專題突破練13 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積一、單項選擇題1.(2021·湖北武漢月考)某圓錐的母線長為2,底面半徑為,則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為( ) A.2B.C.D.12.(2021·山東德州期末)阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家,他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家,他一生最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理,即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切,球的體積是圓柱體積的三分之二,球的表面積也是圓柱表面積的三分之二.今有一“圓柱容球”模型,其中圓柱的表面積為12π,則該模型中球的體積為( )A.8πB.4πC.D.3.(2021·河北保定一中高三月考)在三棱錐P-ABC中,底面ABC是面積為3的正三角形,若三棱錐P-ABC的每個頂點(diǎn)都在球O的球面上,且點(diǎn)O恰好在平面ABC內(nèi),則三棱錐P-ABC體積的最大值為( )A.B.2C.4D.64.(2021·山東濟(jì)南一模)在菱形ABCD中,AB=BD=2,將△ABD沿BD折起,使二面角A-BD-C的大小為60°,則三棱錐A-BCD的體積為( )A.B.C.D.25.(2021·廣東東莞光明中學(xué)高三月考)利用3D打印技術(shù)制作如圖所示的模型,該模型為在圓錐內(nèi)挖去一個正方體后的剩余部分(正方體四個頂點(diǎn)在圓錐母線上,四個頂點(diǎn)在圓錐底面上),圓錐底面直徑為10cm,母線與底面所成角的正切值為.打印所用原料密度為1g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量約為(取π≈3.14,精確到0.1)( )A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g6.(2021·全國甲,理11)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為( )A.B.C.D.7.(2021·廣東廣州二模)某學(xué)生用薄鐵皮制作一個圓柱,圓柱的表面積為8π,則該圓柱的外接球的表面積的最小值為( )A.4(-1)πB.8(-1)πC.4(+1)πD.8(+1)π二、多項選擇題8.
(2021·河北滄州高三三模)玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器,是古人用于祭祀的一種禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空,形狀對稱,如圖所示,圓筒內(nèi)徑長為2,外徑長為3,筒高為4,中部是棱長為3的正方體的一部分,圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面,則( )A.該玉琮的體積為18+B.該玉琮的體積為27-C.該玉琮的表面積為54+πD.該玉琮的表面積為54+9π9.(2021·河北保定二模)如圖,一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,則下列結(jié)論正確的是( )A.圓柱的體積為4πR3B.圓錐的側(cè)面積為πR2C.圓柱的側(cè)面積與圓錐的表面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2三、填空題10.(2021·廣東佛山二模)將一個邊長為2的正三角形以其中一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的表面積為 .?11.(2021·湖南雅禮中學(xué)高三月考)若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其表面積與體積的數(shù)值相等,則該圓錐的底面半徑為 ,該圓錐的內(nèi)切球體積為 .?12.(2021·山東煙臺二模)在一次綜合實(shí)踐活動中,某手工制作小組利用硬紙板做了一個幾何模型如圖所示,底面ABCD是邊長為4的正方形,半圓面APD⊥底面ABCD.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)P在半圓弧上(不含點(diǎn)A,D)運(yùn)動時,三棱錐P-ABD的外接球始終保持不變,則該外接球的表面積為 .?專題突破練13 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積
1.A 解析:如圖,設(shè)截面為△SMN,P為MN的中點(diǎn),O為底面圓的圓心,OP=x(0≤x<),由題意可知SB=2,OB=,則SO=1,SP=,MN=2,所以S△SMN=MN·SP=因?yàn)?≤x<,所以當(dāng)x2=1,即x=1時,(S△SMN)max=2.故選A.2.D 解析:由題意可知球的表面積為12=8π,設(shè)球的半徑為r,則4πr2=8π,解得r=,所以球的體積為r3=()3=故選D.3.B 解析:底面ABC是正三角形,S△ABC=AB2·sin60°=3,則邊長為2因?yàn)槿忮FP-ABC外接球的球心O恰好在平面ABC內(nèi),三角形ABC的外接圓半徑為2sin60°=2,所以球O的半徑為2,所以當(dāng)PO⊥平面ABC時,三棱錐P-ABC的體積最大.所以三棱錐P-ABC體積的最大值為32=24.A 解析:如圖,取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE,則AE⊥BD,CE⊥BD,AE=CE=,∠AEC=60°,所以△AEC為等邊三角形.作AF⊥CE于點(diǎn)F,則AF=因?yàn)锽D⊥AE,BD⊥CE,AE∩CE=E,所以BD⊥平面ACE,所以BD⊥AF.又BD∩CE=E,所以AF⊥平面BCD.又S△BCD=22=,所以V三棱錐A-BCD=S△BCD·AF=故選A.5.C 解析:∵圓錐底面直徑為10cm,∴半徑為5cm,∵母線與底面所成角的正切值為,∴圓錐的高為10cm,設(shè)正方體的棱長為a,則,解得a=5.∴該模型的體積V=(5)2×10-53=-125≈398.3(cm3).∴制作該模型所需原料的質(zhì)量約為398.3×1=398.3(g).6.A 解析:如圖,AC⊥BC,AC=BC=1,設(shè)O1為AB的中點(diǎn),連接CO1,OO1,則CO1=,由題意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=,則三棱錐O-ABC的體積為1×17.B 解析:設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為r,該圓柱的外接球的半徑為R,由題意可得2πrh+2πr2=8π,則rh+r2=4,所以h=-r.由-r>0,r>0,得0
