27圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)【2022屆新高考一模試題分類(lèi)匯編】一、單選題1．（2022·貴州貴陽(yáng)·一模（文））已知雙曲線(xiàn)C：的一條漸近線(xiàn)為，則C的離心率為（       ）A．B．C．2D．【答案】C【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為又雙曲線(xiàn)C：的一條漸近線(xiàn)為,所以所以雙曲線(xiàn)的離心率為故選：C2．（2022·新疆·一模（文））若雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為C的左支上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)l是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，，垂足為Q．當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)C上，則C的方程為（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，即，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，即的最小值為b，即，不妨設(shè)直線(xiàn)OQ為：，，點(diǎn)，，的中點(diǎn)為，將其代入雙曲線(xiàn)C的方程，得：，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,即，解得：又，，，故雙曲線(xiàn)C的方程為．故選：B.3．（2022·廣西崇左·模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)為直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支的交點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，垂直于x軸，則雙曲線(xiàn)的離心率是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意可知在第三象限，將代入，解得，所以，將其代入得，，利用離心率.選：D4．（2022·福建漳州·二模）倫敦奧運(yùn)會(huì)自行車(chē)賽車(chē)館有一個(gè)明顯的雙曲線(xiàn)屋頂，該賽車(chē)館是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的雙曲線(xiàn)屋頂?shù)囊欢谓瓶闯呻x心率為的雙曲線(xiàn)上支的一部分，點(diǎn)F是C的下焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C上支上的動(dòng)點(diǎn)，則與P到C的一條漸近線(xiàn)的距離之和的最小值為（     ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以，解得，則雙曲線(xiàn)方程為，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,所以下焦點(diǎn)，漸近線(xiàn)方程為，設(shè)上焦點(diǎn)為，則，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨取一條漸近線(xiàn)為，設(shè)到的距離為，則與P到C的一條漸近線(xiàn)的距離之和為，因?yàn)榈淖钚≈禐榈綕u近線(xiàn)的距離，所以的最小值為，即與P到C的一條漸近線(xiàn)的距離之和的最小值為5，故選：D5．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，以原點(diǎn)為圓心，焦距為直徑的圓交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F，若，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，記左焦點(diǎn)為，連接，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得，由得，設(shè)，則，又，即，從而由得，，，從而，所以，化簡(jiǎn)得，所以，漸近線(xiàn)方程為．故選：D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,6．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測(cè)（文））由雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P向其漸近線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為S，T，則四邊形OSPT的周長(zhǎng)的最小值為（       ）．A．2B．4C．D．8【答案】B【解析】雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別為，，兩漸近線(xiàn)互相垂直，因此四邊形OSPT為矩形，周長(zhǎng)為．設(shè)，點(diǎn)S在漸近線(xiàn)上，點(diǎn)T在漸近線(xiàn)上，則，即，由題意可知，到直線(xiàn)的距離為，即，到直線(xiàn)的距離為，即，顯然，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以四邊形OSPT的周長(zhǎng)的最小值為4．故選：B.7．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線(xiàn)C的一部分，若C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率，且點(diǎn)在C上，則雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（       ）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距c，則離心率，有，而點(diǎn)在C上，即，即，解得，所以雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B8．（2022·陜西周至·一模（文））已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上移動(dòng)，則的最小值為（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的定義可得，所以，，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，即當(dāng)與直線(xiàn)垂直時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：C.9．（2022·廣西崇左·模擬預(yù)測(cè)（理））已知為雙曲線(xiàn)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,的左焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)，使直線(xiàn)與圓相切，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，圓的圓心為，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，由于在雙曲線(xiàn)的右支，所以，即，，.故選：A10．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長(zhǎng)PF2交橢圓C于點(diǎn)Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由橢圓的定義，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,由余弦定理有：，化簡(jiǎn)整理得：，又，由以上兩式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知軸，所以.故選：B.二、多選題11．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）下列雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為的是（       ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，的漸近線(xiàn)方程為，A正確；B選項(xiàng)，的漸近線(xiàn)方程為：，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的漸近線(xiàn)方程為：，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的漸近線(xiàn)方程為：，D正確.故選：AD12．（2022·廣東深圳·一模）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線(xiàn)l的距離為d，動(dòng)圓C與圓A和直線(xiàn)l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線(xiàn)，記這兩拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，則（       ）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,A．B．C．D．【答案】ABD【解析】動(dòng)圓C與圓A和直線(xiàn)l都相切，當(dāng)圓C與圓A相外切時(shí)，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線(xiàn)，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線(xiàn)的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)；當(dāng)圓C與圓A相內(nèi)切時(shí)，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線(xiàn)，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線(xiàn)的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)；所以，當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)不完整，所以，，，，故選：ABD13．（2022·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為上一點(diǎn)，則（       ）A．的離心率為B．的周長(zhǎng)為C．D．【答案】CD【解析】對(duì)于A，由橢圓方程知：，，離心率，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓定義知：，，的周長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，，，，即，，C正確；對(duì)于D，，，，D正確.故選：CD.14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E的方程為，離心率為，為E上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線(xiàn)分別與E交于B，C兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AB與直線(xiàn)AC學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,的傾斜角互補(bǔ)，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．直線(xiàn)BC的斜率為定值C．點(diǎn)O到直線(xiàn)BC的距離為定值D．若，則直線(xiàn)BC的方程為【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意得，，結(jié)合，得，，所以橢圓E的長(zhǎng)周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，由A得橢圓E的方程為，設(shè)，，由題意知直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，得，則，得，，即.因?yàn)橹本€(xiàn)AB與直線(xiàn)AC的傾斜角互補(bǔ)，所以直線(xiàn)AC的斜率為﹣k，同理可得，故直線(xiàn)BC的斜率，為定值，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，由B知可設(shè)直線(xiàn)BC的方程為，則原點(diǎn)O到直線(xiàn)BC的距離，不是定值，故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立直線(xiàn)BC與橢圓的方程，得，整理得，，即，則，，由，得，整理得，得，，此時(shí)直線(xiàn)BC的方程為，故D正確.故選：BD.15．（2022·山東濟(jì)寧·一模）已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為?，左?右頂點(diǎn)分別為?，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則（       ）A．B．若焦點(diǎn)關(guān)于雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在C上，則C的離心率為C．若雙曲線(xiàn)C為等軸雙曲線(xiàn)，則直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之積為1學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,D．若雙曲線(xiàn)C為等軸雙曲線(xiàn)，且，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A,在中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，焦點(diǎn)，漸近線(xiàn)不妨取，即，設(shè)關(guān)于雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，即得，即關(guān)于雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由題意該點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，故，將代入，化簡(jiǎn)整理得：，即，所以，故，故B正確；對(duì)于C,雙曲線(xiàn)C為等軸雙曲線(xiàn)，即,設(shè)，則，則，故，故C正確；對(duì)于D,雙曲線(xiàn)C為等軸雙曲線(xiàn)，即,且,設(shè)，則，根據(jù)C的結(jié)論，即有，在三角形中，只有兩角互余時(shí)，它們的正切值才互為倒數(shù)，故，故D正確；故選：BCD三、填空題16．（2022·陜西·一模（文））已知直線(xiàn)與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，要使直線(xiàn)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,總有公共點(diǎn)，則只需要點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，，又焦點(diǎn)在x軸上，..故答案為：．17．（2022·陜西周至·一模（文））若雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為，則其離心率是________．【答案】2【解析】不妨取雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，即，則右焦點(diǎn)漸近線(xiàn)的距離，所以，則，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故答案為：2.18．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)、分別作弦、．若，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)在橢圓上，因?yàn)榧葹榈闹悬c(diǎn)，也為線(xiàn)段的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故且，因?yàn)榍?，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,由題意可知，直線(xiàn)不與軸重合，易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.19．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓，，分別為其左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P，在第三象限交于點(diǎn)Q．若的面積為，則______．【答案】##【解析】如下圖所示：由對(duì)稱(chēng)性知PQ為圓O的直徑，所以．又因?yàn)?，，所以四邊形為矩形，所以．因?yàn)?，，所以，，，則．故答案為：20．（2022·四川·成都七中二模（理））已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與此拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若．且，則p＝______．【答案】3學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,【解析】設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，可得，，所以，所以可得，所以，又為銳角，解得，設(shè)，如圖作軸交于，由題意可得在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，作準(zhǔn)線(xiàn)，作，垂足為，則，所以，所以，所以，所以．故答案為：3．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司