高考第一輪復習——“板+塊”模型【知識梳理】1．模型特點：上、下疊放兩個物體，并且兩物體在摩擦力的相互作用下發(fā)生相對滑動．“板+塊”模型類問題中，滑動摩擦力的分析方法與傳送帶類似，但這類問題比傳送帶類問題更復雜，因為木板往往受到摩擦力的影響也做勻變速直線運動，處理此類物體勻變速運動問題要注意從速度、位移、時間等角度，尋找它們之間的聯(lián)系．2．建模指導解此類題的基本思路：（1）分析滑塊和木板的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律分別求出滑塊和木板的加速度；（2）對滑塊和木板進行運動情況分析，找出滑塊和木板之間的位移關(guān)系或速度關(guān)系，建立方程．特別注意滑塊和木板的位移都是相對地面的位移以下為了方便分類歸納，統(tǒng)一設物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ1，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2；最大靜摩擦力都等于滑動摩擦力。（一）μ1≠0，μ2＝0，即地面光滑例1．如圖所示，高H=1.6m的賽臺ABCDE固定于地面上，其上表面ABC光滑；質(zhì)量M＝1kg、高h=0.8m、長L=1m的小車Q緊靠賽臺右側(cè)CD面(不粘連)，放置于光滑水平地面上.質(zhì)量m=1kg的小物塊P從賽臺頂點A由靜止釋放，經(jīng)過B點的小曲面無損失機械能的滑上BC水平面，再滑上小車的左端。已知小物塊與小車上表面的動摩擦因數(shù)μ=0.3，g取10m/s2。（1）求小物塊P滑上小車左端時的速度v1；（2）小物塊P能否從小車Q的右端飛出嗎？若不能，求小物塊P最終離小車右端的距離；若能，求小物塊P落地時與小車右端的水平距離。 變式1．如圖所示，質(zhì)量為6m、長為L的薄木板AB放在光滑的平臺上。B端上放有質(zhì)量為3m且可視為質(zhì)點的滑塊C，C與木板之間的動摩擦因數(shù)為。質(zhì)量為m的小球用長為L的細繩懸掛在木板右邊緣正上方的O點，細繩豎直時小球恰好與C接觸．現(xiàn)將小球向右拉至細繩水平并由靜止釋放，小球運動到最低點時細繩恰好斷裂．小球與C碰撞后反彈速率為碰前的一半。（1）求細繩能夠承受的最大拉力；（2）通過計算判斷C能否從木板上掉下來．（2） （二）μ1≠0，μ2≠0，且μ1>μ2例2．如圖所示，一質(zhì)量為M=20kg，長為L=3m的木板放在水平面上，有一質(zhì)量為m=10kg的小物塊（可視為質(zhì)點）以v0=4m/s的速度從木板的左端滑上木板。物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ1=0.4，木板與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ2=0.15，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g=10m/s2。則以下判斷正確的是（）A．木板一定靜止不動，小物塊不能滑出木板B．木板一定靜止不動，小物塊能滑出木板C．木板一定向右滑動，小物塊不能滑出木板D．木板一定向右滑動，小物塊能滑出木板例3．如圖所示，質(zhì)量M=2kg足夠長的木板靜止在水平地面上，另一個質(zhì)量m=1kg的小滑塊以6m/s的初速度滑上木板的左端。已知滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ1=0.5，木板與地面的動摩擦因數(shù)μ2=0.1，g取l0m/s2。求：（1）求小滑塊自滑上木板到相對木板處于靜止的過程中，小滑塊相對地面的位移大?。唬?）求木板相對地面運動位移的最大值；（3）為使小滑塊不能離開木板，則木板的長度至少多長。 變式2．長為1.5m的長木板B靜止放在水平面上，小物塊A以某一初速度從B的左端滑上B，直到A、B的速度達到相同，此時A、B的速度為0.4m/s，然后A、B又一起在水平面上滑行了8.0cm后停下。若A可視為質(zhì)點，它與B的質(zhì)量相同，A、B間的動摩擦因數(shù)μ1=0.25。（1）B與水平面的動摩擦因數(shù)；（2）A相對于B滑行的距離；（3）為了保證A不從B的右端滑落，A滑上B的初速度最大為多少？（三）μ1≠0，μ2≠0，且μ1≤μ2例4．如圖所示，一質(zhì)量為M的木板，在粗糙地面上自由滑行，當速度變?yōu)関0=5m/s時，將一質(zhì)量為m的小滑塊（視為質(zhì)點）輕放在木板的右端，已知M=m，小滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ1＝0.1，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2＝0.15，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g＝10m/s2。求：（1）從放上小滑塊開始后經(jīng)過多長時間兩者速度相等；（2）為使小滑塊不從木板上掉下來，木板的長度至少多大；（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距木板右端多遠處。 變式3．如圖甲所示，一長木板A在水平地面上運動，在t＝0時刻將一相對于地面靜止的物塊B輕放到木板上，以后木板運動的速度－時間圖象如圖乙所示。已知物塊與木板的質(zhì)量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦。物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上。取重力加速度的大小g＝10m/s2，求：（1）物塊與木板間、木板與地面間的動摩擦因數(shù)；（2）從t＝0時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移的大小。乙（四）μ1≠0，μ2＝0，有外力F作用例5．物體A的質(zhì)量m＝1kg，靜止在光滑水平面上的平板車B的質(zhì)量為M＝0.5kg、長L＝1m。某時刻A以v0＝4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同時，給B施加一個水平向右的拉力。忽略物體A的大小，已知A與B之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2。求：（1）若F=5N，物體A在小車上運動時離小車右端的最近距離；（2）如果要使A不至于從B上滑落，拉力F大小應滿足的條件。 （五）μ1≠0，μ2≠0，有外力F作用例6．（2013年江蘇卷）如圖所示，將小砝碼置于桌面上的薄紙板上，用水平向右的拉力將紙板迅速抽出，砝碼的移動很小，幾乎觀察不到，這就是大家熟悉的慣性演示實驗。若砝碼和紙板的質(zhì)量分別為m1和m2，各接觸面間的動摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g。（1）當紙板相對砝碼運動時，求紙板所受摩擦力大?。唬?）要使紙板相對砝碼運動，求所需拉力的大??；（3）本實驗中，=0.5kg，=0.1kg，μ=0.2，砝碼與紙板左端的距離d=0.1m，取g=10m/s2。若砝碼移動的距離超過l=0.002m，人眼就能感知。為確保實驗成功，紙板所需的拉力至少多大? （七）運用動能定理處理板塊問題例7．如圖所示，光滑的圓弧AB，半徑R＝0.8m，固定在豎直平面內(nèi)。一輛質(zhì)量為M＝2kg的小車處在水平光滑地面上，小車的上表面CD與圓弧在B點的切線重合，初始時B與C緊挨著，小車長L＝1m，高H＝0.2m?，F(xiàn)有一個質(zhì)量為m＝1kg的滑塊（可視為質(zhì)點），自圓弧上的A點從靜止開始釋放，滑塊運動到B點后沖上小車，帶動小車向右運動，當滑塊與小車分離時，小車運動了x＝0.2m，此時小車的速度為v＝1m/s。求：（1）滑塊與小車間的動摩擦因數(shù)；（2）滑塊與小車分離時的速度；（3）滑塊著地時與小車右端的水平距離。 【能力展示】【小試牛刀】1．（多選）如圖所示，質(zhì)量為m的木塊放在質(zhì)量為M的長木板上，木塊和木板均處于靜止狀態(tài)。當一木塊受到水平向右的拉力F作用時能在木板上向右加速運動，而長木板仍處于靜止狀態(tài)。若木塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ1表示，木板與水平地面間的動摩擦因數(shù)用μ2表示，則采取下列哪些措施后有可能使木塊和木板都能運動起來（）A．若μ1=μ2，可增大拉力FB．若μ1≤μ2，可將拉力F從m上移到M上C．若μ1=μ2，可在m上加一個豎直向下的壓力D．若μ1>μ2，可在m上加一個豎直向下的壓力2．如圖所示，一足夠長的木板靜止在光滑水平面上，一物塊靜止在木板上，木板和物塊間有摩擦．現(xiàn)用水平力向右拉木板，當物塊相對木板滑動了一段距離但仍有相對運動時，撤掉拉力，此后木板和物塊相對于水平面的運動情況為(　　)A．物塊先向左運動，再向右運動B．物塊向右運動，速度逐漸增大，直到做勻速運動C．木板向右運動，速度逐漸變小，直到為零D．木板和物塊的速度都逐漸變小，直到為零3．如圖所示，一長木板在水平地面上運動，在某時刻(t＝0)將一相對于地面靜止的物塊輕放到木板上，已知物塊與木板的質(zhì)量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上．在物塊放到木板上之后，木板運動的速度—時間圖象可能是下列選項中的(　　) 4．如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等?，F(xiàn)給木塊施加一隨時間t增大的水平力F＝kt（k是常數(shù)），木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2。下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是(　　)5．如圖所示，上表面光滑，長度為3m、質(zhì)量M＝10kg的木板，在F＝50N的水平拉力作用下，以v0＝5m/s的速度沿水平地面向右勻速運動?，F(xiàn)將一個質(zhì)量為m＝3kg的小鐵塊（可視為質(zhì)點）無初速度地放在木板最右端，當木板運動了L＝1m時，又將第二個同樣的小鐵塊無初速度地放在木板最右端，以后木板每運動1m就在其最右端無初速度地放上一個同樣的小鐵塊．（g取10m/s2）求：（1）木板與地面間的動摩擦因數(shù)；（2）剛放第三個鐵塊時木板的速度；（3）從放第三個鐵塊開始到木板停下的過程，木板運動的距離。 6．如圖所示，物塊A、木板B的質(zhì)量均為m=10kg，不計A的大小，B板長L=3m。開始時A、B均靜止。現(xiàn)給A以某一水平初速度從B的最左端開始運動。已知A與B、B與地面之間的動摩擦因數(shù)分別為μ1=0.3和μ2=0.1，g取10m/s2。（1）若物塊A剛好沒有從B上滑下來，則A的初速度多大？（2）若把木板B放在光滑水平面上，讓A仍以（1）問的初速度從B的最左端開始運動，則A能否與B脫離？最終A和B的速度各是多大？【大顯身手】7．如圖所示，長為L＝1m、質(zhì)量M＝0.25kg的木板放在光滑水平面上，質(zhì)量m＝2kg的小物塊（可視為質(zhì)點）位于木板的左端，木板和物塊間的動摩擦因數(shù)μ＝0.1?，F(xiàn)突然給木板一向左的初速度v0＝2m/s，同時對小物塊施加一水平向右的恒定拉力F＝10N，經(jīng)過一段時間后，物塊與木板相對靜止，此時撤去力F。取g＝10m/s2，求：（1）物塊最終停在木板上的位置；（2）在物塊與木板達到相對靜止前的運動過程中拉力F做的功和產(chǎn)生的內(nèi)能． 8．如圖所示，質(zhì)量為m＝1kg的小滑塊，從光滑、固定的圓弧軌道的最高點A由靜止滑下，經(jīng)最低點B后滑到位于水平面的木板上。已知木板質(zhì)量M＝2kg，其上表面與圓弧軌道相切于B點，且長度足夠長。整個過程中木板的v－t圖象如圖所示，g＝10m/s2。求：（1）滑塊經(jīng)過B點時對圓弧軌道的壓力；（2）滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)以及木板與水平面之間的動摩擦因數(shù)；（3）滑塊在木板上滑過的距離；9．如圖所示，質(zhì)量為m=5kg的長木板放在水平地面上，在木板的最右端放一質(zhì)量也為m=5kg的物塊A。木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ1=0.3，物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ2=0.2。現(xiàn)用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由靜止開始勻加速運動，經(jīng)過t=1s，撤去拉力。設物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。（g取10m/s2）求：（1）拉力撤去時，木板的速度大小；（2）要使物塊不從木板上掉下，木板的長度至少多大；（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距板右端多遠處；10．如圖甲所示，質(zhì)量為M＝4kg足夠長的木板靜止在光滑的水平面上，在木板的中點放一個質(zhì)量m＝4kg大小可以忽略的鐵塊，鐵塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.2 ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。兩物塊開始均靜止，從t＝0時刻起鐵塊m受到水平向右、大小如圖乙所示的拉力F的作用，F(xiàn)共作用時間為6s，（取g＝10m/s2）則：（1）鐵塊和木板在前2s的加速度大小分別為多少？（2）鐵塊和木板相對靜止前，運動的位移大小各為多少？（3）力F作用的最后2s內(nèi)，鐵塊和木板的位移大小分別是多少？ 高考第一輪復習——“板+塊”模型答案例3．（1）3.5m（2）1m（3）3m變式2．（1）μ=0.1（2）0.96m（3）3m/s例4．（1）1s（2）2.5m（3）2.25m變式3．（1）0.20；0.30　（2）1.125m例5．答案：（1）0.5m?。?）1N≤F≤3N解析：（1）物體A滑上平板車B以后，做勻減速運動，由牛頓第二定律得：μMg＝MaA解得：aA＝μg＝2m/s2平板車B做勻加速直線運動，由牛頓第二定律得：F＋μMg＝maB解得：aB＝14m/s2兩者速度相同時有：v0－aAt＝aBt解得：t＝0.25sA滑行距離：xA＝v0t－aAt2＝mB滑行距離：xB＝aBt2＝m離小車右端最近距離Δx＝L+xB－xA＝0.5m（2）物體A不滑落的臨界條件是A到達B的右端時，A、B具有共同的速度v1，則：＝＋L又：＝解得：aB＝6m/s2再代入F＋μMg＝maB得：F＝1N若F<1N，則A滑到B的右端時，速度仍大于B的速度，于是將從B上滑落，所以F必須大于等于1N當F較大時，在A到達B的右端之前，就與B具有相同的速度，之后，A必須相對B靜止，才不會從B的左端滑落，則由牛頓第二定律得：對整體：F＝(m＋M)a對物體A：μMg＝Ma 解得：F＝3N若F大于3N，A就會相對B向左滑下綜上所述，力F應滿足的條件是1N≤F≤3N例6．答案：（1）μ(2m1＋m2)g?。?）F>2μ(m1＋m2)g（3）22.4N解析：（1）砝碼對紙板的摩擦力f1＝μm1g桌面對紙板的滑動摩擦力f2＝μ(m1＋m2)gf＝f1＋f2解得f＝μ(2m1＋m2)g.（2）設砝碼的加速度為a1，紙板的加速度為a2，則f1＝m1a1F－f1－f2＝m2a2發(fā)生相對運動則a2>a1解得F>2μ(m1＋m2)g.（3）紙板抽出前，砝碼運動的距離x1＝a1t紙板運動的距離d＋x1＝a2t紙板抽出后，砝碼在桌面上運動的距離x2＝a3tl＝x1＋x2由題意知a1＝a3，a1t1＝a3t2解得F＝2μ[m1＋(1＋)m2]g代入數(shù)據(jù)得F＝22.4N例7．（1）0.5（2）2m/s（3）0.2m 【能力展示】3．A5．（1）0.5（2）4m/s（3）6．（1）m/s（2）沒有脫離，m/s7．（1）最終停在木板的中點上；（2）5J、1J8．（1）30N，方向豎直向下?。?）0.5；0.1?。?）3m解析：（1）從A到B過程，滑塊的機械能守恒mgR＝mv2經(jīng)B點時，根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg＝解得FN＝3mg＝30N，根據(jù)牛頓第三定律知，滑塊對軌道的壓力大小為30N，方向豎直向下．（2）由v－t圖象知，木板加速的加速度為a1＝1m/s2，滑塊與木板共同減速的加速度大小a2＝1m/s2，設滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ1，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2，在1s～2s內(nèi)，對滑塊和木板：μ2(m＋M)g＝(m＋M)a2在0～1s內(nèi)，對木板：μ1mg－μ2(m＋M)g＝Ma1解得：μ1＝0.5；μ2＝0.1（3）滑塊在木板上滑動過程中，設滑塊與木板相對靜止時的共同速度為v1，滑塊從滑上木板到兩者達到共同速度所用時間為t1對滑塊：μ2mg＝mav1＝v－at1，v1＝1m/s，t1＝1s木板的位移S1＝t1滑塊的位移S2＝t1 滑塊在木板上滑過的距離ΔS＝S2－S1代入數(shù)據(jù)解得ΔS＝3m9．（1）4m/s（2）1.2m（3）0.48m10．答案：（1）3m/s2　2m/s2?。?）20m　16m（3）19m　19m解析：（1）前2s，由牛頓第二定律得對鐵塊：F－μmg＝ma1解得a1＝3m/s2對木板：μmg＝Ma2解得a2＝2m/s2。（2）2s內(nèi)，鐵塊的位移x1＝a1t2＝6m木板的位移x2＝a2t2＝4m2s末，鐵塊的速度v1＝a1t＝6m/s木板的速度v2＝a2t＝4m/s2s后，對鐵塊：F′－μmg＝ma1′解得a1′＝1m/s2對木板：μmg＝Ma2′解得a2′＝2m/s2設再經(jīng)過t0時間鐵塊和木板的共同速度為v，則v＝v1＋a1′t0＝v2＋a2′t0解得t0＝2s，v＝8m/s在t0內(nèi)，鐵塊的位移x1′＝t0＝×2m＝14m木板的位移x2′＝t0＝×2m＝12m所以鐵塊和木板相對靜止前鐵塊運動的位移為x鐵塊＝x1＋x1′＝20m鐵塊和木板相對靜止前木板運動的位移為x木板＝x2＋x2′＝16m。（3）力F作用的最后2s，鐵塊和木板相對靜止，一起以初速度v＝8m/s做勻加速直線運動，對鐵塊和木板整體：F＝(M＋m)a 解得a＝＝m/s2＝1.5m/s2所以鐵塊和木板運動的位移均為x3＝vΔt＋a(Δt)2＝19m。