30.3由不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)*導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第三十章二次函數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.(難點(diǎn)）2.會(huì)根據(jù)待定系數(shù)法解決關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)問題.（重點(diǎn)） 導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)有幾個(gè)待定系數(shù)？通常需要已知幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出它的表達(dá)式？2.求一次函數(shù)表達(dá)式的方法是什么？它的一般步驟是什么？2個(gè)2個(gè)待定系數(shù)法(1)設(shè)：（表達(dá)式）(2)代：（坐標(biāo)代入）(3)解：方程（組）(4)還原：（寫表達(dá)式） 講授新課特殊條件的二次函數(shù)的表達(dá)式一典例精析例1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3)和(－1,－3)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．解:∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,3）和(－1,－3)，3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數(shù)表達(dá)式為y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{關(guān)于y軸對(duì)稱 1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，8)和(－1，5)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．解:∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,8）和（-1,5），做一做圖象經(jīng)過原點(diǎn)8=4a-2b，5=a-b，∴{解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x. 頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式二選取頂點(diǎn)（-2，1）和點(diǎn)（1，-8），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x-h)2+k,把頂點(diǎn)（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得y=a(x+2)2+1，再把點(diǎn)（1，-8）代入上式得a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 歸納總結(jié)頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法這種知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做頂點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x-h)2+k；②先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式. 例2一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)點(diǎn)(0,1)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,9)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,9)，因此，可以設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-8)2+9.又由于它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，可得0=a(0-8)2+9.解得∴所求的二次函數(shù)的解析式是 解：∵（-3，0）（-1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn).所以可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此得y=a(x+3)(x+1).再把點(diǎn)（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.選取（-3，0），（-1，0），（0，-3），試出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.交點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512 歸納總結(jié)交點(diǎn)法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法這種知道拋物線與x軸的交點(diǎn)，求表達(dá)式的方法叫做交點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2代入到表達(dá)式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將方程的解代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式. 想一想確定二次函數(shù)的這三點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？任意三點(diǎn)不在同一直線上（其中兩點(diǎn)的連線可平行于x軸，但不可以平行于y軸. 一般式法二次函數(shù)的表達(dá)式四探究歸納問題1（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要幾個(gè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)才能求出來？3個(gè)3個(gè)（2）下面是我們用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15 解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①選?。?3，0），（-1，0），（0，-3），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2-4x-3.待定系數(shù)法步驟：1.設(shè)：（表達(dá)式）2.代：（坐標(biāo)代入）3.解：方程（組）4.還原：（寫解析式） 這種已知三點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式的方法叫做一般式法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個(gè)三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.歸納總結(jié)一般式法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法 例3一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,1)、(2,4)、(3,10)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,由于這個(gè)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，可得c=1.又由于其圖象經(jīng)過(2,4)、(3,10)兩點(diǎn)，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解這個(gè)方程組，得∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是 當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象的表達(dá)式應(yīng)是.注y=ax2與y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一樣都是頂點(diǎn)式，只不過前三者是頂點(diǎn)式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-1345 2.過點(diǎn)（2，4），且當(dāng)x=1時(shí)，y有最值為6，則其表達(dá)式是.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，6）y=-2(x-1)2+6 3.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c．依題意得∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2， 4.已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，且過點(diǎn)M(0，1)，求此函數(shù)的表達(dá)式．解：因?yàn)辄c(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)是圖象與x軸的交點(diǎn)，所以設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－1)．又因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求拋物線的表達(dá)式為y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1. 5.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點(diǎn)A(－4，－3)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x＝－3，請(qǐng)解答下列問題：(1)求拋物線的表達(dá)式；解：(1)把點(diǎn)A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵對(duì)稱軸是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的表達(dá)式是y＝x2＋6x＋5； (2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，求△BCD的面積．(2)∵CD∥x軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x＝－3對(duì)稱．∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－7，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝×8×7＝28. 課堂小結(jié)①已知三點(diǎn)坐標(biāo)②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知條件所選方法用一般式法：y=ax2+bx+c用頂點(diǎn)法：y=a(x-h)2+k用交點(diǎn)法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式