專(zhuān)題突破練16　立體幾何中的翻折問(wèn)題及探索性問(wèn)題1.(2021·湖南株洲高三二模)如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC,四邊形ABEF是正方形.現(xiàn)將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M為AF1的中點(diǎn),如圖②.(1)證明:直線(xiàn)DC與直線(xiàn)E1M相交;(2)求直線(xiàn)BM與平面CE1M所成角的正弦值.2.(2021·湖南師大附中二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC=1,△PDC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,平面PDC⊥平面ABCD,E為線(xiàn)段PC上一點(diǎn).(1)設(shè)平面PAB∩平面PDC=l,求證:l∥平面ABCD.(2)是否存在點(diǎn)E,使平面ADE與平面ABCD的夾角為60°?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 3.(2021·河北邢臺(tái)高三模擬)如圖,在正六邊形ABCDEF中,將△ABF沿直線(xiàn)BF翻折至△A'BF,使得平面A'BF⊥平面BCDEF,O,H分別為BF和A'C的中點(diǎn).(1)證明:OH∥平面A'EF;(2)求平面A'BC與平面A'DE所成銳二面角的余弦值.4.(2021·福建泉州二模)如圖①,在等腰直角三角形ABC中,CD是斜邊AB上的高,沿CD將△ACD折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置,如圖②,∠PBD=60°,E,F,H分別為PB,BC,PD的中點(diǎn),G為CF的中點(diǎn).圖①圖②(1)求證:GH∥平面DEF;(2)求直線(xiàn)GH與平面PBC所成角的正弦值. 5.(2021·天津二模)如圖,在四棱錐E-ABCD中,平面ABCD⊥平面ABE,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=,M為BE的中點(diǎn).(1)求證:CM∥平面ADE.(2)求二面角E-BD-C的正弦值.(3)在線(xiàn)段AD上是否存在一點(diǎn)N,使直線(xiàn)MD與平面BEN所成角的正弦值為?若存在,求出AN的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.6.(2021·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)一模)如圖①,在等邊三角形ABC中,D,E分別為邊AB,AC上的動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足DE∥BC,記=λ.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置,使得平面MDE⊥平面DECB,連接MB,MC,如圖②所示,N為MC的中點(diǎn).圖① 圖②(1)當(dāng)EN∥平面MBD時(shí),求λ的值.(2)隨著λ值的變化,二面角B-MD-E的大小是否改變?若是,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不是,請(qǐng)求出二面角B-MD-E的正弦值. 專(zhuān)題突破練16　立體幾何中的翻折問(wèn)題及探索性問(wèn)題1.(1)證明以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=1,則D(2,1,0),C(2,0,0),E1(0,0,),M1,1,,所以=-1,0,,=(-2,0,),所以,則,因?yàn)镈M,CE1不重合,所以DM∥CE1,所以C,D,M,E1四點(diǎn)共面.在直角梯形ABCD中,因?yàn)锳D∥BC,設(shè)CD∩AB=P,則P∈CD,P∈AB,所以P∈平面CDME1,P∈平面BAME1.又因?yàn)槠矫鍯DME1∩平面BAME1=ME1,所以P∈ME1,所以直線(xiàn)DC與直線(xiàn)E1M相交.(2)解由(1)知=1,1,,=(-2,0,),=1,1,-,設(shè)平面CE1M的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,得n=(1,0,),設(shè)直線(xiàn)BM與平面CE1M所成的角為θ,則sinθ=|cos|=,故直線(xiàn)BM與平面CE1M所成角的正弦值是2.(1)證明∵AB∥CD,AB?平面PDC,DC?平面PDC,∴AB∥平面PDC.又平面PAB∩平面PDC=l,AB?平面PAB,∴AB∥l.又l?平面ABCD,AB?平面ABCD,∴l(xiāng)∥平面ABCD.(2)解設(shè)DC的中點(diǎn)為O,連接OP,OA,則PO⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,PO?平面PDC,平面PDC∩平面ABCD=DC,∴PO⊥平面ABCD.∵AB∥CD,AB=OC=1,∴四邊形ABCO為平行四邊形,∴OA∥BC.由題意可知BC⊥CD,∴OA⊥CD.∴OA,OC,OP兩兩互相垂直. 以O(shè)為原點(diǎn),OA,OC,OP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.則A(1,0,0),D(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,).由PO⊥平面ABCD,可知m=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量.假設(shè)存在點(diǎn)E,使平面ADE與平面ABCD的夾角為60°,設(shè)=(0≤λ≤1),則E(0,1-λ,),=(0,2-λ,).設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z),=(1,1,0),則取x=1,則y=-1,z=,∴n=為平面ADE的一個(gè)法向量.由題意可知|cos|=,整理得λ2+4λ-4=0,解得λ=2(-1),故存在點(diǎn)E,使平面ADE與平面ABCD的夾角為60°,此時(shí)=2(-1).3.(1)證明如圖,取A'E的中點(diǎn)G,連接FG,HG,CE.因?yàn)镠是A'C的中點(diǎn),所以HG∥CE,HG=CE.又因?yàn)檎呅蜛BCDEF中,BF∥CE,BF=CE,所以HG∥BF,HG=BF.又O為BF的中點(diǎn),所以HG∥OF,HG=OF,所以四邊形OFGH為平行四邊形,所以O(shè)H∥FG.因?yàn)镕G?平面A'EF,OH?平面A'EF,所以O(shè)H∥平面A'EF.(2)解由條件可知OA'⊥OB,OA'⊥OD,OD⊥OB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以為x軸正方向、為y軸正方向、為z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,則B(,0,0),C(,2,0),D(0,3,0),E(-,2,0),A'(0,0,1),=(0,2,0),=(,2,-1),=(,1,0),=(0,3,-1).設(shè)平面A'BC的法向量為n1=(x1,y1,z1),由取x1=1,可得n1=(1,0,).設(shè)平面A'DE的法向量為n2=(x2,y2,z2),由取x2=1,可得n2=(1,-,-3). 設(shè)平面A'BC與平面A'DE所成銳二面角的大小為θ,則cosθ=|cos|=,所以平面A'BC與平面A'DE所成銳二面角的余弦值為4.(1)證明如圖,連接BH,交DE于點(diǎn)M,連接MF.因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,CD是斜邊AB上的高,所以AD=DB,即PD=DB.因?yàn)椤螾BD=60°,所以△PBD是等邊三角形.因?yàn)镋,H分別為PB,PD的中點(diǎn),所以M是等邊三角形PBD的中心,所以BM=BH.因?yàn)镕為BC的中點(diǎn),G為CF的中點(diǎn),所以BF=BG.所以MF∥GH.又MF?平面DEF,GH?平面DEF,所以GH∥平面DEF.(2)解如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PD=DB=DC=2,則C(0,2,0),B(2,0,0),P(1,0,),H,G,所以=(-2,2,0),=(-1,0,),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則令x=,則y=,z=1,所以n=(,1)為平面PBC的一個(gè)法向量.設(shè)直線(xiàn)GH與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=|cos|=,故直線(xiàn)GH與平面PBC所成角的正弦值為5.(1)證明取AE的中點(diǎn)P,連接MP,PD(圖略).∵P,M分別為AE,BE的中點(diǎn),∴PM∥AB,PM=AB.又CD∥AB,CD=AB,∴PM∥CD,PM=CD,∴四邊形PMCD為平行四邊形,∴CM∥PD.又CM?平面ADE,PD?平面ADE,∴CM∥平面ADE.(2)解取AB的中點(diǎn)O,連接OD,OE.又CD∥AB,CD=AB,∴CD∥OB,CD=OB,∴四邊形BCDO為平行四邊形,∴OD∥BC.又AB⊥BC,∴OD⊥AB.又平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,OD?平面ABCD,∴OD⊥平面ABE.∵AE=BE,O為AB的中點(diǎn),∴OE⊥AB. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OE,OB,OD所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則E(,0,0),B(0,1,0),C(0,1,1),D(0,0,1).設(shè)平面BDE的法向量為m=(x,y,z),=(,-1,0),=(0,-1,1),由取y=,則x=1,z=,∴m=(1,)為平面BDE的一個(gè)法向量.易知n=(1,0,0)為平面BCD的一個(gè)法向量.設(shè)二面角E-BD-C的平面角為θ,則|cosθ|=|cos|=,∴sinθ=故二面角E-BD-C的正弦值為(3)解假設(shè)在線(xiàn)段AD上存在一點(diǎn)N,使得直線(xiàn)MD與平面BEN所成角的正弦值為由(2)知M,A(0,-1,0),D(0,0,1),=(,-1,0),則=(0,1,1),=(0,-2,0).設(shè)==(0,λ,λ),其中0≤λ≤1,=(0,λ-2,λ).設(shè)平面BEN的法向量為u=(x1,y1,z1),由取y1=,則x1=λ,z1=2,∴u=(λ,,2)為平面BEN的一個(gè)法向量.由題意可知|cos<,u>|=整理得16λ2-34λ+13=0,解得λ=或λ=(舍去).∴AN=故在線(xiàn)段AD上存在一點(diǎn)N,使直線(xiàn)MD與平面BEN所成角的正弦值為,此時(shí)AN=6.(1)證明如圖,取MB的中點(diǎn)P,連接DP,PN,又N為MC的中點(diǎn),所以NP∥BC,NP=BC.又DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四點(diǎn)共面.又EN∥平面MBD,EN?平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,所以EN∥PD,即四邊形NEDP為平行四邊形,所以NP=DE,即DE=BC,即λ= (2)解取DE的中點(diǎn)O,連接MO,則MO⊥DE.又平面MDE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE,MO?平面MDE,所以MO⊥平面DECB.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)BC=2,則M(0,0,),D(λ,0,0),B(1,(1-λ),0),所以=(λ,0,-),=(1-λ,(1-λ),0).設(shè)平面MBD的法向量為m=(x,y,z),則即令x=,則y=-1,z=1,所以m=(,-1,1)為平面MBD的一個(gè)法向量.由題意可知n=(0,1,0)為平面MDE的一個(gè)法向量.設(shè)二面角B-MD-E的平面角為θ,則|cosθ|=|cos|=,易知θ為鈍角,所以二面角B-MD-E的大小不變.sinθ=,所以二面角B-MD-E的正弦值為