高中數(shù)學-直線與直線的位置關系專題導學目標：1.能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．1．兩直線的位置關系平面上兩條直線的位置關系包括平行、相交、重合三種情況．(1)兩直線平行對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?____________________________________________________________________.對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2?____________________________________________________________________.(2)兩直線垂直對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2?k1·k2＝____.對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝____.2．兩條直線的交點兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果兩直線相交，則交點的坐標一定是這兩個方程的________；反之，如果這兩個二元一次方程只有一個公共 解，那么以這個解為坐標的點必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交點，就看l1、l2構成的方程組是否有________．3．有關距離(1)兩點間的距離平面上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離P1P2＝__________________________________.(2)點到直線的距離平面上一點P(x0，y0)到一條直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝_______________________.(3)兩平行線間的距離已知l1、l2是平行線，求l1、l2間距離的方法：①求一條直線上一點到另一條直線的距離；②設l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2之間的距離d＝_______________.自我檢測1．(濟寧模擬)若點P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且點P在不等式2x＋y－3<0表示的平面區(qū)域內，則實數(shù)a的值為________．2．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2恒過的定點的坐標為________．3．已知直線l1：ax＋by＋c＝0，直線l2：mx＋ny＋p＝0，則＝－1是直線l1⊥l2的______________條件．4．(上海)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是________．5．已知2x＋y＋5＝0，則的最小值是________.探究點一　兩直線的平行與垂直例1　已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y ＋a2－1＝0，(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)l1⊥l2時，求a的值．變式遷移1　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求滿足以下條件的a、b的值：(1)l1⊥l2且l1過點(－3，－1)；(2)l1∥l2，且原點到這兩條直線的距離相等．探究點二　直線的交點坐標例2　已知直線l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.當m為何值時，三條直線不能構成三角形． 變式遷移2　△ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點A的坐標為(1,2)，求BC邊所在直線的方程．探究點三　距離問題例3　已知點P(2，－1)．求：(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過P點且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．變式遷移3　已知直線l過點P(3,1)且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程． 轉化與化歸思想例　(14分)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．【答題模板】解　(1)設A′(x，y)，再由已知解得∴A′.[4分](2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設對稱點M′(a，b)，則得M′.[8分]設直線m與直線l的交點為N，則由得N(4,3)．又∵m′經過點N(4,3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.[10分](3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關于點A(－1，－2)的對稱點M′，N′均在直線l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.[14分]方法二　∵l∥l′，∴設l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)，∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點到直線的距離公式得＝，解得C＝－9(C＝1舍去)，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.[14分]方法三　設P(x，y)為l′上任意一點， 則P(x，y)關于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，∵點P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[14分]【突破思維障礙】點關于直線對稱是軸對稱中最基本的，要抓住兩點：一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是已知點與對稱點為端點的線段中點在對稱軸上．直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱，直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱．【易錯點剖析】(1)點關于線對稱，不能轉化為“垂直”及“線的中點在軸上”的問題．(2)線關于線對稱，不能轉化為點關于線的對稱問題；線關于點的對稱，不能轉化為點關于點的對稱問題．1．在兩條直線的位置關系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關系．解題時認真畫出圖形，有助于快速準確地解決問題．判斷兩直線平行與垂直時，不要忘記考慮斜率不存在的情形，利用一般式則可避免分類討論．2．運用公式d＝求兩平行直線間的距離時，一定要把x、y項系數(shù)化為相等的系數(shù)．3．對稱思想是高考熱點，主要分為中心對稱和軸對稱兩種，關鍵要把握對稱問題的本質，必要情況下可與函數(shù)的對稱軸建立聯(lián)系．(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1．若直線x＋ay－a＝0與直線ax－(2a－3)y －1＝0互相垂直，則a的值是________．2．已知直線l的傾斜角為，直線l1經過點A(3,2)、B(a，－1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝________.3．(南通模擬)P點在直線3x＋y－5＝0上，且點P到直線x－y－1＝0的距離為，則P點坐標為________________．4．(浙江)若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實數(shù)m＝________.5．設直線l經過點(－1,1)，則當點(2，－1)與直線l的距離最大時，直線l的方程為______________．6．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是①15°?、?0°　③45°?、?0°?、?5°其中正確答案的序號是________．7．設兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是________和________．8．平行四邊形兩相鄰邊方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，對角線交點(3,3)，則另兩邊的方程為__________________________________________________和_____________.二、解答題(共42分)9．(14分)(1)已知點P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求過點A且與點P1，P2距離相等的直線方程．(2)過點P(3,0)作一直線，使它夾在兩直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段AB恰被點P平分，求此直線的方程． 10．(14分)已知△ABC的一個頂點A(－1，－4)，內角∠B，∠C的平分線所在直線的方程分別為：l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0.求邊BC所在直線的方程．11．(14分)已知直線方程(a－2)y＝(3a－1)x－1.(1)無論a為何實數(shù)，該直線是否總經過第一象限？(2)為使直線不經過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍． 參考答案1．(1)k1＝k2且b1≠b2?。健佟?2)－1　0　2.公共解　交點　唯一解　3.(1)　(2)　(3)②自我檢測1．－3　2.(0,2)　3.充分不必要　4.3或5　5.課堂活動區(qū)例1　解題導引　運用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b討論兩直線位置關系時，要特別注意直線斜率不存在時的特殊情況．即若l1∥l2，則或兩直線斜率均不存在，若l1⊥l2，則k1k2＝－1或k1、k2一個為0，另一個不存在．若直線l1、l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2的必要條件是A1B2－A2B1＝0，而l1⊥l2的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.解題中為避免討論，常依據上述結論去解題．解　(1)方法一　當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不平行；當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不平行；當a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，l1∥l2?　解得a＝－1，綜上可知，a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行．方法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0.由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0， ∴l(xiāng)1∥l2??∴a＝－1，故當a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行．(2)方法一　當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直；當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不垂直；當a≠1且a≠0時，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由·＝－1?a＝.方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0?a＝.變式遷移1　解　(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.若k2＝0，則a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.又l1過(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情況不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1＝，k2＝1－a.由l1⊥l2，得k1k2＝(1－a)＝－1.由l1過(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，解之得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l(xiāng)1的斜率存在，∴k1＝k2，即＝1－a.又原點到兩直線的距離相等，且l1∥l2，∴l(xiāng)1、l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b.解之得或∴a、b的值為2和－2或和2. 例2　解題導引?、俎D化思想的運用????②分類討論思想的運用本題依據直線的位置關系將不能構成三角形的情況分成兩類，分類應注意按同一標準，不重不漏．解　當三條直線共點或至少有兩條直線平行時，不能圍成三角形．①三條直線共點時，由得(m2≠)，即l2與l3的交點為，代入l1的方程得4×＋7×－4＝0，解得m＝，或m＝2.②當l1∥l2時，4＝7m，∴m＝；當l1∥l3時，4×3m＝7×2，∴m＝；當l2∥l3時，3m2＝2，即m＝±.∴m取集合中的元素時，三條直線不能構成三角形．變式遷移2　解　可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上，則可設AB，AC邊上的高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，則可求得AB，AC邊所在直線的方程分別為 y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1，即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.由，得B(7，－7)，由，得C(－2，－1)，所以BC邊所在直線的方程為2x＋3y＋7＝0.例3　解題導引　已知直線過定點求方程，首先想到的是求斜率或設方程的斜截式，但不要忘記斜率不存在的直線是否滿足題意．若滿足，可先把它求出，然后再考慮斜率存在的一般情況．圖形中量的最值問題往往可由幾何原理作依據求得解決．第(3)問是判斷存在性問題，通常的解決方法是先假設判斷對象存在，令其滿足應符合的條件，若有解，則存在，并求得；若無解，則不存在，判斷無解的過程就是結論的理由．如法二．解　(1)過P點的直線l與原點距離為2，而P點坐標為(2，－1)，可見，過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件．此時l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得＝2，解得k＝.此時l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作圖可得過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直線方程的點斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直線2x－y－5＝0是過P點且與原點O 距離最大的直線，最大距離為＝.(3)由(2)可知，過P點不存在到原點距離超過的直線，因此不存在過P點且到原點距離為6的直線．變式遷移3　解　方法一　若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1，l2的交點分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段長AB＝|－4＋9|＝5，符合題意．當直線l的斜率存在時，則設直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立，由　解得A.由解得B.由兩點間的距離公式，得2＋2＝25，解得k＝0，即所求直線方程為y＝1.綜上可知，直線l的方程為x＝3或y＝1.方法二　因為兩平行線間的距離d＝＝，如圖，直線l被兩平行線截得的線段長為5，設直線l與兩平行線的夾角為θ，則sinθ＝，所以θ＝45°.因為兩平行線的斜率是－1，故所求直線的斜率不存在或為0.又因為直線l過點P(3,1)，所以直線l的方程為x＝3或y＝1. 課后練習區(qū)1．2或0　2.－2　3.(1,2)或(2，－1)4．1解析　∵直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，∴×(－)＝－1，∴m＝1.5．3x－2y＋5＝0解析　當l與過兩點的直線垂直時，(2，－1)與直線l的距離最大，因此所求直線的方程為y－1＝－·(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.6．①⑤解析　如圖，由兩平行線間距離可得d＝＝，故m與兩平行線的夾角都是30°，而兩平行線的傾斜角為45°，則m的傾斜角為75°或15°，故①⑤正確．7.　解析　∵d＝，d2＝[(a＋b)2－4ab]＝(1－4c)，又0≤c≤，∴d2∈.∴≤d≤.8．x＋y－13＝0　3x－y－16＝0解析　設另兩邊方程為：x＋y＋C1＝0和3x－y＋C2＝0. 由得交點A(－，)∵對角線交點坐標為(3,3)．則所求兩直線的交點坐標為(，)，代入方程得C1＝－13，C2＝－16.9．解　(1)設所求直線為l，由于l過點A且與點P1，P2距離相等，所以有兩種情況，①當P1，P2在l同側時，有l(wèi)∥P1P2，此時可求得l的方程為y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0；(5分)②當P1，P2在l異側時，l必過P1P2的中點(－1,4)，此時l的方程為x＝－1.(7分)∴所求直線的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.(8分)(2)設點A(x，y)在l1上，由題意知∴點B(6－x，－y)，解方程組(10分)得　∴k＝＝8.∴所求的直線方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.(14分)10．解　設點A(－1，－4)關于直線y＋1＝0的對稱點A′(x1，y1)，則x1＝－1，y1＝2×(－1)－(－4)＝2，即A′(－1,2)在直線BC上．(6分)再設A(－1，－4)關于l2：x＋y＋1＝0的對稱點為A″(x2，y2)，則有：解得：即A″(3,0)也在直線BC上．(12分) 由直線方程的兩點式得：＝.所以x＋2y－3＝0即為△ABC的邊BC所在的直線方程．(14分)11．解　(1)令a＝2，得直線l1：x＝，令a＝0，得直線l2：x－2y＋1＝0.∵l1與l2的交點A(，)，(3分)且當x＝，y＝時，(a－2)y＝(3a－1)x－1對任意a∈R恒成立．∴直線l：(a－2)y＝(3a－1)x－1恒過定點A.∵點A(，)在第一象限，∴該直線總過第一象限．(7分)(2)設O為原點，由(1)知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1過定點A(，)，且kAO＝＝3.(10分)當a＝2時，直線x＝不過第二象限，(11分)當a≠2時，直線y＝x－要想不過第二象限，需滿足≥kAO，即≥3，解得a>2.綜上可知，當a∈[2，＋∞)時，直線(a－2)y＝(3a－1)x－1不過第二象限．(14分)