2.3.4平面與平面垂直的性質,復習兩個平面垂直的定義，判定什么是兩個平面互相垂直？兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．如何判定兩個平面互相垂直？第一種方法根據定義，判定兩個平面所成的二面角是直二面角；第二種方法是根據判定定理，判定其中一個平面內有一條直線垂直于另一個平面．,一、復習引入1、平面與平面垂直的定義2、平面與平面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。符號表示：b兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。提出問題：該命題正確嗎？,1.黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直?2.長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，平面A1ADD1內的直線A1A與平面ABCD垂直嗎?ADCBD1A1B1C1探索思考?,二、探索研究1.觀察實驗觀察兩垂直平面中,一個平面內的直線與另一個平面的有哪些位置關系?2.概括結論平面與平面垂直的性質定理b兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.簡述為：面面垂直線面垂直該命題正確嗎？符號表示：,bCADEB理論證明:,兩個平面垂直的結論:如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內．,3.知識應用：練習：判斷正誤.已知平面α⊥平面β,α∩β＝l下列命題(2)垂直于交線l的直線必垂直于平面β（）(3)過平面α內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面β（）(1)平面α內的任意一條直線必垂直于平面β（）√××,例：如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，BOPAC(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關系。(1)判斷BC與平面PAC的位置關系，并證明；例題分析:,(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點∴BC⊥平面PAC(2)∵BC⊥平面PAC,又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC例：如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，(1)判斷BC與平面PAC的位置關系，并證明。(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關系。∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC,BC平面ABCBOPAC,2、本題充分地體現了面面垂直與線面垂直之間的相互轉化關系。1、面面垂直的性質定理給我們提供了一種證明線面垂直的方法面面垂直線面垂直性質定理判定定理解題反思:,abc1.如圖,已知平面，直線a滿足,試判斷直線a與平面的位置關系。解:在內作垂直于與交線的直線b,因為,所以.因為,所以.又因為,所以.即直線a與平面平行鞏固提升:,Aαβ1、下列命題中錯誤的是（）(A)如果平面⊥平面,那么平面內所有直線都垂直于平面(B)如果平面⊥平面,那么平面內一定存在直線平行于平面(C)如果平面不垂直于平面，則平面內一定不存在直線垂直于平面(D)如果平面、都垂直于平面，且與交于直線a，則a⊥平面αβαββββαααββαα知識鞏固:,2、已知兩個平面垂直，下列命題①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意直線；②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數條直線；③一個平面內的任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內的任意一點做交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面。其中正確命題的個數是()(A)3(B)2(C)1(D)0B知識鞏固:,例2.矩形ABCD中，AD=2,AB=1,現沿對角線AC折成直二面角D-AC-B，求折起后BD長度.,要點一平面與平面垂直的性質的應用在運用面面垂直性質定理時必須注意：(1)線在面內；(2)線垂直于兩面的交線，由此才可以得出線面垂直．在應用線面平行、垂直的判定和性質定理證明有關問題時，在善于運用轉化思想的同時，還應注意尋找線面平行、垂直所需的條件．例1如下圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.,分析：①ABCD是邊長為a的菱形；②面PAD⊥面ABCD.解答本題可先由面⊥面得線⊥面，再進一步得出線⊥線．證明：(1)連接PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.規(guī)律方法：證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，再一種方法是利用面面垂直的性質定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理．,變式1如圖所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.求證：面EFD⊥面DCE.證明：∵α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EF⊂α，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE.又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面DCE.,例2已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．分析：由面面垂直向線面垂直轉化，一般要作一條垂直于交線的直線，才能應用性質定理．,證明：(1)在平面ABC內取一點D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．規(guī)律方法：已知兩個平面垂直時，過其中一個平面內的一點作交線的垂線，則由面面垂直的性質定理可得此直線垂直于另一個平面，于是面面垂直轉化為線面垂直，由此得到結論：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．證明(2)題的關鍵是要靈活利用(1)題的結論．,變式2如圖，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求證：α∥β.證明：如圖，在平面α內作直線PQ⊥a，在平面β內作直線MN⊥b，垂足分別為Q、N.∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ.同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.∵PQ⊄β，MN⊂β，∴PQ∥β.同理a∥β.∵PQ⊂α，a⊂α，PQ∩a＝Q，∴α∥β.,要點二線線、線面、面面垂直的綜合應用在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化，每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：,例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A、D、N三點的平面交PC于M，E為AD的中點．求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.,分析：(1)利用線面平行的判定定理證明，證EN∥DM.(2)先證AD⊥平面PEB，再由AD∥BC證明．(3)轉化為證明PB⊥平面ADMN.證明：(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又N是PB的中點，∴點M為PC的中點．,(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°∴BE⊥AD.又∵側面PAD是正三角形，且E為中點，∴PE⊥AD，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.規(guī)律方法:運用平面垂直的性質定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直．,變式3如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點，能否在棱上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．證明：(1)設G為AD的中點，連接PG，∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.,(2)當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中點F，連接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.,1、平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。2、證明線面垂直的兩種方法：線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直3、線線、線面、面面之間的平行與垂直關系的轉化是解決空間圖形問題的重要思想方法。三、課堂小結：