09利用導(dǎo)數(shù)解決零點(diǎn)問(wèn)題【2022屆新高考一模試題分類(lèi)匯編】一、解答題1．（2022·安徽·六安一中高二開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，，，所以切線(xiàn)方程為.(2)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，故在是單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，故在上遞減，在上單調(diào)遞增，，綜上，時(shí)，，時(shí)，(3)由題設(shè)得，故，設(shè)，則，（i）當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，又，，且的圖像連續(xù)，故在上唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故，又的圖像連續(xù)不斷，故存在，使得，即此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)遞減，又，，的圖像連續(xù)不斷，故存在一個(gè)，使得；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，故，從而在上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上，在試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,上有2個(gè)零點(diǎn).2．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)令，得.令，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,3．（2022·安徽·蒙城縣第六中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知函數(shù).(1)若，求證：恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值是，即恒成立.(2)因?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)椋?，且，所以，使?所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜合以上知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，.令，得，令，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且.所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（其中，為參數(shù)）.試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，，.令，則（舍去），令，則，所以在上單調(diào)遞增.又，，且函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在唯一，使得，并且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.因?yàn)楹瘮?shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn)，所以必須有，即.下面證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞增且連續(xù)，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn).因?yàn)椋?，則.因?yàn)?，所以，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，又，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn).綜上，.5．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)x<1時(shí)，；當(dāng)x>1時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，有三個(gè)不同的根，又不是方程的根，有三個(gè)不同的根，令，，即與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的極小值為，又為過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，斜率為，由與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且，直線(xiàn)的斜率，，即a的取值范圍為.6．（2022·天津紅橋·高二期末）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，．(1)求單調(diào)區(qū)間；(2)若且對(duì)任意，都有，證明：方程有且只有兩個(gè)實(shí)根．(1)定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，若，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)證明：若且對(duì)任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調(diào)性相同，試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，，所以在(1e2，1)和上各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以在和各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有兩個(gè)實(shí)根．7．（2021·廣東·福田外國(guó)語(yǔ)高中高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，易得當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的增區(qū)間是：，，減區(qū)間是：，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；(2)畫(huà)出函數(shù)圖像，由圖形知，當(dāng)或時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)．故的范圍或．8．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)在處的切線(xiàn)方程是．(1)求a，b的值；(2)若對(duì)于，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)都有唯一的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)將切點(diǎn)坐標(biāo)代入的，即，得，又因?yàn)樵嚲淼?1頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,，直線(xiàn)的斜率為所以，得(2)由（1）知，因?yàn)榍€(xiàn)與曲線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn)，所以方程有唯一解，即令，則，則即，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，易知與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)，時(shí)，有兩個(gè)根，且兩根之和為，兩根之積為，所以?xún)筛粋€(gè)大于4，一個(gè)小于4，此時(shí)，函數(shù)先增后減再增，存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，要使有唯一實(shí)數(shù)根，則大于極大值或小于極小值.記為極大值點(diǎn)，則，則恒成立，又，即則極大值因?yàn)?，令得，又時(shí)，綜上，要使對(duì)，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)都有唯一的公共點(diǎn)，則，即；當(dāng)為極小值點(diǎn)，則，則，又，所以恒成立，又，所以時(shí)，，所以單減，無(wú)最小值，所以不存在，使得恒成立，所以，的取值范圍為9．（2022·廣東高州·二模）已知函數(shù)．其中實(shí)數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解．試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,【解析】（1）函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,則單調(diào)遞減，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)證明由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，故時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，令，可得時(shí)，單調(diào)遞增，所以，故，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋嚲淼?1頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，即，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，由，解得，所以，令，，，故在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn).因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).即證當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解10．（2022·江西·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二期末（理））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】(1)以為，其定義域?yàn)?，又，故?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,當(dāng)時(shí)，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)因?yàn)?，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故在恒成立，即；因?yàn)椋?，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，也即；令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，也即；又，故恒成立，試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,則在恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.試卷第11頁(yè)，共11頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司