哈爾濱市第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試卷（文科）考試時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，滿分60分）1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若，則（）A．B．C．D．4．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題；“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒內(nèi)有谷二十八顆，凡粒米率每勺三百，今欲知米內(nèi)雜谷多少”，其大意是，糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．153石B．154石C．169石D．170石5．已知向量．若與垂直，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．1D．36.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（）A．-1B．1C．2D．-27．函數(shù)的部分圖象大致為（）A．B．
C．D．8．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A．12B．10C．8D．69．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A．B．C．D．10．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°且SA=AB=BC=2，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線SC與DE所成的角的余弦值為（）A．B．C．D．11．某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為），則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．12．已知雙曲線（，）的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2
分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則（）A．B．4C．D．8第Ⅱ卷非選擇題（90分）二、填空題（本題共4小題，每題5分，滿分20分）13．曲線在處的切線的傾斜角為，則________．14．已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，并與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，則的值為________．15．已知兩條不同的直線，，兩個(gè)不重合的平面，，給出下面五個(gè)命題：①，；②，，；③，；④，；⑤，，．其中正確命題的序號是_________．（將所有正確命題的序號都填在橫線上）16．函數(shù)的圖像是由函數(shù)()的圖像向左平移個(gè)單位所得，若函數(shù)在為單調(diào)函數(shù)，則的范圍是___________.三、綜合題（本題共6小題，17-21題每題12分，22題10分，滿分70分）17．在銳角中，角的對邊分別為a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.18．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a1＝3，且a1，a4，a13成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
19．在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20．已知橢圓的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓S上，過的直線l交橢圓S于A，B兩點(diǎn).（1）求橢圓S標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積的最大值.21．已知函數(shù)（其中，）．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且關(guān)于的方程(為的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與極軸所成的角為.（1）求曲線的普通方程及直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的普通方程.高三文科數(shù)學(xué)期末考試解析一、單選題1．已知集合，則（）
A．B．C．D．【答案】C【詳解】由已知，所以．故選：C．2．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】求解二次不等式可得：，∵由可推出，由不能推出，∴是的必要不充分條件.故選：B.3．若，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：∵，所以，∴，故選：B．4．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題；“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒內(nèi)有谷二十八顆，凡粒米率每勺三百，今欲知米內(nèi)雜谷多少”，其大意是，糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．153石B．154石C．169石D．170石【答案】C【詳解】
這批米內(nèi)夾谷約為石,根據(jù)題意可得解得故選：C5．已知向量．若與垂直，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．1D．3【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.故選：B.6.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（）A．-1B．1C．2D．-2【答案】A【詳解】由題設(shè)，，，…，∴是周期為3的數(shù)列，又，且，∴.故選：A.7．函數(shù)的部分圖象大致為（）A．B．
C．D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，對于函數(shù)，有函數(shù)，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A?B；當(dāng)時(shí)，，則恒有，排除D；故選：C.8．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A．12B．10C．8D．6【答案】D【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在直線中，表示直線的縱截距，因此直線向下平移時(shí)，增大，由得，即．平行直線，當(dāng)它過點(diǎn)時(shí)，取得最大值6．故選：D．
9．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故選：C.10．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°且SA=AB=BC=2，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線SC與DE所成的角的余弦值為（）
A．B．C．D．【答案】D【詳解】如圖所示：分別為的中點(diǎn)，連接各線段.則，，故，得到平行四邊形，故，，故異面直線SC與DE所成的角，SA⊥平面ABCD，故和均為直角三角形，，，，根據(jù)余弦定理：.故選：D.11．某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為），則該幾何體的體積為（）
A．B．C．D．【答案】C【詳解】由三視圖知，原幾何體是棱長為的正方體中的三棱錐，且，由正方體的性質(zhì)可知：，三棱錐的底面上的高為，該幾何體的體積為.故選：C.12．已知雙曲線（，）的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則（）A．B．4C．D．8【答案】B【詳解】由于雙曲線的離心率為，故.
所以直線的方程為，設(shè)，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，由于，故當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)；當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí).則.故選：B.二、填空題13．曲線在處的切線的傾斜角為，則________．【答案】【詳解】，當(dāng)時(shí)，，即切線斜率為3，則，則，所以.故答案為：.14．已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，并與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，則的值為________．【答案】3【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，整理得，
所以，所以，所以，15．已知兩條不同的直線，，兩個(gè)不重合的平面，，給出下面五個(gè)命題：①，；②，，；③，；④，；⑤，，．其中正確命題的序號是_________．（將所有正確命題的序號都填在橫線上）【答案】①④⑤【詳解】，，①正確；，，或異面，②錯(cuò)誤；，或，③錯(cuò)誤；，，④正確；，，，⑤正確.故答案為：①④⑤.16．函數(shù)的圖像是由函數(shù)()的圖像向左平移個(gè)單位所得，若函數(shù)在為單調(diào)函數(shù)，則的范圍是___________.【答案】【詳解】是由（大于零）向左平移個(gè)單位所得，故，又在即上單調(diào)，∴，,，
由或，或，綜上，的范圍為.故答案為：.三、解答題17．在銳角中，角的對邊分別為a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（1）解：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，又，所以；（2）解：在銳角中，，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以所以，所以，又，所以，可得，所以，即的取值范圍是?18．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a1＝3，且a1，a4，a13成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n+1（2）Tn＝（1）由題意得：，設(shè)公差為，所以（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝0（舍）或2，所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）由于（1）得an＝2n+1，則＝n2+2n，所以．所以Tn＝=＝．19．在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.（1）面面，面面，且，面，
面，而面，.取的中點(diǎn)，連接，，.且，，∴四邊形為矩形，則，又，，又，面，，面，面，.、面，，面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，即，又，，在中，，，，，則，，綜上，可得，即點(diǎn)到平面的距離為.20．已知橢圓的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓S上，過的直線l交橢圓S于A，B兩點(diǎn).（1）求橢圓S標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積的最大值.【答案】（1）
（2）（1）解：設(shè)橢圓S的半焦距為，由題意解得∴橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：由（1）得，設(shè)，代入，得，設(shè)，則，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，故的面積的最大值為.21．已知函數(shù)（其中，）．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且關(guān)于的方程(為的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）（1）函數(shù)的定義域是，，（）． 依題意在時(shí)恒成立，則在時(shí)恒成立，即（），
當(dāng)時(shí)，取最小值，所以的取值范圍是.（2），由得，在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，，，時(shí)，，時(shí)，，，，，，得，則．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與極軸所成的角為.（1）求曲線的普通方程及直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的普通方程.【答案】（1）.（為參數(shù)）.（2）或.【詳解】（1）由參數(shù)方程得，所以曲線的普通方程為.設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.則，.即，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（2）將代入，得..設(shè)是方程的兩個(gè)根，則，.
所以.所以整理得或，所以直線的方程為或.
