專題突破練18　概率、隨機(jī)變量及其分布一、單項(xiàng)選擇題1.(2021·湖南師大附中月考)電視機(jī)的使用壽命與顯像管開關(guān)的次數(shù)有關(guān).某品牌的電視機(jī)的顯像管開關(guān)了10000次還能繼續(xù)使用的概率是0.8,開關(guān)了15000次后還能繼續(xù)使用的概率是0.6,則已經(jīng)開關(guān)了10000次的電視機(jī)顯像管還能繼續(xù)使用到15000次的概率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021·江蘇泰州考前模擬)馬林·梅森(MarinMersenne,1588—1648)是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家.他在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上深入地研究了2p-1型的數(shù).人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn),將形如2p-1(其中p是素?cái)?shù))的素?cái)?shù),稱為梅森素?cái)?shù).在不超過20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是(　　)A.B.C.D.3.(2021·新高考Ⅰ,8)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(　　)A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立二、填空題4.為研究如何提高大氣污染監(jiān)控預(yù)警能力,某學(xué)校興趣小組的成員設(shè)計(jì)了一套大氣污染檢測(cè)預(yù)警系統(tǒng).該系統(tǒng)設(shè)置了三個(gè)控制元件,三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,將T2,T3兩個(gè)元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路,如圖所示,則該預(yù)警系統(tǒng)的可靠性是　　　　　.?5.(2021·河北衡水模擬)已知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽,比賽規(guī)則如下:①每場(chǎng)比賽有兩位選手參加,并決出勝負(fù);②每場(chǎng)比賽獲勝的選手與未參加此場(chǎng)比賽的選手進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽;③在比賽中,若有一位選手首先獲勝兩場(chǎng),則本次比賽結(jié)束,該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場(chǎng)比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為,且甲與乙先參加比賽,則甲獲得第一名的概率為　　　　　.?三、解答題6.(2021·江蘇新高考基地學(xué)校聯(lián)考)陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹,產(chǎn)于江蘇蘇州,蟹身青殼白肚,體大膘肥,肉質(zhì)膏膩,營(yíng)養(yǎng)豐富,深受消費(fèi)者喜愛.某水產(chǎn)品超市購進(jìn)一批重量為100千克的陽澄湖大閘蟹,隨機(jī)抽取了50只統(tǒng)計(jì)其重量,得到的結(jié)果如下表所示:規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量(單位:克)[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280]數(shù)量(單位:只)32152073(1)試用組中值來估計(jì)該批大閘蟹有多少只?(所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù))(2)某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機(jī)購買了4只,記重量在區(qū)間[260,280]內(nèi)的大閘蟹數(shù)量為X,求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望. 7.(2021·福建漳州模擬)隨著5G通信技術(shù)的發(fā)展成熟,移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)短視頻變得越來越普及,人們也越來越熱衷于通過短視頻獲取資訊和學(xué)習(xí)成長(zhǎng).某短視頻創(chuàng)作平臺(tái),為了鼓勵(lì)短視頻創(chuàng)作者生產(chǎn)出更多高質(zhì)量的短視頻,會(huì)對(duì)創(chuàng)作者上傳的短視頻進(jìn)行審核,通過審核后的短視頻,會(huì)對(duì)用戶進(jìn)行重點(diǎn)的分發(fā)推薦.短視頻創(chuàng)作者上傳一條短視頻后,先由短視頻創(chuàng)作平臺(tái)的智能機(jī)器人進(jìn)行第一階段審核,短視頻審核通過的概率為,通過智能機(jī)器人審核后,進(jìn)入第二階段的人工審核,人工審核部門會(huì)隨機(jī)分配3名員工對(duì)該條短視頻進(jìn)行審核,同一條短視頻每名員工審核通過的概率均為,若該視頻獲得2名或者2名以上員工審核通過,則該短視頻獲得重點(diǎn)分發(fā)推薦.(1)某創(chuàng)作者上傳一條短視頻,求該短視頻獲得重點(diǎn)分發(fā)推薦的概率;(2)若某創(chuàng)作者一次性上傳3條短視頻作品,求其獲得重點(diǎn)分發(fā)推薦的短視頻個(gè)數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.專題突破練18　概率、隨機(jī)變量及其分布1.D　解析:記事件A:電視機(jī)的顯像管開關(guān)了10000次還能繼續(xù)使用,記事件B:電視機(jī)的顯像管開關(guān)了15000次后還能繼續(xù)使用,則P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已經(jīng)開關(guān)了10000次的電視機(jī)顯像管還能繼續(xù)使用到15000次的概率為P(B|A)==0.75.2.C　解析:可知不超過20的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個(gè),其中梅森素?cái)?shù)有3,7,共2個(gè),則在不超過20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有=28種,其中至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)有=13種,所以至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是P=3.B　解析:由已知得P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,P(甲丙)=0,P(甲丁)=,P(乙丙)=,P(丙丁)=0.由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=,根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì),知事件甲與丁相互獨(dú)立,故選B.4　解析:T2,T3并聯(lián)電路正常工作概率為1-1-,故電路不發(fā)生故障的概率為5　解析:因?yàn)槊繄?chǎng)比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為,所以甲選手獲勝的概率是P(A)=6.解(1)50只大閘蟹的平均重量為(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水產(chǎn)品超市購進(jìn)的100千克大閘蟹只數(shù)約為100000÷224≈446.(2)X的可能取值為0,1,2,3,概率分別為:P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=分布列為: X0123P所以E(X)=0+1+2+37.解(1)設(shè)“該短視頻獲得重點(diǎn)分發(fā)推薦”為事件A,則P(A)==(2)設(shè)其獲得重點(diǎn)分發(fā)推薦的短視頻個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,X可取0,1,2,3.則X~B,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,隨機(jī)變量X的分布列如下:X0123PE(X)=0+1+2+3