高考第一輪復(fù)習(xí)——“板+塊”模型【知識(shí)梳理】1．模型特點(diǎn)：上、下疊放兩個(gè)物體，并且兩物體在摩擦力的相互作用下發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)．“板+塊”模型類(lèi)問(wèn)題中，滑動(dòng)摩擦力的分析方法與傳送帶類(lèi)似，但這類(lèi)問(wèn)題比傳送帶類(lèi)問(wèn)題更復(fù)雜，因?yàn)槟景逋艿侥Σ亮Φ挠绊懸沧鰟蜃兯僦本€運(yùn)動(dòng)，處理此類(lèi)物體勻變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題要注意從速度、位移、時(shí)間等角度，尋找它們之間的聯(lián)系．2．建模指導(dǎo)解此類(lèi)題的基本思路：（1）分析滑塊和木板的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律分別求出滑塊和木板的加速度；（2）對(duì)滑塊和木板進(jìn)行運(yùn)動(dòng)情況分析，找出滑塊和木板之間的位移關(guān)系或速度關(guān)系，建立方程．特別注意滑塊和木板的位移都是相對(duì)地面的位移以下為了方便分類(lèi)歸納，統(tǒng)一設(shè)物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2；最大靜摩擦力都等于滑動(dòng)摩擦力。（一）μ1≠0，μ2＝0，即地面光滑例1．如圖所示，高H=1.6m的賽臺(tái)ABCDE固定于地面上，其上表面ABC光滑；質(zhì)量M＝1kg、高h(yuǎn)=0.8m、長(zhǎng)L=1m的小車(chē)Q緊靠賽臺(tái)右側(cè)CD面(不粘連)，放置于光滑水平地面上.質(zhì)量m=1kg的小物塊P從賽臺(tái)頂點(diǎn)A由靜止釋放，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的小曲面無(wú)損失機(jī)械能的滑上BC水平面，再滑上小車(chē)的左端。已知小物塊與小車(chē)上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，g取10m/s2。（1）求小物塊P滑上小車(chē)左端時(shí)的速度v1；（2）小物塊P能否從小車(chē)Q的右端飛出嗎？若不能，求小物塊P最終離小車(chē)右端的距離；若能，求小物塊P落地時(shí)與小車(chē)右端的水平距離。 變式1．如圖所示，質(zhì)量為6m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的薄木板AB放在光滑的平臺(tái)上。B端上放有質(zhì)量為3m且可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊C，C與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛在木板右邊緣正上方的O點(diǎn)，細(xì)繩豎直時(shí)小球恰好與C接觸．現(xiàn)將小球向右拉至細(xì)繩水平并由靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩恰好斷裂．小球與C碰撞后反彈速率為碰前的一半。（1）求細(xì)繩能夠承受的最大拉力；（2）通過(guò)計(jì)算判斷C能否從木板上掉下來(lái)．（2） （二）μ1≠0，μ2≠0，且μ1>μ2例2．如圖所示，一質(zhì)量為M=20kg，長(zhǎng)為L(zhǎng)=3m的木板放在水平面上，有一質(zhì)量為m=10kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v0=4m/s的速度從木板的左端滑上木板。物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.4，木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2=0.15，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g=10m/s2。則以下判斷正確的是（）A．木板一定靜止不動(dòng)，小物塊不能滑出木板B．木板一定靜止不動(dòng)，小物塊能滑出木板C．木板一定向右滑動(dòng)，小物塊不能滑出木板D．木板一定向右滑動(dòng)，小物塊能滑出木板例3．如圖所示，質(zhì)量M=2kg足夠長(zhǎng)的木板靜止在水平地面上，另一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小滑塊以6m/s的初速度滑上木板的左端。已知滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.5，木板與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.1，g取l0m/s2。求：（1）求小滑塊自滑上木板到相對(duì)木板處于靜止的過(guò)程中，小滑塊相對(duì)地面的位移大??；（2）求木板相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)位移的最大值；（3）為使小滑塊不能離開(kāi)木板，則木板的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)。 變式2．長(zhǎng)為1.5m的長(zhǎng)木板B靜止放在水平面上，小物塊A以某一初速度從B的左端滑上B，直到A、B的速度達(dá)到相同，此時(shí)A、B的速度為0.4m/s，然后A、B又一起在水平面上滑行了8.0cm后停下。若A可視為質(zhì)點(diǎn)，它與B的質(zhì)量相同，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.25。（1）B與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)；（2）A相對(duì)于B滑行的距離；（3）為了保證A不從B的右端滑落，A滑上B的初速度最大為多少？（三）μ1≠0，μ2≠0，且μ1≤μ2例4．如圖所示，一質(zhì)量為M的木板，在粗糙地面上自由滑行，當(dāng)速度變?yōu)関0=5m/s時(shí)，將一質(zhì)量為m的小滑塊（視為質(zhì)點(diǎn)）輕放在木板的右端，已知M=m，小滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1＝0.1，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2＝0.15，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g＝10m/s2。求：（1）從放上小滑塊開(kāi)始后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩者速度相等；（2）為使小滑塊不從木板上掉下來(lái)，木板的長(zhǎng)度至少多大；（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距木板右端多遠(yuǎn)處。 變式3．如圖甲所示，一長(zhǎng)木板A在水平地面上運(yùn)動(dòng)，在t＝0時(shí)刻將一相對(duì)于地面靜止的物塊B輕放到木板上，以后木板運(yùn)動(dòng)的速度－時(shí)間圖象如圖乙所示。已知物塊與木板的質(zhì)量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦。物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且物塊始終在木板上。取重力加速度的大小g＝10m/s2，求：（1）物塊與木板間、木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；（2）從t＝0時(shí)刻到物塊與木板均停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊相對(duì)于木板的位移的大小。乙（四）μ1≠0，μ2＝0，有外力F作用例5．物體A的質(zhì)量m＝1kg，靜止在光滑水平面上的平板車(chē)B的質(zhì)量為M＝0.5kg、長(zhǎng)L＝1m。某時(shí)刻A以v0＝4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同時(shí)，給B施加一個(gè)水平向右的拉力。忽略物體A的大小，已知A與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2。求：（1）若F=5N，物體A在小車(chē)上運(yùn)動(dòng)時(shí)離小車(chē)右端的最近距離；（2）如果要使A不至于從B上滑落，拉力F大小應(yīng)滿足的條件。 （五）μ1≠0，μ2≠0，有外力F作用例6．（2013年江蘇卷）如圖所示，將小砝碼置于桌面上的薄紙板上，用水平向右的拉力將紙板迅速抽出，砝碼的移動(dòng)很小，幾乎觀察不到，這就是大家熟悉的慣性演示實(shí)驗(yàn)。若砝碼和紙板的質(zhì)量分別為m1和m2，各接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g。（1）當(dāng)紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)時(shí)，求紙板所受摩擦力大??；（2）要使紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)，求所需拉力的大??；（3）本實(shí)驗(yàn)中，=0.5kg，=0.1kg，μ=0.2，砝碼與紙板左端的距離d=0.1m，取g=10m/s2。若砝碼移動(dòng)的距離超過(guò)l=0.002m，人眼就能感知。為確保實(shí)驗(yàn)成功，紙板所需的拉力至少多大? （七）運(yùn)用動(dòng)能定理處理板塊問(wèn)題例7．如圖所示，光滑的圓弧AB，半徑R＝0.8m，固定在豎直平面內(nèi)。一輛質(zhì)量為M＝2kg的小車(chē)處在水平光滑地面上，小車(chē)的上表面CD與圓弧在B點(diǎn)的切線重合，初始時(shí)B與C緊挨著，小車(chē)長(zhǎng)L＝1m，高H＝0.2m?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m＝1kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），自圓弧上的A點(diǎn)從靜止開(kāi)始釋放，滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后沖上小車(chē)，帶動(dòng)小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊與小車(chē)分離時(shí)，小車(chē)運(yùn)動(dòng)了x＝0.2m，此時(shí)小車(chē)的速度為v＝1m/s。求：（1）滑塊與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)；（2）滑塊與小車(chē)分離時(shí)的速度；（3）滑塊著地時(shí)與小車(chē)右端的水平距離。 【能力展示】【小試牛刀】1．（多選）如圖所示，質(zhì)量為m的木塊放在質(zhì)量為M的長(zhǎng)木板上，木塊和木板均處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)一木塊受到水平向右的拉力F作用時(shí)能在木板上向右加速運(yùn)動(dòng)，而長(zhǎng)木板仍處于靜止?fàn)顟B(tài)。若木塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1表示，木板與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)用μ2表示，則采取下列哪些措施后有可能使木塊和木板都能運(yùn)動(dòng)起來(lái)（）A．若μ1=μ2，可增大拉力FB．若μ1≤μ2，可將拉力F從m上移到M上C．若μ1=μ2，可在m上加一個(gè)豎直向下的壓力D．若μ1>μ2，可在m上加一個(gè)豎直向下的壓力2．如圖所示，一足夠長(zhǎng)的木板靜止在光滑水平面上，一物塊靜止在木板上，木板和物塊間有摩擦．現(xiàn)用水平力向右拉木板，當(dāng)物塊相對(duì)木板滑動(dòng)了一段距離但仍有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，撤掉拉力，此后木板和物塊相對(duì)于水平面的運(yùn)動(dòng)情況為(　　)A．物塊先向左運(yùn)動(dòng)，再向右運(yùn)動(dòng)B．物塊向右運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大，直到做勻速運(yùn)動(dòng)C．木板向右運(yùn)動(dòng)，速度逐漸變小，直到為零D．木板和物塊的速度都逐漸變小，直到為零3．如圖所示，一長(zhǎng)木板在水平地面上運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻(t＝0)將一相對(duì)于地面靜止的物塊輕放到木板上，已知物塊與木板的質(zhì)量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且物塊始終在木板上．在物塊放到木板上之后，木板運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖象可能是下列選項(xiàng)中的(　　) 4．如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等。現(xiàn)給木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F＝kt（k是常數(shù)），木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2。下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是(　　)5．如圖所示，上表面光滑，長(zhǎng)度為3m、質(zhì)量M＝10kg的木板，在F＝50N的水平拉力作用下，以v0＝5m/s的速度沿水平地面向右勻速運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m＝3kg的小鐵塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）無(wú)初速度地放在木板最右端，當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)了L＝1m時(shí)，又將第二個(gè)同樣的小鐵塊無(wú)初速度地放在木板最右端，以后木板每運(yùn)動(dòng)1m就在其最右端無(wú)初速度地放上一個(gè)同樣的小鐵塊．（g取10m/s2）求：（1）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；（2）剛放第三個(gè)鐵塊時(shí)木板的速度；（3）從放第三個(gè)鐵塊開(kāi)始到木板停下的過(guò)程，木板運(yùn)動(dòng)的距離。 6．如圖所示，物塊A、木板B的質(zhì)量均為m=10kg，不計(jì)A的大小，B板長(zhǎng)L=3m。開(kāi)始時(shí)A、B均靜止。現(xiàn)給A以某一水平初速度從B的最左端開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。已知A與B、B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1=0.3和μ2=0.1，g取10m/s2。（1）若物塊A剛好沒(méi)有從B上滑下來(lái)，則A的初速度多大？（2）若把木板B放在光滑水平面上，讓A仍以（1）問(wèn)的初速度從B的最左端開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，則A能否與B脫離？最終A和B的速度各是多大？【大顯身手】7．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1m、質(zhì)量M＝0.25kg的木板放在光滑水平面上，質(zhì)量m＝2kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）位于木板的左端，木板和物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.1?，F(xiàn)突然給木板一向左的初速度v0＝2m/s，同時(shí)對(duì)小物塊施加一水平向右的恒定拉力F＝10N，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，物塊與木板相對(duì)靜止，此時(shí)撤去力F。取g＝10m/s2，求：（1）物塊最終停在木板上的位置；（2）在物塊與木板達(dá)到相對(duì)靜止前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中拉力F做的功和產(chǎn)生的內(nèi)能． 8．如圖所示，質(zhì)量為m＝1kg的小滑塊，從光滑、固定的圓弧軌道的最高點(diǎn)A由靜止滑下，經(jīng)最低點(diǎn)B后滑到位于水平面的木板上。已知木板質(zhì)量M＝2kg，其上表面與圓弧軌道相切于B點(diǎn)，且長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)。整個(gè)過(guò)程中木板的v－t圖象如圖所示，g＝10m/s2。求：（1）滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力；（2）滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)以及木板與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；（3）滑塊在木板上滑過(guò)的距離；9．如圖所示，質(zhì)量為m=5kg的長(zhǎng)木板放在水平地面上，在木板的最右端放一質(zhì)量也為m=5kg的物塊A。木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.3，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.2?，F(xiàn)用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由靜止開(kāi)始勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t=1s，撤去拉力。設(shè)物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。（g取10m/s2）求：（1）拉力撤去時(shí)，木板的速度大??；（2）要使物塊不從木板上掉下，木板的長(zhǎng)度至少多大；（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距板右端多遠(yuǎn)處；10．如圖甲所示，質(zhì)量為M＝4kg足夠長(zhǎng)的木板靜止在光滑的水平面上，在木板的中點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)量m＝4kg大小可以忽略的鐵塊，鐵塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.2 ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。兩物塊開(kāi)始均靜止，從t＝0時(shí)刻起鐵塊m受到水平向右、大小如圖乙所示的拉力F的作用，F(xiàn)共作用時(shí)間為6s，（取g＝10m/s2）則：（1）鐵塊和木板在前2s的加速度大小分別為多少？（2）鐵塊和木板相對(duì)靜止前，運(yùn)動(dòng)的位移大小各為多少？（3）力F作用的最后2s內(nèi)，鐵塊和木板的位移大小分別是多少？ 高考第一輪復(fù)習(xí)——“板+塊”模型答案例3．（1）3.5m（2）1m（3）3m變式2．（1）μ=0.1（2）0.96m（3）3m/s例4．（1）1s（2）2.5m（3）2.25m變式3．（1）0.20；0.30　（2）1.125m例5．答案：（1）0.5m?。?）1N≤F≤3N解析：（1）物體A滑上平板車(chē)B以后，做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：μMg＝MaA解得：aA＝μg＝2m/s2平板車(chē)B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：F＋μMg＝maB解得：aB＝14m/s2兩者速度相同時(shí)有：v0－aAt＝aBt解得：t＝0.25sA滑行距離：xA＝v0t－aAt2＝mB滑行距離：xB＝aBt2＝m離小車(chē)右端最近距離Δx＝L+xB－xA＝0.5m（2）物體A不滑落的臨界條件是A到達(dá)B的右端時(shí)，A、B具有共同的速度v1，則：＝＋L又：＝解得：aB＝6m/s2再代入F＋μMg＝maB得：F＝1N若F<1N，則A滑到B的右端時(shí)，速度仍大于B的速度，于是將從B上滑落，所以F必須大于等于1N當(dāng)F較大時(shí)，在A到達(dá)B的右端之前，就與B具有相同的速度，之后，A必須相對(duì)B靜止，才不會(huì)從B的左端滑落，則由牛頓第二定律得：對(duì)整體：F＝(m＋M)a對(duì)物體A：μMg＝Ma 解得：F＝3N若F大于3N，A就會(huì)相對(duì)B向左滑下綜上所述，力F應(yīng)滿足的條件是1N≤F≤3N例6．答案：（1）μ(2m1＋m2)g?。?）F>2μ(m1＋m2)g（3）22.4N解析：（1）砝碼對(duì)紙板的摩擦力f1＝μm1g桌面對(duì)紙板的滑動(dòng)摩擦力f2＝μ(m1＋m2)gf＝f1＋f2解得f＝μ(2m1＋m2)g.（2）設(shè)砝碼的加速度為a1，紙板的加速度為a2，則f1＝m1a1F－f1－f2＝m2a2發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)則a2>a1解得F>2μ(m1＋m2)g.（3）紙板抽出前，砝碼運(yùn)動(dòng)的距離x1＝a1t紙板運(yùn)動(dòng)的距離d＋x1＝a2t紙板抽出后，砝碼在桌面上運(yùn)動(dòng)的距離x2＝a3tl＝x1＋x2由題意知a1＝a3，a1t1＝a3t2解得F＝2μ[m1＋(1＋)m2]g代入數(shù)據(jù)得F＝22.4N例7．（1）0.5（2）2m/s（3）0.2m 【能力展示】3．A5．（1）0.5（2）4m/s（3）6．（1）m/s（2）沒(méi)有脫離，m/s7．（1）最終停在木板的中點(diǎn)上；（2）5J、1J8．（1）30N，方向豎直向下?。?）0.5；0.1?。?）3m解析：（1）從A到B過(guò)程，滑塊的機(jī)械能守恒mgR＝mv2經(jīng)B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg＝解得FN＝3mg＝30N，根據(jù)牛頓第三定律知，滑塊對(duì)軌道的壓力大小為30N，方向豎直向下．（2）由v－t圖象知，木板加速的加速度為a1＝1m/s2，滑塊與木板共同減速的加速度大小a2＝1m/s2，設(shè)滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2，在1s～2s內(nèi)，對(duì)滑塊和木板：μ2(m＋M)g＝(m＋M)a2在0～1s內(nèi)，對(duì)木板：μ1mg－μ2(m＋M)g＝Ma1解得：μ1＝0.5；μ2＝0.1（3）滑塊在木板上滑動(dòng)過(guò)程中，設(shè)滑塊與木板相對(duì)靜止時(shí)的共同速度為v1，滑塊從滑上木板到兩者達(dá)到共同速度所用時(shí)間為t1對(duì)滑塊：μ2mg＝mav1＝v－at1，v1＝1m/s，t1＝1s木板的位移S1＝t1滑塊的位移S2＝t1 滑塊在木板上滑過(guò)的距離ΔS＝S2－S1代入數(shù)據(jù)解得ΔS＝3m9．（1）4m/s（2）1.2m（3）0.48m10．答案：（1）3m/s2　2m/s2?。?）20m　16m（3）19m　19m解析：（1）前2s，由牛頓第二定律得對(duì)鐵塊：F－μmg＝ma1解得a1＝3m/s2對(duì)木板：μmg＝Ma2解得a2＝2m/s2。（2）2s內(nèi)，鐵塊的位移x1＝a1t2＝6m木板的位移x2＝a2t2＝4m2s末，鐵塊的速度v1＝a1t＝6m/s木板的速度v2＝a2t＝4m/s2s后，對(duì)鐵塊：F′－μmg＝ma1′解得a1′＝1m/s2對(duì)木板：μmg＝Ma2′解得a2′＝2m/s2設(shè)再經(jīng)過(guò)t0時(shí)間鐵塊和木板的共同速度為v，則v＝v1＋a1′t0＝v2＋a2′t0解得t0＝2s，v＝8m/s在t0內(nèi)，鐵塊的位移x1′＝t0＝×2m＝14m木板的位移x2′＝t0＝×2m＝12m所以鐵塊和木板相對(duì)靜止前鐵塊運(yùn)動(dòng)的位移為x鐵塊＝x1＋x1′＝20m鐵塊和木板相對(duì)靜止前木板運(yùn)動(dòng)的位移為x木板＝x2＋x2′＝16m。（3）力F作用的最后2s，鐵塊和木板相對(duì)靜止，一起以初速度v＝8m/s做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)鐵塊和木板整體：F＝(M＋m)a 解得a＝＝m/s2＝1.5m/s2所以鐵塊和木板運(yùn)動(dòng)的位移均為x3＝vΔt＋a(Δt)2＝19m。