高中數學高考沖刺-雙曲線練習題含解析1．(北京高考)雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是(　　)A．m>　B．m≥1　　　C．m>1　　D．m>2解析：選C　該雙曲線離心率e＝，由已知＞，故m＞1，故選C.2．(廣東六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－5,0)和C(5,0)，頂點B在雙曲線－＝1上，則為(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解析：選C　設△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，由正弦定理得＝，由雙曲線的標準方程和定義可知，A，C是雙曲線的焦點，且b＝10，|c－a|＝8.所以＝＝.故選C. 3．(杭州質檢)設F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第二象限的交點為P，若雙曲線C的離心率為5，則cos∠PF2F1等于(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解析：選C　據題意可知PF1⊥PF2，設|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由雙曲線定義知m－n＝2a　①；由勾股定理可得m2＋n2＝4c2　②；又由離心率e＝＝5　③，由①②③解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝.故選C.4．(山東高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　)A.－＝1　　　　B.－＝1C.－＝1　　　　D.－＝1解析：選A　由題意得－＝1(a＞0，b ＞0)的兩條漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，又圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4，半徑為2，圓心坐標為(3,0)，所以a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.所以該雙曲線的方程為－＝1.故選A.5．(皖南八校聯(lián)考)設F1，F2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若雙曲線的右支上存在一點P，使·＝0，且△F1PF2的三邊長構成等差數列，則此雙曲線的離心率為(　　)A.　　　　B.C．2　　　D．5解析：選D　設|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由題可知△F1PF2為直角三角形且F1F2為斜邊．由雙曲線的性質和勾股定理得由①③得代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，兩邊同時除以a2，得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.又e＞1，所以e＝5.故選D.6．(太原模擬)設F1、F2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2 |＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為(　　)A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0　　　D．5x±4y＝0解析：選C　設線段PF1的中點為M，由于|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根據雙曲線的定義得4b－2c＝2a.所以2b－a＝c，所以(2b－a)2＝a2＋b2，化簡得3b2－4ab＝0，所以3b＝4a，故雙曲線的漸近線方程是y＝x，即4x±3y＝0.選C.7．(蘇錫常鎮(zhèn)調研)若雙曲線x2－＝1(a＞0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于，則此雙曲線方程為______．解析：x2－＝1　雙曲線x2－＝1(a＞0)的一個焦點(，0)到一條漸近線－y＝0的距離為＝，解得a＝3，故此雙曲線方程為x2－＝1.8．(陜西五校模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與直線y＝2x有交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是______． 解析：(，＋∞)　雙曲線的漸近線方程為y＝±x.若雙曲線－＝1與直線y＝2x有交點，則＞2，從而＞4.所以＞4，解得e2＝＞5，故e＞.9．(茂名質檢)設雙曲線－＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________．解析：　由條件知c＝5，設過點F平行于一條漸近線的直線方程為y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，聯(lián)立直線與雙曲線方程，求得yB＝－，所以S＝×(5－3)×＝.10．(湖南高考)設F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內角為30°，則C的離心率為________．解析：　不妨設|PF1|＞|PF2|，由 得由2a＜2c，得∠PF1F2＝30°，由余弦定理得cos30°＝，整理得c2＋3a2－2ac＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝.11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，－)．(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；(3)求△F1MF2的面積．(1)解：由e＝知a＝b.故設雙曲線方程為x2－y2＝λ.∵雙曲線過點P(4，－)，∴16－10＝λ，解得λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝－.∵點(3，m)在雙曲線上， ∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.(3)解：在△F1MF2中|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝|m|＝，從而S△F1MF2＝×4×＝6.12．(泰州質檢)已知點N(1,2)，過點N的直線交雙曲線x2－＝1于A，B兩點，且＝(＋)．(1)求直線AB的方程；(2)若過N的另一條直線交雙曲線于C，D兩點，且·＝0，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？解：(1)由題意知直線AB的斜率存在．設直線AB的方程為y＝k(x－1)＋2，由消去y整理得(2－k2)x2－2k·(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根，所以2－k2≠0且x1＋x2＝. ∵＝(＋)，∴N是AB的中點，∴＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，解得k＝1，所以AB的方程為y＝x＋1.(2)將k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，設A(－1,0)，B(3,4)．∵·＝0，∴CD垂直平分AB.∴CD所在直線方程為y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，代入雙曲線方程整理得x2＋6x－11＝0，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中點為M(x0，y0)，則x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x0＝＝－3，∴y0＝6，故點M(－3,6)．∵|CD|＝|x3－x4|＝＝4，∴|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，又|MA|＝|MB|＝2，∴A，B，C，D到M的距離相等，∴A，B，C，D四點共圓. 1．(遼寧五校聯(lián)考)已知點M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，動圓C與直線MN切于點B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P，P點的軌跡方程為(　　)A．x2－＝1(x＞1)B．x2－＝1(x＞0)C．x2－＝1(x＞0)　　　D．x2－＝1(x＞1)解析：選A　如圖設過點P的兩切線分別與圓切于S、T，則|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲線為雙曲線的右支且不能與x軸相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故P點的軌跡方程為x2－＝1(x＞1)．故選A.2．(邯鄲摸底考試)已知F1、F2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點，若F2關于漸近線的對稱點為M，且有|MF1|＝c，則此雙曲線的離心率為(　　)A.　　　　B.C．2　　　D．2 解析：選D　因為F2關于漸近線的對稱點為M，又由雙曲線的幾何性質知焦點到漸近線的距離為b，所以|MF2|＝2b，又|F1M|＝c，|F1F2|＝2c，由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，c＝2a，e＝2.故選D.3．(重慶質檢)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，且2a2＝3c.若雙曲線C上的點P滿足·＝1，則||·||的值為(　　)A．5B．4C．3　　　D．2解析：選C　由題意得，解得，所以b2＝c2－a2＝1，故雙曲線C的方程為－y2＝1.設||＝r1，||＝r2，不妨令r1＞r2＞0，∠F1PF2＝θ，∵·＝1，∴r1r2cosθ＝1，又r1－r2＝2，∴r＋r－2r1r2＝12，∴r＋r＝2r1r2＋12，又由余弦定理得4c2＝r＋r－2r1r2cosθ，即16＝2r1r2＋12－2，∴r1r2＝3，即||·||＝3.故選C.4．(大綱全國高考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為3，直線y＝2與C 的兩個交點間的距離為.(1)求a、b；(2)設過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點，且|AF1|＝|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數列．(1)解：由題設知＝3，所以＝9，故b2＝8a2.所以C的方程為8x2－y2＝8a2.將y＝2代入上式，求得x＝±.由題設知2＝，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2.(2)證明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程為8x2－y2＝8.設l的方程為y＝k(x－3)，|k|＜2，由消去y整理得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≤－1，x2≥1，且x1＋x2＝，x1·x2＝.所以|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，|BF1|＝＝＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1，所以x1＋x2＝－，故＝－，解得k2＝，從而x1·x2＝－.由于|AF2|＝＝＝1－3x1，|BF2|＝＝＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數列．