【類型綜述】數(shù)學因運動而充滿活力，數(shù)學因變化而精彩紛呈，動態(tài)幾何問題是近年來中考的熱點問題，以運動的觀點來探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，動態(tài)問題的解答，一般要將動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題，抓住運動過程中的不變量，利用不變的關系和幾何性質建立關于方程（組）、函數(shù)關系問題，將幾何問題轉化為代數(shù)問題。在動態(tài)問題中，動點形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉、平移、對稱等幾何變化相結合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結合，從而產生數(shù)與形的完美結合.解決動點產生的等腰三角形問題的重點和難點在于應用分類討論思想和數(shù)形結合思想進行準確的分類.【方法揭秘】我們先回顧兩個畫圖問題：1．已知線段AB＝5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2．已知線段AB＝6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點C．已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．11 圖1圖2圖3【典例分析】例1．如圖，拋物線y=ax2-2ax+b經過點C（0，-），且與x軸交于點A、點B，若tanACO=．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為M，點P是線段OB上一動點（不與點B重合），MPQ=45，射線PQ與線段BM交于點Q，當△MPQ為等腰三角形時，求點P的坐標．例2如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．圖1例3如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．11 （1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．圖1[來源:Z|xx|k.Com]例4如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B．[來源:ZXXK]（1）求點A和點B的坐標；（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．例5如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點E是∠BAC的平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC＝，求AB、BD的長；11 （2）如圖1，求證：HF＝EF．[來源:]（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．圖1圖2例6如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒．（1）在運動過程中，求P、Q兩點間距離的最大值；（2）經過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關系式；（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由．（，結果保留一位小數(shù)）圖1【變式訓練】1．如圖，坐標平面內一點A(2，－1)，O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數(shù)為()第9題圖(A)2(B)3(C)4(D)511 2．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），點B（5，0），有一動點P在直線AB上，△APO是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）A﹒2個B﹒3個C﹒4個D﹒5個3．如圖，點A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°。若點M是⊙O上的動點，要使△ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點M有()A．1個B．2個C．3個D．4個4．如圖，等腰三角形的面積是16，且底邊長為4，腰的垂直平分線分別交邊于點.若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值是()[來源:Z#xx#k.Com]A．6B．8C．10D．125．如圖，是⊙的直徑，是弦，，．若點是直徑上一動點，當是等腰三角形時，__________．6．如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），∠AON＝30°，當∠A＝______________?時，△AOP為等腰三角形．7．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+4與y軸交于點C，點D（0，2），點M是拋物線上的動點．若△MCD是以CD為底的等腰三角形，則點M的坐標為_____．11 8．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為.9．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（5，4），點P為線段BC上動點，當△POA為等腰三角形時，點p坐標為______________．三、解答題10．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸正半軸上，邊，（）的長分別是方程的兩個根，是邊上的一動點（不與A、B重合）.（1）填空：AB=　　，OA=　?。?）若動點D滿足△BOC與△AOD相似，求直線的解析式.（3）若動點D滿足，且點為射線上的一個動點，當△PAD是等腰三角形時，直接寫出點的坐標．11 11．如圖，直線：交、軸分別為、兩點，點與點關于軸對稱．動點、分別在線段、上（點不與點、重合），滿足.（1）點坐標是　　，　　．（2）當點在什么位置時，，說明理由．（3）當為等腰三角形時，求點的坐標．12．如圖，已知拋物線（a≠0）經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點B的距離之和最短時，求點P的坐標；（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．13．在中，，，，⊙的半徑長為1，⊙交邊于點，點是邊上的動點．（1）如圖1，將⊙繞點旋轉得到⊙，請判斷⊙與直線的位置關系；（4分）11 （2）如圖2，在（1）的條件下，當是等腰三角形時，求的長；（5分）（3）如圖3，點是邊上的動點，如果以為半徑的⊙和以為半徑的⊙外切，設，，求關于的函數(shù)關系式及定義域．（5分）．14．如圖，已知一次函數(shù)的圖像與x軸交于A（-6,0）與y軸相交于點B，動點P從A出發(fā)，沿x軸向x軸的正方向運動.（1）求b的值，并求出△PAB為等腰三角形時點P的坐標；（2）在點P出發(fā)的同時，動點Q也從點A出發(fā)，以每秒個單位的速度，沿射線AB運動，運動時間為t（s）；①點Q的坐標（用含t的表達式表示）；②若點P的運動速度為每秒k個單位，請直接寫出當△APQ為等腰三角形時k的值.15．如圖，拋物線經過點，且與軸交于點、點，若．（1）求此拋物線的解析式；11 （2）若拋物線的頂點為，點是線段上一動點（不與點重合），，射線與線段交于點，當△為等腰三角形時，求點的坐標．16．如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．[來源:]（1）求拋物線的表達式；（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；（3）若拋物線上有一動點M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標．（4）拋物線的對稱軸上是否存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．17．如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點、，點坐標為．求該拋物線的解析式；拋物線的頂點為，在軸上找一點，使最小，并求出點的坐標；點是線段上的動點，過點作，交于點，連接．當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；若平行于軸的動直線與該拋物線交于點，與直線交于點，點的坐標為．問：是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．18．如圖1,在平面直角坐標系中,直線與拋物線交于兩點，其中,.11 該拋物線與軸交于點,與軸交于另一點.(1)求的值及該拋物線的解析式;(2)如圖2.若點為線段上的一動點(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時點的坐標.(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點,使得以為頂點的三角形與△相似,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.19．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.20．如圖，直線y=﹣x﹣4與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，其中A，B兩點的橫坐標分別為﹣1和﹣4，且拋物線過原點．（1）求拋物線的解析式；11 （2）在坐標軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；（3）若點P是線段AB上不與A，B重合的動點，過點P作PE∥OA，與拋物線第三象限的部分交于一點E，過點E作EG⊥x軸于點G，交AB于點F，若S△BGF=3S△EFP，求的值．11