2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，2，本卷共9小題，每小題5分，共45分參考公式：•如果事件A、B互斥，那么．•如果事件A、B相互獨(dú)立，那么．•球的體積公式，其中R表示球的半徑．•圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高．一、選擇題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集并集的定義即可求出.詳解】，，.故選：C.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不允分也不必要條件【答案】A,【解析】【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖像大致為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當(dāng)時(shí)，，排除D，即可得解.【詳解】設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，，所以，排除D.故選：B.4.從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦影視作品中抽取部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得個(gè)評(píng)分,數(shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的費(fèi)率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用頻率分布直方圖可計(jì)算出評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量.【詳解】由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量為.故選：D.5.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.,故選：D.6.兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)?，所以，，所以，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.7.若，則（）A.B.C.1D.,【答案】C【解析】【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.【詳解】，，.故選：C.8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長(zhǎng)度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.9.設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）,A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由最多有2個(gè)根，可得至少有4個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根，由可得，由可得，（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足或或，,則可解得a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.第II卷注意事項(xiàng)1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.11.在的展開式中，的系數(shù)是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為6即可求出.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.12.若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．,【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)?，?故答案為：.13.若，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】?jī)纱卫没静坏仁郊纯汕蟪?【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.14.甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為____________，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為______________．【答案】①.②.【解析】,【分析】根據(jù)甲猜對(duì)乙沒有才對(duì)可求出一次活動(dòng)中，甲獲勝概率；在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.【詳解】由題可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為.故答案為：；.15.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為____________；的最小值為____________．【答案】①.1②.【解析】【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：1；.,三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟．16.在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【解析】【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，,所以.17.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）.【解析】【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的一個(gè)法向量，證明，即可得證；（II）求出，由運(yùn)算即可得解；（III）求得平面的一個(gè)法向量，由結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解.【詳解】（I）以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,,,,,,，,因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以，，所以,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面；（II）由（1）得，，設(shè)直線與平面所成角為，則；（III）由正方體的特征可得，平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的正弦值為.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且,．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值，結(jié)合的值可得出的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，分析出直線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）易知點(diǎn)、，故，因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，先證明直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，因此，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.,在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點(diǎn)，直線的斜率為，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，即，整理可得，所以，，因?yàn)?，，故，，所以，直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在利用橢圓的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進(jìn)行求解；（2）橢圓在其上一點(diǎn)的切線方程為，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓相切.19.已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；,（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（I）由等差數(shù)列求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；,（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o(wú)法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法即可得證.20.已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【解析】【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與,僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；,（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.