專題突破練22　圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題1.(2021·河北唐山一模)已知拋物線E:x2=4y,點P(1,-2),斜率為k(k>0)的直線l過點P,與E相交于不同的兩點A,B.(1)求k的取值范圍;(2)斜率為-k的直線m過點P,與E相交于不同的點C,D,證明:直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三角形.2.(2021·山東濰坊三模)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點P(m,2)(m>0)在拋物線C上,且滿足|PF|=3.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點G(0,4)的直線l與拋物線C交于A,B兩點,分別以A,B為切點的拋物線C的兩條切線交于點Q,求△PQG周長的最小值. 3.(2021·廣東深圳一模)設(shè)O是坐標(biāo)原點,以F1,F2為焦點的橢圓C:=1(a>b>0)的長軸長為2,以|F1F2|為直徑的圓和C恰好有兩個交點.(1)求C的方程;(2)P是C外的一點,過P的直線l1,l2均與C相切,且l1,l2的斜率之積為m,記u為|PO|的最小值,求u的取值范圍.4.(2021·湖南長沙高三考前模擬)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點(m,1)在拋物線C上,該點到原點的距離與到C的準(zhǔn)線的距離相等.(1)求拋物線C的方程.(2)過焦點F的直線l與拋物線C交于A,B兩點,且與以焦點F為圓心,2為半徑的圓交于M,N兩點,點B,N在y軸右側(cè).①證明:當(dāng)直線l與x軸不平行時,|AM|≠|(zhì)BN|;②過點A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,l1與l2相交于點D,求△DAM與△DBN的面積之積的取值范圍.5.(2021·河北唐山三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C為動點,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,記點C的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)不過原點O的直線l與曲線E交于M,N,且直線y=-x經(jīng)過MN的中點T,求△OMN的面積的最大值. 6.(2021·廣東汕頭高三一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點,M(,0),已知平行四邊形OMNP兩條對角線的長度之和等于4.(1)求動點P的軌跡方程.(2)過點M(,0)作互相垂直的兩條直線l1,l2,l1與動點P的軌跡交于點A,B,l2與動點P的軌跡交于點C,D,AB,CD的中點分別為E,F;①證明:直線EF恒過定點,并求出定點坐標(biāo);②求四邊形ACBD面積的最小值.專題突破練22　圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題1.(1)解由題意設(shè)l的方程為y+2=k(x-1),與x2=4y聯(lián)立得,x2-4kx+4k+8=0.由Δ>0得k2-k-2>0,即k<-1或k>2.又k>0,所以k的取值范圍是(2,+∞).(2)證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由(1)可得x1+x2=4k.由題意設(shè)m的方程為y+2=-k(x-1),與x2=4y聯(lián)立得,x2+4kx-4k+8=0,得x3+x4=-4k.kAC=,同理kBD=,因為kAC+kBD==0,所以直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三角形.2.解(1)由拋物線定義,得|PF|=2+=3,得p=2,故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=kx+4,聯(lián)立消去x,得x2-4kx-16=0,Δ>0,x1+x2=4k,x1x2=-16.設(shè)A,B處的切線斜率分別為k1,k2,則k1=,k2=,在點A處的切線方程為y-y1=(x-x1),即y=,①同理,在點B處的切線方程為y=,②由①②得xQ==2k,代入①或②中可得yQ=kx1-=y1-4-y1=-4,故Q(2k,-4),即點Q在定直線y=-4上.設(shè)點G關(guān)于直線y=-4的對稱點為G',則G'(0,-12),由(1)知P(2,2),∵|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|≥|G'P|=2,即P,Q,G'三點共線時等號成立,∴△PQG周長的最小值為|GP|+|G'P|=2+23.解(1)由題意可得2a=2,故a=因為以|F1F2|為直徑的圓和C恰好有兩個交點,則b=c, b2+c2=2b2=a2=2,可得b=c=1,因此橢圓C的方程為+y2=1.(2)由題意可知,直線l1,l2的斜率存在且不為零,設(shè)過點P(x0,y0)的切線l:y-y0=k(x-x0),聯(lián)立消去y可得(2k2+1)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0,由于直線l與橢圓C相切,則Δ=16k2(y0-kx0)2-4(2k2+1)[2(y0-kx0)2-2]=0,化簡并整理得(y0-kx0)2=2k2+1.整理成關(guān)于k的二次方程得(-2)k2-2x0y0k+-1=0(易知x0≠±),設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,易知k1,k2為關(guān)于k的二次方程(-2)k2-2x0y0k+-1=0的兩根,所以k1k2==m,=m+1-2m,所以,=(m+1)+1-2m,故|PO|=易知當(dāng)x0=0時,有u=|PO|min=因為-1≤m≤-,所以u,即u的取值范圍是[].4.解(1)由題意可得解得p=4,所以拋物線C的方程為x2=8y.(2)由(1)知,圓F的方程為x2+(y-2)2=4,由已知可設(shè)l:y=kx+2,且A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-8kx-16=0,Δ=64k2+64>0恒成立,x1+x2=8k,x1x2=-16.設(shè)Q(x0,y0)是拋物線C上任一點,則|QF|=>2,故拋物線與圓相離.①證明:當(dāng)直線l與x軸不平行時,有k≠0,由拋物線定義知,|AF|=y1+2,|BF|=y2+2.所以||AM|-|BN||=|(|AF|-2)-(|BF|-2)|=||AF|-|BF||=|y1-y2|=|(kx1+2)-(kx2+2)|=|k||x1-x2|=|k|=|k|=8|k|>0,所以|AM|≠|(zhì)BN|.②由(1)知拋物線方程為y=x2,所以y'=x.所以過點A的切線l1:y-x1(x-x1),即y=x1x-同理可得,過點B的切線l2為y=x2x-由直線l1,l2的方程聯(lián)立,得x2y-x1y=-x2+x1,解得y=x1x2=-2,又得(x2-x1)x-)=0,所以x==4k,即D(4k,-2).點D(4k,-2)到直線l:y=kx+2的距離d==4,|AM|·|BN|=(|AF|-2)(|BF|-2)=[(y1+2)-2][(y2+2)-2]=y1y2=(x1x2)2=4,從而S△DAM·S△DBN=|AM|d|BN|d=4d2=d2=16(k2+1)≥16.5.解(1)依題意可知,|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲線E是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(除去與x軸的交點),因此曲線E的方程為=1(y≠0).(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),顯然直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m(m≠0),代入=1,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,(*)則x1+x2=-,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=,故MN的中點T的坐標(biāo)為 而直線y=-x經(jīng)過MN的中點T,得=-,又m≠0,所以直線l的斜率k=故(*)式可化簡為3x2+3mx+m2-3=0,故x1+x2=-m,x1x2=,由Δ=36-3m2>0且m≠0,得-22,∴動點P的軌跡為橢圓(左、右頂點除外),則2a=4,c=,∴b==1,∴動點P的軌跡方程是+y2=1(y≠0).(2)①若l1與x軸重合,則直線l1與動點P的軌跡沒有交點,不合乎題意;若l2與x軸重合,則直線l2與動點P的軌跡沒有交點,不合乎題意;設(shè)直線l1的方程為x=my+(m≠0),則直線l2的方程為x=-y+,∵直線l1,l2均過橢圓的焦點(橢圓內(nèi)一點),∴直線l1,l2與橢圓必有兩個不同的交點.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,整理得(m2+4)y2+2my-1=0,Δ>0,顯然恒成立.則y1+y2=-,則x1+x2=m(y1+y2)+2,∴點E的坐標(biāo)為,-,同理可得點F,直線EF的斜率為kEF=(m≠±1),直線EF的方程是y+x-,即y=x-,直線EF過定點,0.當(dāng)m=±1時,直線EF的方程為x=,直線EF過定點,0.綜上,直線EF過定點,0.②由①可得y1+y2=-,y1y2=-,∴|AB|=|y1-y2|=,同理可得|CD|=,∴四邊形ACBD的面積為S=|AB|·|CD|=,當(dāng)且僅當(dāng)m2=1時取等號.∴四邊形ACBD的面積的最小值為