第一章運動的描述勻變速直線運動的研究第3講運動圖象追及和相遇問題【教學(xué)目標(biāo)】1、理解圖象所表示的物理意義，能夠正確分析圖象所表達的物理過程2、會畫運動草圖建立兩個相關(guān)的運動物體的物理情景【重、難點】熟練掌握位移圖象和速度圖象的含義，并會運用對追及和相遇問題的分析、處理【知識梳理】（1）xt圖象和vt圖象都表示物體運動的軌跡。（）（2）xt圖象和vt圖象都只能描述直線運動。（）（3）xt圖象上兩圖線的交點表示兩物體此時相遇。（）（4）vt圖象上兩圖線的交點表示兩物體此時相遇。（）（5）同一直線上運動的兩物體，后者若追上前者，后者速度必須大于前者。（）（6）同一直線上運動的兩物體，速度相等時，兩物體相距最遠或最近。（）（7）兩物體同向運動恰好不相碰，則此時兩物體速度相等。（）23 考點一　對運動圖象物理意義的理解1．對x－t圖象的理解（1）物理意義：反映了做直線運動的物體隨________變化的規(guī)律．（2）圖線斜率的意義①圖線上某點切線的斜率大小表示物體________________．②圖線上某點切線的斜率正負表示物體________________．圖甲圖乙2．對v－t圖象的理解（1）物理意義：反映了做直線運動的物體隨________變化的規(guī)律．（2）圖線斜率的意義①圖線上某點切線的斜率大小表示物體運動的__________．②圖線上某點切線的斜率正負表示加速度的________．（3）圖線與橫軸圍成的“面積”的意義①圖線與橫軸圍成的“面積”表示________________．②若此面積在時間軸的上方，表示這段時間內(nèi)的位移方向為______；若此面積在時間軸的下方，表示這段時間內(nèi)的位移方向為______．典例精析23 例1、（多選）如圖所示的位移－時間圖象和速度－時間圖象中，給出的四條圖線1、2、3、4代表四個不同物體的運動情況．下列描述不正確的是（　?。〢．x－t圖象中t1時刻v1>v2B．圖線1表示物體做曲線運動C．圖線2和圖線4中，t2、t4時刻都表示物體反向運動D．v－t圖象中0至t3時間內(nèi)圖線3和圖線4的平均速度大小相等例2、（多選）如圖所示，有一質(zhì)點從t=0時刻開始，由坐標(biāo)原點出發(fā)開始運動，則下列選項中正確的是（）A．0到1s與3s到4s的加速度相同B．t=2s時，離開坐標(biāo)原點的距離最大C．t=1s時，離開坐標(biāo)原點的距離最大D．t=4s時，質(zhì)點回到原點變式1、（多選）如圖所示是做勻變速直線運動的質(zhì)點在0~6s內(nèi)的位移—時間圖線。若t=1s時，圖線所對應(yīng)的切線斜率為4（單位：m/s）。則下列說法中正確的是（）A．t=1s和t=5s時，質(zhì)點加速度的方向相反B．t=1s和t=5s時，質(zhì)點的速率相等C．前5s內(nèi)，合外力對質(zhì)點做正功D．t=1s時，質(zhì)點在x=5m的位置23 變式2、（多選）物體沿直線運動的v-t圖象如圖所示，已知在第1秒內(nèi)合外力對物體做的功為W，則（）A．從第1秒末到第3秒末合外力做功為4WB．從第3秒末到第5秒末合外力做功為－2WC．從第5秒末到第7秒末合外力做功為WD．從第3秒末到第4秒末合外力做功為－0.75W圖象問題的三個提醒1．x－t圖象、v－t圖象都不是物體運動的軌跡，圖象中各點的坐標(biāo)值x、v與t一一對應(yīng)．2．x－t圖象、v－t圖象的形狀由x與t、v與t的函數(shù)關(guān)系決定．3．無論是x－t圖象還是v－t圖象，所描述的運動情況都是直線運動．考點二　運動圖象的應(yīng)用1．用圖象解題可使解題過程簡化，思路更清晰，而且比解析法更巧妙、更靈活．在有些情況下運用解析法可能無能為力，但是圖象法則會使你豁然開朗．2．利用圖象描述物理過程更直觀．物理過程可以用文字表述，也可以用數(shù)學(xué)式表達，還可以用物理圖象描述．如果能夠用物理圖象描述，一般來說會更直觀且容易理解．例3、一個固定在水平面上的光滑物塊，其左側(cè)面是斜面AB，右側(cè)面是曲面AC，如圖所示。已知AB和AC的長度相同。兩個小球p、q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下滑，比較它們到達水平面所用的時間（）pqABCqA．p小球先到B．q小球先到C．兩小球同時到D．無法確定23 變式3、（多選）如圖所示，游樂場中，從高處A到水面B處有兩條長度相同的光滑軌道。甲、乙兩小孩沿不同軌道同時從A處自由滑向B處，下列說法正確的有（）A．甲的切向加速度始終比乙的大B．甲、乙在同一高度的速度大小相等C．甲、乙在同一時刻總能到達同一高度D．甲比乙先到達B處變式4、某同學(xué)欲估算飛機著陸時的速度，若飛機在跑道上滑行的距離為s，從著陸到停下來所用的時間為t，并且飛機的速度越大，所受的阻力越大，則飛機著陸時的速度應(yīng)是（　?。〢．v＝B．v＝C．v>D．0，則這兩個物體永遠不能相遇；若存在某個時刻t，使得y＝f（t）≤0，則這兩個物體可能相遇；其二是設(shè)在t時刻兩物體相遇，然后根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于t的方程f（t）＝0，若方程f（t）＝0無正實數(shù)解，則說明這兩物體不可能相遇；若方程f（t）＝0存在正實數(shù)解，則說明這兩個物體可能相遇；方法3：利用圖象求解。若用位移圖象求解，分別作出兩個物體的位移圖象，如果兩個物體的位移圖象相交，則說明兩物體相遇；若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與t軸包圍的面積。方法4：利用相對運動求解。用相對運動的知識求解追及或相遇問題時，要注意將兩個物體對地的物理量（速度、加速度和位移）轉(zhuǎn)化為相對的物理量；在追及問題中，常把被追及物體作為參考系，這樣追趕物體相對被追物體的各物理量即可表示為：s相對＝s后－s前＝s0，v相對＝v后－v前，a相對＝a后－a前，且上式中各物理量（矢量）的符號都應(yīng)以統(tǒng)一的正方向進行確定。題型一追者勻減速，被追者勻加速（要求用多種解法）例8、在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應(yīng)滿足什么條件？23 題型二追者勻減速，被追者勻速例9、汽車正在以10m/s的速度在平直的公路上勻速前進，在它的正前方x處有一輛自行車以4m/s的速度做同方向的勻速直線運動，汽車立即關(guān)閉油門做a＝－6m/s2的勻變速運動，若汽車恰好碰不上自行車，則x的大小為（）A．8.33m　　　　　　　B．3mC．3.33mD．7m變式7、晚間，甲火車以4m/s勻速前進，當(dāng)時乙火車誤入同一軌道且以20m/s的速度追向甲車，當(dāng)乙車司機發(fā)現(xiàn)甲車時兩車相距僅125m，乙車立即制動，已知這種速度前進的火車制動200m才能停下，問是否發(fā)生撞車事故？變式8、火車甲以速度v1勻速行駛，司機突然發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距x處有另一火車乙沿同方向以速度v2（對地，且v1>v2）做勻速運動。司機立即以加速度a緊急剎車。要使兩車不相撞，a的大小應(yīng)滿足什么條件？23 題型三追者勻速，被追者勻加速例10、一步行者以6.0m/s的速度跑去追趕被紅燈阻停的公共汽車，在跑到距汽車25m處時，綠燈亮了，汽車以1.0m/s2的加速度勻加速啟動前進，則(　　)A．人能追上公共汽車，追趕過程中人跑了36mB．人不能追上公共汽車，人、車最近距離為7mC．人能追上公共汽車，追上車前人共跑了43mD．人不能追上公共汽車，且車開動后，人車距離越來越遠題型四追者勻速，被追者勻減速例11、如圖所示，A、B兩物體相距x＝7m，物體A以vA＝4m/s的速度向右勻速運動，而物體B此時的速度vB＝10m/s，只在摩擦力作用下向右做勻減速運動，加速度a＝－2m/s2。那么物體A追上物體B所用的時間為（　?。〢．7s　　　　　B．8sC．9sD．10s題型五追者勻加速，被追者勻速例12、一輛執(zhí)勤的警車停在空路邊，當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以v=8m/s的速度勻速行駛的貨車有違章行為時，決定前去追趕，經(jīng)2.5秒，警車發(fā)動起來，以加速度做勻加速運動，試問：（1）警車發(fā)動后要多長時間才能追上違章的車？（2）在警車追上貨車之前，兩車間的最大距離是多大？23 題型六追者勻加速，被追者勻減速例13、2016年世界中學(xué)生五人制足球錦標(biāo)賽落下帷幕，代表中國參賽的河南男隊和河北女隊取得了優(yōu)異成績。五人制足球的賽場長40m，寬20m，如圖所示。在比賽中，攻方隊員在中線附近突破防守隊員，將足球沿邊路向前踢出，足球的運動可視為初速度為v1＝6m/s的勻減速直線運動，加速度大小為a1＝1m/s2。該隊員將足球踢出后立即由靜止開始追趕足球，他的運動可視為勻加速直線運動，最大加速度為a2＝1m/s2，能達到的最大速度為v2＝4m/s。該隊員至少經(jīng)過多長時間能追上足球？題型七追及與圖象例14、（多選）兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛．t＝0時兩車都在同一計時線處，此時比賽開始．它們在四次比賽中的v－t圖如圖所示．則下列圖對應(yīng)的比賽中，有一輛賽車能夠追上另一輛的是（　?。?3 變式9、（多選）甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻同時經(jīng)過公路旁的同一路標(biāo)．如圖是描述兩車運動的v－t圖線，折線ABC和折線OBD分別描述了甲、乙兩車在0～20s內(nèi)的運動情況．關(guān)于甲、乙兩車的運動，下列說法正確的是（　?。〢．在0～10s內(nèi)，兩車逐漸靠近B．在t＝10s時，兩車相遇C．在10s～20s內(nèi)，兩車逐漸遠離D．在0～20s內(nèi)，兩車最遠距離為100m變式10、（多選）甲、乙兩車在一平直道路上同向運動，其v－t圖象如圖所示，圖中△OPQ和△OQT的面積分別為s1和s2（s2>s1）。初始時，甲車在乙車前方s0處，則下列判斷正確的是（）A．若s0＝s2，兩車相遇1次B．若s0sB，則不能追上．3．若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷追上前該物體是否已經(jīng)停止運動．4．仔細審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，要滿足相應(yīng)的臨界條件5．在分析追及與相遇問題時，可用以下方法：（1）臨界條件法：當(dāng)二者速度相等時，二者相距最遠（最近）．（2）圖象法：畫出s－t圖象或v－t圖象，然后利用圖象進行分析求解．（3）數(shù)學(xué)判別式法：設(shè)相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進行討論，若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相遇．【能力展示】【小試牛刀】1．質(zhì)點做直線運動的v－t圖象如圖所示，規(guī)定向右為正方向，則該質(zhì)點在前8s內(nèi)平均速度的大小和方向分別為（　?。〢．0.25m/s　向右B．0.25m/s　向左C．1m/s　向右D．1m/s　向左23 2．（多選）（2018年全國II卷）甲、乙兩汽車同一條平直公路上同向運動，其速度—時間圖像分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在t2時刻并排行駛，下列說法正確的是（）A．兩車在t1時刻也并排行駛B．t1時刻甲車在后，乙車在前C．甲車的加速度大小先增大后減小D．乙車的加速度大小先減小后增大3．（多選）甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛．在t＝0到t＝t1的時間內(nèi)，它們的v－t圖象如圖所示．在這段時間內(nèi)（　　）A．汽車甲的平均速度比乙的大B．汽車乙的平均速度小于C．甲、乙兩汽車的位移相同D．汽車甲的加速度大小逐漸減小，汽車乙的加速度大小逐漸增大4．亞丁灣索馬里海域六艘海盜快艇試圖靠近中國海軍護航編隊保護的商船，中國特戰(zhàn)隊員發(fā)射爆震彈成功將其驅(qū)離．假如其中一艘海盜快艇在海面上運動的v－t圖象如圖所示，設(shè)運動過程中海盜快艇所受阻力不變．則下列說法正確的是（　　）A．海盜快艇在0～66s內(nèi)從靜止出發(fā)做加速度增大的加速直線運動B．海盜快艇在66s末離商船最近C．海盜快艇在96s末開始調(diào)頭逃離D．海盜快艇在96s～116s內(nèi)做勻減速直線運動23 5．兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。已知前車在剎車過程中所行的距離為S，若要保證兩輛車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時保持的距離至少應(yīng)為（）A．S　B．2SC．3S　D．4S6．汽車甲沿平直公路以速度v0做勻速直線運動，當(dāng)它經(jīng)過某處的另一輛靜止的汽車乙時，乙開始做初速度為零的勻加速直線運動去追甲。據(jù)上述條件（）A．可求出乙追上甲時的速度B．可求出乙追上甲時乙所走過的路程C．可求出乙追上甲所用的時間D．不能求出上述三者中的任何一個物理量7．甲、乙兩輛汽車以相同的速率v0在水平地面上相向做勻速直線運動，某時刻乙車先以大小為a的加速度做勻減速運動，當(dāng)速率減小到0時，甲車也以大小為a的加速度做勻減速運動。為了避免碰車，在乙車開始做勻減速運動時，甲、乙兩車的距離至少應(yīng)為（　　?。〢．　　　　B．　　　C．　　　D．8．（多選）（2016年全國課標(biāo)卷I）甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v-t圖象如圖所示。已知兩車在t=3s時并排行駛，則（）廣州卓越教育培訓(xùn)中心李詠華作圖v/m·s-1t/s甲乙0123102030A．在t=1s時，甲車在乙車后B．在t=0時，甲車在乙車前7.5mC．兩車另一次并排行駛的時刻是t=2sD．甲、乙兩車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40m23 9．（多選）（2018年全國III卷）甲、乙兩車在同一平直公路上同向運動，甲做勻加速直線運動，乙做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化如圖所示。下列說法正確的是（）A．在t1時刻兩車速度相等B．從0到t1時間內(nèi)，兩車走過的路程相等C．從t1到t2時間內(nèi)，兩車走過的路程相等D．從t1到t2時間內(nèi)的某時刻，兩車速度相等10．一乒乓球運動員在一次近臺拋發(fā)球技術(shù)練習(xí)中，將一乒乓球靠近球臺邊緣豎直向上拋出，球拍沒有與球接觸，經(jīng)一段時間后落到地面，取豎直向上為正方向，空氣阻力不能忽略，且大小不變．則下面最能反映乒乓球運動過程的速度—時間圖線是（　?。?1．甲、乙兩個物體從同一地點、沿同一直線同時做直線運動，其v－t圖象如圖所示，則（　?。?3 A．1s時甲和乙相遇B．0～6s內(nèi)甲、乙相距最大距離為1mC．2s～6s內(nèi)甲相對乙做勻速直線運動D．4s時乙的加速度方向反向12．一輛值勤的警車停在公路邊，當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以10m/s的速度勻速行駛的貨車嚴(yán)重超載時，決定前去追趕，經(jīng)過5.5s后警車發(fā)動起來，并以2.5m/s2的加速度做勻加速運動，但警車的行駛速度必須控制在90km/h以內(nèi)。問：（1）警車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是多少？（2）警車發(fā)動后要多長時間才能追上貨車？23 【大顯身手】13．甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻同時經(jīng)過公路旁的同一個路標(biāo)．在描述兩車運動的v－t圖象中，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20s的運動情況，如圖所示．關(guān)于兩車之間的位置關(guān)系，下列說法正確的是（　　）A．在0～10s內(nèi)兩車逐漸靠近B．在10s～20s內(nèi)兩車逐漸遠離C．在5s～15s內(nèi)兩車的位移相等D．在t＝10s時兩車在公路上相遇14．某質(zhì)點做直線運動，運動速率的倒數(shù)與位移x的關(guān)系如圖所示，關(guān)于質(zhì)點的運動，下列說法正確的是(　　)A．質(zhì)點做勻加速直線運動B．x圖線斜率等于質(zhì)點運動加速度C．四邊形AA′B′B的面積可表示質(zhì)點從C到C′所用的運動時間D．四邊形BB′C′C的面積可表示質(zhì)點從C到C′所用的運動時間15．（2016年江蘇卷）小球從一定高度處由靜止下落，與地面碰撞后回到原高度再次下落，重復(fù)上述運動，取小球的落地點為原點建立坐標(biāo)系，豎直向上為正方向，下列速度v和位置x的關(guān)系圖象中，能描述該過程的是（）16．某物體做直線運動的v-t圖象如圖所示，據(jù)此判斷下列四個選項中正確的是（F表示物體所受合力，x表示物體的位移）（）23 17．如圖所示，滑塊以初速度v0沿表面粗糙且足夠長的固定斜面，從頂端下滑，直至速度為零。對于該運動過程，若用h、s、v、a分別表示滑塊的下降高度、位移、速度和加速度的大小，t表示時間，則下列圖象最能正確描述這一運動規(guī)律的是(　　)18．甲、乙兩車在公路上沿同一方向做直線運動，它們的v-t圖象如圖所示。兩圖象在t=t1時相交于P點，P在橫軸上的投影為Q，△OPQ的面積為S。在t=0時刻，乙車在甲車前面，相距為d。已知此后兩車相遇兩次，且第一次相遇的時刻為t′，則下面四組t′和d的組合可能是（）A．t′＝t1，d=SB．t′=23 C．t′D．t′=19．（多選）甲、乙兩物體由同一位置出發(fā)沿一直線運動，其速度－時間圖象如圖所示，下列說法正確的是（　?。〢．甲做勻速直線運動，乙做勻變速直線運動B．兩物體兩次相遇的時刻分別是在2s末和6s末C．乙在頭2s內(nèi)做勻加速直線運動，2s后做勻減速直線運動D．2s后，甲、乙兩物體的速度方向相反20．一個物體以初速度v0沿光滑斜面向上運動，其速度v隨時間t變化的規(guī)律如圖所示，在連續(xù)兩段時間m和n內(nèi)對應(yīng)面積均為S，則經(jīng)過b時刻的速度大小為(　　)A．　　　B．C．D．21．（多選）在平直軌道上甲、乙兩物體相距為s，同向同時開始運動，乙在前，甲在后。甲以初速度v1、加速度a1做勻加速運動，乙做初速度為零，加速度為a2的勻加速運動，假定甲能從乙旁通過而不受影響，下列情況可能發(fā)生的是（??）?A．當(dāng)a1>a2時，甲、乙可能相遇兩次B．?當(dāng)a1=a2時，甲、乙只能相遇一次C．當(dāng)a1>a2時，甲、乙只能相遇一次D．當(dāng)a10，即所以，即，即為A、B在空中相遇的條件。當(dāng)在B球的最高點相遇時，應(yīng)有，且，解得因而當(dāng)時，在B球下降過程中兩球相遇；當(dāng)時，恰在B球上升到最高點時，兩球相遇；當(dāng)時，在B球上升過程中兩球相遇。24、解析：設(shè)甲、乙到達坡底時間分別為t甲和t乙L=a甲t甲2得t甲=6sL=v0t乙＋a乙t乙2得t乙=4st乙＋△t＜t甲故可以追上設(shè)甲出發(fā)后經(jīng)t1，乙與甲達到共同速度v，則：V=a甲t1=v0＋a乙(t1－△t)解得：t1=1.5sX甲=a甲t12=mX乙=v0(t1－△t)＋a乙(t1－△t)2=1m∴△x=X甲－X乙=1.25m23