=a2,b2=a1+a2+a3,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.13.(2021·全國甲,文18)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知an>0,a2=3a1,且數(shù)列{}是等差數(shù)列.證明:{an}是等差數(shù)列.14.(2021·河北張家口一模)已知公比小于1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2=,S3=.(1)求an;(2)求證:≤Sn<1.
15.(2021·河北保定高三一模)已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=an-1.(1)求證:數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n+2·an,求bn的最大值.16.(2021·山東煙臺(tái)一模)在①a3+a5=14,②S4=28,③a8是a5與a13的等比中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并給出解答.問題:已知{an}為公差不為零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Tn=2n+λ,λ為常數(shù),a1=b1, .?(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)令cn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),求c1+c2+c3+…+c100的值.
專題突破練11 等差數(shù)列、等比數(shù)列1.B 解析:由已知得a1+a2+am-1+am=80.因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以a1+am=a2+am-1,所以a1+am=40,所以Sm==20m=2020,解得m=101.2.B 解析:由題意及等比數(shù)列的性質(zhì),可得S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列,則=S3(S9-S6),即(36-9)2=9(S9-S6),解得S9-S6=81,即a7+a8+a9=81.3.A 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意,可知an>0,q>0.因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以a2a4==16,解得a3=4.所以a4+a5=a3(q+q2)=4(q+q2)=24,整理得q2+q-6=0,解得q=2.所以an=a3qn-3=4×2n-3=2n-1.4.B 解析:依題意可得,他從第一天開始每天跑步的路程(單位:千米)依次成等差數(shù)列,且首項(xiàng)為8,公差為0.5,設(shè)經(jīng)過n天后他完成健身計(jì)劃,則8n+200,整理得n2+31n-800≥0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+31x-800在[1,+∞)上為增函數(shù),且f(16)<0,f(17)>0,所以n≥17,即小林完成計(jì)劃至少需要17天.5.B 解析:令m=1,由am+n=am+an,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1=3,所以{an}是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列,所以an=3+3(n-1)=3n.所以a1+a2+a3+…+ak==135,整理得k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去).6.B 解析:依題意,若S2020>0,S2021<0,則=1010(a1010+a1011)>0,即a1010+a1011>0,=2021a1011<0,即a1011<0,所以a1010>0,所以a1010a1011<0,充分性成立.當(dāng)a1010<0,a1011>0時(shí),滿足a1010a1011<0,不能推出S2020>0,S2021<0,必要性不成立.故“S2020>0,S2021<0”是“a1010a1011<0”的充分不必要條件.7.ABD 解析:因?yàn)閍7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以d>0,所以a1<0,故A,B正確.因?yàn)镾n=n2+n=n2-n=,所以當(dāng)n=3或n=4時(shí),Sn最小,故C錯(cuò)誤.令Sn=n2-n>0,解得n<0或n>7,又n∈N*,所以當(dāng)Sn>0時(shí),n的最小值為8,故D正確.8.BC 解析:對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)镾n=n2-1,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=0,而a1=0不滿足an=2n-1,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)镾n=2n-1,所以當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1,又a1=1滿足an=2n-1,所以an=2n-1,所以=2,所以{an}是等比數(shù)列,故B正確.對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以S99==99a50,故C正確.對(duì)于D選項(xiàng),由已知得當(dāng)n=1時(shí),S1·S3-(1+q+q2)-(1+q)2=-q<0,所以當(dāng)n=1時(shí),S2n-1·S2n+1<,故D錯(cuò)誤.9 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q≠0,則a1q2·a1q3+a1q4=0,將a1=2代入得2q+1=0,即q=-,所以S6=10.6 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由等差中項(xiàng)的性質(zhì),得a1+a7=2a4=12,解得a4=6.所以=(6-d)2+62+(6+d)2=2d2+108.當(dāng)d=0時(shí),取得最小值,此時(shí)a2020=a4=6.11.n- 解析:∵anan-1+1=2an-1,∴bn-bn-1==1,又b1==-,∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-,公差為1的等差數(shù)列,∴bn=-+n-1=n-12.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍3=-6,a6=0,所以a1+2d=-6,a1+5d=0,解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)·2=2n-12.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2=a1+a2+a3=3a2,b1=a2=2×2-12=-8,所以q==3,所以Sn==4(1-3n).13.證明∵{}是等差數(shù)列,a2=3a1,,即數(shù)列{}的公差為+(n-1)=n,即Sn=n2a1.當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)2a1,則an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1.當(dāng)n=1時(shí),a1=(2×1-1)a1,符合上式,∴an=(2n-1)a1,n∈N*.∴an+1-an=2a1,∴{an}是等差數(shù)列.14.(1)解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q<1).因?yàn)閍2=,S3=,所以q=,即2q2-5q+2=0,解得q=或q=2(舍去).所以an=(2)證明由(1)知a1=,q=,所以Sn==1-因?yàn)閥=在R上為減函數(shù),且y=>0恒成立,所以當(dāng)n∈N*時(shí),0<,所以1-<1,即Sn<1.15.(1)證明因?yàn)閍n+1-2=an-3=(an-2),a1-2=-,所以{an-2}是以-為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.(2)解由(1)得an-2=-n-1=-,所以bn=2n+2·an=2n+3-14×3n-1.因?yàn)閎n+1-bn=-14×3n+2n+4+14×3n-1-2n+3=2n+3-28×3n-1<2n+3-3n+2=8×2n-9×3n<9(2n-3n)<0,所以bn+1
